這張圖在說鏈鎖律的等式為什麼長成乘積：最上面那條線上取 b 附近的一小段，第一個函數把它拉長成中間那一段，第二個函數再把中間那一段拉長成最下面那一段。一段被拉了兩次，總倍率就是兩個倍率相乘。要留意兩個倍率各在各的位置讀：g′ 讀在 b，f′ 讀在 a = g(b)。圖上的倍率畫成固定的，實際上它只在該點附近近似成立，證明要做的正是把「近似」講精確。
THEOREM · CHAIN RULE
Let g have a derivative at b, let f have a derivative at a = g(b), and let a be an interior point of the domain of f. Then the composition h = f ∘ g has a derivative at b, and h′(b) = f′(a)·g′(b).
兩個導數各在各的地方取值：g′ 在 b 取，f′ 在 a = g(b) 取，寫錯位置整條就錯了。前提裡的「a 是 f 定義域的內點」不是客套話：由 §27-1 的 27.2（在某點有導數的函數在該點連續），g 在 b 連續，所以 x 靠近 b 時 g(x) 靠近 a；可是「靠近 a」要真的落進 f 的定義域裡，得先確定 a 的周圍整圈都是定義域的點，而 §9-3 的 9.7 說的內點正是這件事。至於證法，把差商拆成兩個差商相乘是最直覺的想法，可是那樣寫第一行就出事——分母 g(x) − g(b) 可能為零。
手上有兩件事：g 在 b 的差商趨近 g′(b)，f 在 a 的差商趨近 f′(a)。要的是 h = f ∘ g 在 b 的差商趨近兩者的乘積。麻煩出在中間那一段：f 的差商要以 g(x) 當自變數去算，而 g(x) 可能正好等於 g(b)，那時它的分母是零。
證明計畫 · 由所求想起 所求是合成的差商的極限。困難只有一個：把它拆成兩個差商相乘時，第二個差商的分母可能為零。 第一步：先確認合成在 b 附近真的有定義——這一步用掉「a 是內點」這個前提。 第二步：造一個輔助函數，它在 a 以外就是 f 的差商，在 a 那一格補上 f′(a)；補完之後它在 a 連續。 第三步：核對一個沒有分母的恆等式——f 的值差等於這個輔助函數乘上自變數的差，而且對每一個自變數都成立，包括差為零的那些。 第四步：把 g(x) 代進恆等式再除以 x − b，右邊成了「一個在 b 連續的東西」乘上「g 的差商」，兩個因子的極限都是現成的。
Proof. Since a is an interior point of D(f), some neighborhood V of a lies inside D(f). Because g has a derivative at b, Lemma 27.2 makes g continuous at b, so there is δ₀ > 0 with g(x) ∈ V for every x ∈ D(g) satisfying |x − b| < δ₀. Hence h is defined at each such x, and b is a cluster point of D(h).
這一步的所求：讓合成在 b 附近真的有東西可算。§27-1 的 27.1（導數是差商在該點趨近的那個實數）要求 b 是定義域的 cluster point，可是 h(x) = f(g(x)) 只在 g(x) 落進 f 的定義域時才寫得出來，所以這件事得先辦。兩個前提剛好配成一對：§9-3 的 9.7 說 a 是內點的意思是有一整個 neighborhood 藏在 f 的定義域裡，而 27.2 說 g 在 b 連續，於是 x 夠靠近 b 時 g(x) 就跑不出那個 neighborhood。少了內點這一條，g(x) 可以一直落在定義域外面，合成在 b 附近根本沒有值——定理卡的反例就是這種情形。拿數字走一次：取 f 的定義域是 [3, 5]、g(x) = 3x + 1、b = 1，則 a = 4，取 V = (3.5, 4.5)；因為 |g(x) − 4| = 3|x − 1|，所以 δ₀ = 1/6 就交差。
Define H on D(f) by H(y) = (f(y) − f(a))/(y − a) for y ≠ a, and by H(a) = f′(a). Given ε > 0, Definition 27.1 supplies δ > 0 such that |H(y) − f′(a)| < ε whenever 0 < |y − a| < δ; at y = a that difference is 0. Therefore H is continuous at a.
