§22-2  保連通性與中間值

一個沒有斷開的集合，經過連續函數之後還會是沒有斷開的嗎？如果會，這件事對一個實值函數的值域意味著什麼——它有沒有可能跳過某個中間的數？

一整塊送過去還是一整塊

把一條橡皮筋拉長、扭轉、揉成一團，它還是一整條；要讓它變成兩段，非得剪一刀不可。「連續」在直覺上就是「沒有剪那一刀」，所以一整塊的東西送過去之後應該還是一整塊。

上一篇剛示範過直覺會出錯：連續函數把 open set 送過去可能不再 open。所以這一次不能靠感覺，得真的證。好消息是 22.1 已經把工具備齊——§12-1 的 12.1 定義 disconnected 用的正是「兩個 open set 把集合切成兩堆」，而 22.1 正好管 open set 的逆像。

本篇證兩件事。第一件是連通性過得去；第二件是它在實值函數上的兌現，那個結論的名字比定理本身更有名。

22.3  PRESERVATION OF CONNECTEDNESS
Let H ⊆ D(f) be connected in ℝᵖ and let f be continuous on H. Then the image f(H) is connected in ℝ^q.
連續函數把一整塊送成一整塊。要留意這裡只要求 f 在 H 上連續，定義域其他地方發生什麼事一概不管——證明第一步就是把 f 限制到 H 上，之後外面的點與這件事無關。
正例：f(x) = x² 把 connected 的 [−1, 2] 送成 [0, 4]，仍然是區間、仍然 connected。反例：定理不能倒過來用——f(x) = x² 把 disconnected 的 [−2, −1] ∪ [1, 2] 也送成 connected 的 [1, 4]。像 connected 推不回原像 connected，因為函數可以把分開的兩塊疊在一起。
PROOF

先把 f 限制在 H 上，記這個函數為 h：它的定義域就是 H，取值與 f 一樣，所以 h(H) = f(H)，而且 h 在自己的定義域上處處連續。這一步讓 22.1 裡的 D(f) 直接變成 H。

證明計畫 · 由所求想起
所求是「像沒有任何拆法」，而拆法是找不完的，所以走反面：假設像被拆開了，把那個拆法原封拉回定義域。拉回去的工具是 22.1(b)——像那邊的兩個 open set 各自對應到這邊的一個 open set。剩下的工作是逐條驗收：拉回來的兩堆非空、不相交、聯集恰是 H。三條都過，就得到 H 的一個拆法，與 H 連通矛盾。

Proof.  Suppose h(H) is disconnected, so there are open sets A, B in ℝ^q for which A ∩ h(H) and B ∩ h(H) are non-empty, disjoint, and have union h(H). By 22.1 applied to h there are open sets A₁, B₁ in ℝᵖ with
  A₁ ∩ H = h⁻¹(A),  B₁ ∩ H = h⁻¹(B).
這一步的所求：把像那邊的拆法搬到定義域這邊。能搬的理由只有一個——22.1 保證 open set 的逆像切得出來，而 12.1 的拆法用的恰好是 open set。這裡限制到 H 的動作在這一步見效：h 的定義域就是 H，所以 22.1 交出的等式右邊直接寫成「交上 H」，不必再處理 H 以外的定義域點。
These two sets are non-empty: if y ∈ A ∩ h(H) then y = h(x) for some x ∈ H, and that x lies in h⁻¹(A). They are disjoint: a common point x would give h(x) ∈ A ∩ B ∩ h(H), which is empty. And their union is H: each x ∈ H has h(x) ∈ h(H), hence h(x) ∈ A or h(x) ∈ B.
這一步是邊界簿記，三條逐一核對。三條全是「把像那邊的性質沿著逆像翻譯回來」，翻譯之所以不走樣，是因為逆像對交集與聯集都守全等號（§2-3 的 2.13：逆像對 ∩、∪、∖ 一項不漏，而正像只保半邊）。非空那條要往回追一個原像點，用的是 y 落在 h(H) 裡這個前提——若 A 只碰到 h(H) 以外的地方就追不到人。
Thus A₁, B₁ form a disconnection of H, contrary to the hypothesis that H is connected. Hence h(H) = f(H) is connected.
這一步結案。整段論證真正做的事是把矛盾往回推一層：像被拆開 ⟹ 原像被拆開，而原像不可拆，所以像也不可拆。要留意方向——這裡沒有證明「原像被拆開時像也被拆開」，那句話是假的，例 x² 把兩段疊起來就是反例。
連通性沿著連續函數往前傳。∎
f H 一整塊 像也一整塊 f⁻¹ A B A₁ B₁ 像若能斷，原本那塊就跟著斷——所以像不能斷

