§1-1  集合的語言

「x 屬於 A」「A 包含於 B」這些記號的精確意思是什麼？兩個用完全不同方式描述的集合，要憑什麼判定它們相等？

為什麼從集合開始

演唱會入場口，工作人員拿著一份名單。你報上名字，接下來只有兩種結局：名字在名單上，進場；名字不在名單上，離場。沒有「算半個在」，沒有「大概在」，也沒有第三種答案——而且同一份名單，不管用什麼順序唸、名字重複列印幾次，放行的都是同一批人。

這種「非黑即白、只認成員」的脾氣，正是數學裡最基本的物件——集合——的全部脾氣。往後每一個定義，拆到最裡層都是一句「某某東西在不在某份名單上」。所以在碰任何分析之前，本篇先把這門語言的文法立好：怎麼寫「在名單上」、怎麼比較兩份名單、怎麼判定兩份名單其實是同一份。

屬於與包含

設 A 是一個集合。x 是 A 的元素——白話說，x 在 A 這份名單上——記作 x ∈ A；不在名單上，記作 x ∉ A。我們不追問「是元素」這件事的哲學本質，只提出一條紀律：對任何元素 x 與任何集合 A，x ∈ A 與 x ∉ A 恰有一個成立。入場口不允許曖昧。

兩個集合 A、B 同時在場時，一個元素 x 的處境共有四種可能：

(1) x ∈ A 且 x ∈ B；  (2) x ∈ A 且 x ∉ B；  (3) x ∉ A 且 x ∈ B；  (4) x ∉ A 且 x ∉ B。

這張圖在畫四種處境各住在哪一塊：(1) 兩邊都在、(2) 只在 A、(3) 只在 B、(4) 兩邊都不在。之後本節的每一條定義與定理，都是在對這幾塊區域做文章。

如果情形 (2) 根本不會發生——A 的每個元素統統也在 B 裡——我們說 A 包含於 B（或 B 包含 A、A 是 B 的子集），記作 A ⊆ B。同樣地，情形 (3) 不發生就是 B ⊆ A。若 A ⊆ B 而且 B 裡真有元素不在 A 裡，稱 A 是 B 的真子集。

要注意 A ⊆ B 並不排除「A 恰好把 B 佔滿」的可能——每個集合都是自己的子集。而當兩個方向的包含同時成立，兩份名單就再也分不出彼此。這正是「相等」該有的定義：

「雙向包含」是這條定義的可操作形式，之後每一條集合恆等式的證明都長這個樣子：任取左邊的元素、證明它屬於右邊；再任取右邊的元素、證明它屬於左邊。本節稍後就會看到兩場完整示範。

集合的給法有兩種。一種是逐一列名：{1, 2}。另一種是開條件招人：設 P 是一個對某群元素有意義的性質，我們用

{x : P(x)}

表示「使 P 成立的一切 x」構成的集合，唸作「所有滿足 P(x) 的 x 所成的集合」。通常值得說清楚候選人是從哪個範圍來的，於是更常寫 {x ∈ S : P(x)}——在 S 之中滿足 P 的那些元素。兩種給法各有擅場：列名一目瞭然，條件能一口氣圈住無限多個元素。下面的例題練習在兩種給法之間翻譯。

常用的集合：ℕ、ℤ、ℚ、ℝ、I、ℂ

有幾份名單本讀本會反覆使用，值得現在就配上固定記號：

ℕ、ℤ、ℚ 的性質我們當作已經熟悉，不再逐一重驗；ℝ 則不然——它憑什麼比 ℚ 多出「無縫」的本事，正是接下來三節要嚴格回答的問題。