這一步的所求：一個能取代 f 的差商、而且在 a 那一點也有值的函數。f 的差商在 a 沒有定義（分母為零），H 就是把那一格填起來的同一個函數。填的值挑 f′(a) 有明確的理由：那正是差商在 a 附近逼近的數，填上它整條函數才接得起來，也就是 H 在 a 連續；填別的數，函數在 a 就跳一下。連續的驗證只是把 §20-1 的 20.1（對每個誤差都找得到一個範圍，使範圍內的定義域點的值都離該點的值不到那個誤差）逐字對一次：y ≠ a 的那些點由 27.1 供應，y = a 那一點兩邊相減是零，當然小於 ε。拿數字建立畫面：f(y) = y²、a = 4 時 H(y) = (y² − 16)/(y − 4) = y + 4（y ≠ 4），而 H(4) 依定義是 f′(4) = 8——那恰好就是 y + 4 在 y = 4 的值，填完之後整條是完整的一次函數，正是下面那張圖的樣子。
這張圖在說第二步造出來的 H 長什麼樣：藍線是 f 的差商當成自變數的函數，它在 a 那一點是空的。紅點是補進去的值 f′(a)，而它恰好坐在藍線延伸過去該在的高度上——所以補完之後沒有跳階，H 在 a 連續。若把紅點往上或往下挪，函數仍然處處有定義，卻不再連續，下一步的恆等式也仍然成立：兩件事是分開的。
For every y ∈ D(f) one has f(y) − f(a) = H(y)·(y − a). Indeed, when y ≠ a this is the defining formula for H multiplied by y − a; and when y = a both sides are 0.
這一步的所求：一個完全沒有分母的等式，因為所有的困難都出在分母上。y ≠ a 的情形不必動腦：H(y) 本來就是那個商，乘回 y − a 就把除法抵銷掉。要緊的是 y = a 那一格：左邊是 f(a) − f(a) = 0，右邊是 H(a) · 0 = 0——而右邊之所以是零，靠的是因子 y − a 為零，跟 H(a) 填了什麼數毫無關係。所以恆等式在那一格是自動成立的，補什麼值都破壞不了它。把這兩件事分開想，整個證明就通了：恆等式是免費的，連續性才是「補 f′(a)」這個選擇換來的。接續前面的數字：f(y) = y²、a = 4，取 y = 6 時左邊是 36 − 16 = 20、右邊是 10 · 2 = 20；取 y = 4 時兩邊都是 0。
這張圖在說第三步為什麼非要不可：紅色虛線的高度是 g(b)，而 g 在 b 的左邊反覆碰到它。每一個紅點都讓 g(x) − g(b) 等於零，所以「兩個差商相乘」那個寫法在這些點上根本寫不出來，而且它們要多少有多少、擠得離 b 要多近有多近。恆等式的版本則不受影響：在這些點上等式兩邊同時是零，照樣成立。
Let x ∈ D(h) satisfy 0 < |x − b| < δ₀. Substituting y = g(x) and dividing by x − b yields (h(x) − h(b))/(x − b) = H(g(x))·(g(x) − g(b))/(x − b). Because g is continuous at b and H is continuous at a = g(b), Theorem 20.8 makes H ∘ g continuous at b, so by 25.5 its limit at b is f′(a). Since the second factor tends to g′(b) by 27.1, the algebra of limits gives h′(b) = f′(a)·g′(b).
這一步的所求：把恆等式換成差商的等式，再讓兩個因子各自過極限。代入與除法都是機械動作，值得看的是右邊的形狀：整條式子裡沒有任何一個分母寫著 g(x) − g(b)，所以 g 在 b 附近取到多少次 g(b) 都無所謂——上一張圖的那些紅點全部安全通過。兩個因子的極限分別來自兩條結論：§20-5 的 20.8（內層在該點連續、外層在對應點連續，合成就在該點連續）把 H 與 g 接起來，§25-2 的 25.5（在一點連續，等於該點的極限存在而且就等於那一點的值）把連續翻成極限；第二個因子的極限是 g′(b)，這是 27.1 的原話。最後由 §25-3 的極限四則（兩個函數各有極限時，乘積的極限是極限的乘積）把兩個因子的極限乘起來——b 是兩個因子共同定義域的 cluster point，這由第一步供應，屬於例行核對。接續前面的數字：g(x) = 3x + 1、f(y) = y²、b = 1 時 H(g(x)) = 3x + 5，在 x = 1 是 8；g 的差商恆為 3，乘積是 24，與直接展開求導的答案一致。
Let f be continuous and strictly increasing on an interval J (the decreasing case is analogous) and let φ be its inverse. If f has a derivative at an interior point c of J with f′(c) ≠ 0, then φ has a derivative at d = f(c) and φ′(d) = 1/f′(c).