這張圖在說 22.3 的反證機制，走的是下排：假設像被兩個 open set 切成互不相交的兩段，22.1 把這兩個 open set 各拉回定義域這邊一個，於是 H 也被切成兩段。上排畫的是定理保證的結果（一整塊送成一整塊），而證明實際走的是下排那個矛盾。

22.4  BOLZANO'S INTERMEDIATE VALUE THEOREM
Let H ⊆ D(f) be connected in ℝᵖ and let f be continuous on H with values in ℝ. If a real number k satisfies
  inf f(H) < k < sup f(H),
then f(x) = k holds for at least one x ∈ H.
值域裡凡是被夾在 inf 與 sup 之間的數，一定真的被取到——連續的實值函數在一整塊上不會跳過任何中間值。定義域可以是任何維度的連通集，值必須是實數：這條定理靠的是 ℝ 上「小於 k」與「大於 k」剛好把數線切成兩個 open set，高維沒有這種切法。
正例：f(x) = x² 在 H = [0, 2] 上，inf = 0、sup = 4，取 k = 2，於是某個 x ∈ [0, 2] 滿足 x² = 2——這正是 §6-4 的 6.8 硬幹出來的那個數。反例：H 不連通就失效——f(x) = x 在 H = [0, 1] ∪ [2, 3] 上 inf = 0、sup = 3，可是 k = 1.5 從來沒被取到。
PROOF

要證的是「k 被取到」，也就是 k ∈ f(H)。手上有的只有 22.3：f(H) 是 ℝ 的一個 connected 子集。

證明計畫 · 由所求想起
所求是「k 在像裡」，走反面：假設 k 不在像裡，那條數線就在 k 這一點被挖空，於是「小於 k」與「大於 k」這兩個 open set 把像切成兩堆。兩堆非空這件事由 k 嚴格夾在 inf 與 sup 之間直接給出。切成兩堆就與 22.3 矛盾。

Proof.  Suppose k ∉ f(H) and put A = {t ∈ ℝ : t < k} and B = {t ∈ ℝ : t > k}. Both are open in ℝ, they are disjoint, and since k is not a value of f on H their union contains f(H).
這一步的所求：造出一組候選的拆法。造得出來的關鍵是假設本身——k 不被取到，所以 f(H) 完全避開了 k 這一點，兩個開半線於是蓋得住它。若 k 真的被某個點取到，那個值既不小於也不大於 k，會從兩堆裡同時漏掉，拆法立刻不成立。
Since inf f(H) < k, the number k is not a lower bound of f(H), so some value lies in A; since k < sup f(H), likewise some value lies in B. Hence A, B is a disconnection of f(H), contradicting 22.3. Therefore k ∈ f(H).
這一步的所求：確認兩堆都不是空的。用的是 inf 與 sup 的定義本身——inf 是最大的下界，比它大的數 k 就當不成下界，所以必有一個值溜到 k 底下（§6-1 的 6.3 的左測就是這件事）；sup 那邊對稱。這裡看得出敘述為什麼寫嚴格不等號：k 等於 inf 時，值可以全部大於等於 k，那一堆就空了。
連通性一旦保住，中間值就跳不掉。∎
k 一定穿得過去 值一路由低走高 k 跳過就斷成兩段

這張圖在說 22.4 的反證機制：右側是「假設 k 沒被取到」的畫面——像集合在 k 這一格被挖空，於是它被上下兩個開半線切成互不相交的兩段，這是 ℝ 裡貨真價實的一個 disconnection，與 22.3 直接衝突。左側是定理保證的結果，證明本身走的是右側那條路。