結論的形狀很好記：倒著讀的函數，導數就是原來那個導數的倒數，而且兩個導數讀在配成一對的位置上——f′ 讀在 c，φ′ 讀在 d = f(c)。前提裡的 f′(c) ≠ 0 不能省，因為倒數不許有零分母，而這不只是形式上的顧慮：導數為零的地方，反函數的差商真的會炸開。證明分兩塊，各由前面的結果供應：φ 的連續由 §22-4 的 22.9（compact 定義域上連續的單射，反函數也連續）給，而 φ 的差商恰好是 f 的差商上下顛倒，取極限時分母不趨向零，倒數才過得了極限。
f 在區間 J 上連續且嚴格遞增，φ 是它的反函數，定義域是 f(J)；c 是 J 的內點，f′(c) 存在且不為零，d = f(c)。要算的是 φ 在 d 的差商的極限。兩處要小心：φ 是「倒著讀」定義出來的，關於它我們一開始什麼都不知道；而差商顛倒過來之後，分母會不會塌到零得交代清楚。
證明計畫 · 由所求想起 所求是 φ 在 d 的差商的極限。 第一步：先證 φ 在 d 連續。能生出反函數連續性的定理要求定義域 compact，而 J 自己不一定是，所以把 f 限制在一個包住 c 的閉子區間上再用它。 第二步：把 f 的差商補上一格（與前一個證明同一個手法，這次補在 c），並注意嚴格遞增讓它在 c 以外永遠不為零。 第三步：把 φ 的差商寫成這個補好的函數在 φ(y) 那一點的值的倒數。 第四步：倒數的分母在 d 這一點的值是 f′(c)，題目假設它不為零，取極限這一步於是過得了。
Proof. Because c is an interior point of J, pick α, β ∈ J with α < c < β and put K = [α, β]. On K the function f is continuous and injective, and K is compact, so 22.9 says that the inverse of the restricted function is continuous on its image. Since f is continuous and strictly increasing, 22.4 gives f(K) = [f(α), f(β)] with f(α) < d < f(β). As f is injective on all of J, that inverse agrees with φ on f(K). Hence φ is continuous at d.
這一步的所求：φ 在 d 連續，因為後面每一步都要靠「y 靠近 d 時 φ(y) 靠近 c」。不能直接把 22.9（compact 集合上連續的單射，其反函數在像上連續）套在 J 上，因為 J 可以是開的、也可以無界，那時它不是 compact；改套在閉子區間 K 上就沒有這個問題，而 c 是內點正好保證挑得到這樣一個 K 把 c 夾在中間。像集合長什麼樣由 §22-2 的 22.4 中間值定理（連通集上的連續實值函數，取得到 inf 與 sup 之間的每一個值）交代：兩端之間的值一個都不漏，而嚴格遞增讓它也跑不出兩端，所以像恰好是 [f(α), f(β)]。最後一句是邊界簿記：d 落在這一段的內部，所以 d 附近的 y 全都落在 f(K) 裡，限制版的連續就是 φ 自己在 d 的連續。拿數字走一次：f(x) = x² 於 [0, ∞)、c = 3，取 α = 2、β = 4，則 K = [2, 4]、f(K) = [4, 16]，而 d = 9 確實落在裡面而不在兩端。
這張圖在說第一步為什麼要繞一個閉子區間：上排是把 c 夾在中間的 [α, β]，它 closed 又 bounded，22.9 收得下；下排是它的像，兩端之間的值一個都不漏。關鍵是 d 落在下排那一段的內部而不是端點上，於是靠近 d 的每個 y 都仍在這一段裡，倒著讀出來的值也就仍由這個限制版供應。
Define H on J by H(x) = (f(x) − f(c))/(x − c) for x ≠ c, and by H(c) = f′(c). As before, H is continuous at c and f(x) − f(c) = H(x)·(x − c) holds throughout J. Since f is strictly increasing, H(x) > 0 for every x ≠ c, while H(c) = f′(c) ≠ 0 by hypothesis. So H never vanishes on J.
這一步的所求：一個處處不為零、而且在 c 也有值的分母候選。補洞的手法與前一個證明一模一樣，只是這次補在 c：c 以外照抄 f 的差商，c 那一格填 f′(c)，連續與恆等式的驗證逐字相同，不重複。新的是「不為零」這一句，而它的兩半來源不同：x ≠ c 那一半靠嚴格遞增——x > c 時分子分母同為正、x < c 時同為負，商都是正的；x = c 那一格則是定理的假設直接給的。缺了任何一半，下一步的倒數都寫不出來。拿數字走一次：f(x) = x² 於 [0, ∞)、c = 3 時 H(x) = x + 3（x ≠ 3），而 H(3) 依定義是 f′(3) = 6——同樣接得剛好，而且 x + 3 在 [0, ∞) 上恆為正。
Let y ∈ f(J) with y ≠ d and put x = φ(y). Then x ≠ c and f(x) = y, so the identity reads y − d = H(x)·(x − c). Dividing by the non-zero number H(x)·(y − d) gives (φ(y) − φ(d))/(y − d) = 1/H(φ(y)).
這一步的所求：把 φ 的差商寫成一個算得動的式子。想法只有一句：f 那邊量的是「輸出的差除以輸入的差」，倒著讀之後輸入與輸出對調，於是同一組數字上下顛倒，商就變成倒數。技術上要核對兩件事。其一，y ≠ d 保證 x ≠ c，因為 φ 是單射，不同的 y 送到不同的 x；φ(d) = c 則是反函數的定義。其二，H(x) 不為零由前一步供應，所以拿它當分母合法。寫成 1/H(φ(y)) 而不是「1 除以 f 的差商」是有差別的：後者在 φ(y) = c 那一格沒有定義，前者則處處寫得出來，而下一步要用的連續性正是在那一格上發生的。拿數字走一次：f(x) = x²、c = 3、d = 9，取 y = 16 則 φ(16) = 4，左邊是 (4 − 3)/(16 − 9) = 1/7，右邊是 1/H(4) = 1/7。
Since φ is continuous at d and H is continuous at c = φ(d), Theorem 20.8 makes H ∘ φ continuous at d, its value there being f′(c) ≠ 0. By 20.6 the reciprocal 1/(H ∘ φ) is therefore continuous at d as well, so 25.5 turns that into a limit: the difference quotient of φ tends to 1/f′(c) as y → d. Hence φ′(d) = 1/f′(c).
Let q ∈ ℕ. The map x ↦ x^q carries [0, ∞) one-to-one onto [0, ∞), so every y ≥ 0 possesses a unique non-negative q-th root. For x > 0 and a rational r = p/q the power x^r is defined, and (x^r)′ = r·x^(r−1).
整條路分成三段：先造出方根，再算方根的導數，最後把 p 次方接上去。第一段只用連續與單調，第二段用反函數的導數規則，第三段用鏈鎖律。p 可以是負整數，所以第三段要用到的「整數次方的導數」得涵蓋負的指數；q 則一律是自然數。
證明計畫 · 由所求想起 所求最終是一條求導公式，可是在求導之前，被求導的那個函數得先存在。 第一步：確認 x ↦ x^q 在 [0, ∞) 上連續且嚴格遞增，前者用連續的四則、後者用導數為正的判準。 第二步：用中間值定理證它取得到每一個非負值，嚴格遞增再給唯一性——方根於是存在且只有一個。 第三步：把反函數的導數規則套在它身上，算出方根的導數。 第四步：把有理次方定義成「先開方根再取整數次方」，並核對這個值不隨 r 的表示法改變。 第五步：對這個合成套鏈鎖律，兩個導數相乘化簡成所求的形狀。
Proof. Write F(x) = x^q for x ≥ 0. Repeated use of 20.6 shows that F is continuous, and the rule for integral powers gives F′(x) = q·x^(q−1), which is positive for x > 0. Let 0 ≤ x₁ < x₂. Every point of (x₁, x₂) is positive, so 27.9(iv) applies on [x₁, x₂] and yields F(x₁) < F(x₂). Thus F is strictly increasing on [0, ∞) and in particular injective.