兩個馬上用得上的結論

22.4 的敘述看起來很抽象，可是它幾乎是「解方程式有解」這件事的通用工具：想證明某個方程式有根，只要找到函數值一正一負的兩個點就夠了，完全不必知道根長什麼樣。下面兩個例子一個在代數裡，一個在地球上。

例 3奇次多項式一定有實根
五次方程式沒有公式解。那要怎麼知道它有沒有實根？
  1. 先看一個具體的：p(x) = x⁵ − 3x + 1。它連續——多項式由常數與 x 反覆相乘相加而成，§20-5 的 20.6 一路保下來。
  2. 算四個值：p(−2) = −25、p(0) = 1、p(1) = −1、p(2) = 27。
  3. 在 H = [−2, 0] 上（區間，由 §12-3 的 12.8 知 connected）有 inf p ≤ −25 < 0 < 1 ≤ sup p，所以 22.4 給出一個根。同樣的算法在 [0, 1] 與 [1, 2] 上各給一個。這個五次式至少有三個實根，而我們一個都沒算出來。
  4. 推廣到所有奇次的情形。設 p 的最高次項是 xⁿ 而 n 是奇數（首項係數不是 1 時先整條除掉它，根不變）。|x| 夠大時最高次項的絕對值超過其餘各項的總和，於是 p(x) 與 xⁿ 同號；n 是奇數使得 xⁿ 在正負兩端異號。取這樣的一個 R，在 [−R, R] 上 p(−R) < 0 < p(R)，22.4 交出一個根。
第 3 步值得停一下：結論是「存在」，證法卻完全沒有建構——只算了四個容易算的值，剩下的由連通性接手。偶次的情形沒有這個保證，x² + 1 恆正就是現成的反例，因為 xⁿ 在正負兩端同號，第 4 步的異號一步就斷了。
例 4赤道上永遠有一對正對面的點溫度相同
這聽起來像是巧合。可是它每一刻都成立，而且只用得到 22.4。
  1. 把赤道用角度參數化：T(θ) 是角度 θ 那一點此刻的氣溫，θ ∈ [0, 2π]。假設溫度隨位置連續變化，並注意繞完一圈回到原地，所以 T(2π) = T(0)。
  2. 定義 g(θ) = T(θ) − T(θ + π)，定義域取 [0, π]。θ 與 θ + π 是圓上正對面的兩點，所以要證的就是 g 在某處取值 0。g 連續：兩個連續函數相減，20.6。
  3. 算兩端：g(0) = T(0) − T(π)，而
      g(π) = T(π) − T(2π) = T(π) − T(0)。
    兩者恰好互為相反數。
  4. 若 g(0) = 0，θ = 0 就是答案。否則 g(0) 與 g(π) 一正一負，於是在 connected 的 [0, π] 上 inf g < 0 < sup g，22.4 交出一個 θ* 使 g(θ*) = 0，也就是 T(θ*) = T(θ* + π)。
整段推理只用了兩件事：溫度隨位置連續、繞一圈回到原點。「相減之後兩端必定異號」這個構造是關鍵——直接對 T 用中間值定理得不到任何關於「正對面」的資訊，得先把要比較的兩個量做成同一個函數的兩端。第 4 步那個 θ* 在哪裡，定理一句話也沒說。
θ θ+π 正對面的一對點 g(0) g(π) 這裡取到零

這張圖在說例 4 的構造：左邊是圓上正對面的一對點，右邊是把兩點溫度相減得到的 g。兩端的值互為相反數，這一點不是碰巧，是「繞一圈回到原地」直接造成的——所以只要不是兩端都為零，就必定一正一負，中間值定理接手。圖上那個零點的位置是畫出來的示意，定理並不指出它在哪裡。

—— 第二階段到此結束 ——

本篇證了連通性沿著連續函數往前傳（22.3），手法是把像那邊的拆法用 22.1 拉回定義域。兌現成實值函數就是中間值定理（22.4）：夾在 inf 與 sup 之間的數一定被取到，而證明只是在 k 那一點把數線挖空。例 3 用它證明奇次多項式必有實根，例 4 用它證明赤道上永遠有一對正對面的點同溫，兩個都不必把答案算出來。喝口水，起來動一動——下一篇換另一個保得住的性質：緊緻性，而它兌現出來的東西比中間值定理更常用。