Let y ≥ 0. If y = 0 then F(0) = 0. If y > 0, put H = [0, y + 1]. Since y + 1 ≥ 1, monotonicity makes the factor (y + 1)^(q−1) at least 1, so F(y + 1) ≥ y + 1 > y, while F(0) = 0 < y. As H is connected and F is continuous on it, 22.4 supplies t ∈ H with F(t) = y. Injectivity makes t unique; write it y^(1/q).
這一步的所求：每個非負的 y 都被 F 取得到，而且只被取到一次。22.4 中間值定理（連通集上的連續實值函數，取得到 inf 與 sup 之間嚴格居中的每一個值）要的是一段區間、一個在下的值、一個在上的值。在下的那個現成：F(0) = 0。在上的那個要挑一個右端點，而 y + 1 挑得剛好——它不小於 1，所以 (y + 1)^q 至少是 y + 1 自己（把一個不小於 1 的數再乘上它自己好幾次，只會更大），而 y + 1 已經超過 y 了。唯一性不必另證：上一步的嚴格遞增就是單射，兩個不同的非負數的 q 次方不會相等。拿數字走一次：q = 3、y = 20 時取 H = [0, 21]，兩端的值是 0 與 9261，20 夾在中間，中間值定理交出的那個 t 大約是 2.714，而 2.714³ ≈ 20.0。
這張圖在說第二步憑什麼交得出方根：藍色的曲線從 0 出發，一路爬到超過指定高度 y 的地方。中間值定理說的正是「起點在虛線之下、終點在虛線之上的連續曲線，必定與虛線相交」，而交點的橫座標就是所求的方根。嚴格遞增則保證曲線只穿過虛線一次，所以交點只有一個——這兩件事合起來，方根才既存在又唯一。
Let φ denote the inverse of F, so φ(y) = y^(1/q). Fix y > 0 and set c = φ(y), a positive number and hence an interior point of [0, ∞). Since F′(c) = q·c^(q−1) ≠ 0, the rule for inverses applies and gives φ′(y) = 1/(q·c^(q−1)).
For x > 0 and integers p, q with q ∈ ℕ, define x^(p/q) = (x^(1/q))^p. This does not depend on the representation: if u = x^(1/(qm)) for m ∈ ℕ, then (u^m)^q = u^(qm) = x, so u^m = x^(1/q) by uniqueness of roots, whence u^(pm) = (u^m)^p = (x^(1/q))^p. Two representations of the same rational, say p/q and p′/q′, both reduce in this way to the representation with numerator pq′ and denominator qq′.
這一步的所求：確定「x^r」這個記號指的是一個確定的數。問題是真的：同一個有理數寫得出無限多種樣子，1/2、2/4、3/6 都是它，而定義是照著 p 與 q 去算的——先開 q 次方根，再取 p 次方。如果換一種寫法算出不同的數，這個記號就沒有意義，後面的求導公式也失去對象。核對只需要一個觀察：把 qm 次方根連乘 m 次，得到的東西的 q 次方是 x，而非負的 q 次方根只有一個（第二步），所以它就是 q 次方根本身。分子分母同乘一個 m 因此不改變結果；而任兩種寫法都能同時擴分到分母 qq′ 那一種，於是彼此相等。拿數字走一次：x = 64、r = 1/2 算得 8；改寫成 3/6，先開 6 次方根得 2，再取三次方也是 8。
Now fix x > 0 and put u = φ(x) > 0. The map v ↦ v^p has derivative p·v^(p−1) at u: for p ∈ ℕ this is the rule for integral powers, for p = 0 the function is constant, and for negative p it follows from the quotient rule. Since u is an interior point of that map's domain, the chain rule gives (x^r)′ = p·u^(p−1)·(1/q)·x^(1/q − 1). Adding the exponents (p − 1)/q and (1 − q)/q produces p/q − 1, so (x^r)′ = r·x^(r−1).