§16-1 單調收斂定理

一個只升不降、又有上界的實數列，能不能在還不知道極限是誰的情況下斷定它收斂？如果可以，極限會是什麼？而遞減的情形要不要重證一次？

不必先猜出答案的判準

前面兩節每一個收斂證明都有同一個前提：得先知道極限是誰。§14-2 的 14.4 要你交出 x 才驗得下去，§15-3 的 15.6 也要先有兩個已知的極限才組合得起來。可是實際遇到的數列常常看不出極限——尤其是遞迴定義的：你只知道下一項怎麼從上一項算出來，沒有通項公式可以觀察，更沒有答案可以猜。

先看一個日常的情境。一座水庫只進不出，水位只升不降；壩頂有固定的高度，水位永遠越不過去。不必知道最後會停在哪，就已經可以斷定它會停——只升不降，又有天花板，走勢就沒有別的可能。這個推理的數學版本，是本節第一個判準，而它的力量全部來自 §6-2 的完備性公理（6.4）：實數沒有破洞，所以「天花板」這件事真的兌現得出一個數。

單調收斂定理（16.1）

16.1 MONOTONE CONVERGENCE THEOREM

Let X = (xₙ) be a sequence of real numbers that is monotone increasing, meaning x₁ ≤ x₂ ≤ ⋯ ≤ xₙ ≤ xₙ₊₁ ≤ ⋯. Then X converges if and only if it is bounded, and in that case lim (xₙ) = sup {xₙ}.

設實數列 X = (xₙ) monotone increasing（單調遞增），即 x₁ ≤ x₂ ≤ ⋯。則 X 收斂的充要條件是它 bounded；而收斂時極限恰是 sup {xₙ}（值集合的最小上界）。

正例：xₙ = 1 − 1/n 單調遞增、上有界（每項 < 1），故收斂，且極限是 sup {1 − 1/n} = 1——注意 1 不是任何一項，sup 本來就不必是成員。反例：單調少不得——((−1)ⁿ) 有界卻發散；有界也少不得——(n) 單調遞增卻發散。兩個條件缺一不可。

PROOF

兩個方向。「收斂 ⟹ 有界」已由 §14-3 的 14.6 證過，這裡只需補上「極限恰是 sup」；反方向是本定理的實質內容。

證明計畫 · 由所求想起
⇢ 正方向：收斂已保證有界；要證極限等於 sup，把 sup 夾在 x − ε 與 x + ε 之間，再讓 ε 任意小。
⇢ 反方向：有界讓 6.4 交出 x* = sup {xₙ}——極限的候選人由完備性直接指定，不必用猜的。
⇢ 再證它真的是極限：sup 的左測給出一項越過 x* − ε，單調性把這件事一路傳給後面所有項。

Proof. Suppose X converges, say to x; boundedness is Lemma 14.6. Given ε > 0, Theorem 14.4 supplies K with x − ε ≤ xₙ ≤ x + ε for n ≥ K. Every term with n < K satisfies xₙ ≤ x_K ≤ x + ε by monotonicity, so x + ε is an upper bound and sup {xₙ} ≤ x + ε; and sup {xₙ} ≥ x_K ≥ x − ε. Hence |x − sup {xₙ}| ≤ ε for every ε > 0, which forces x = sup {xₙ}.

正方向的重點只有一件事：把 sup {xₙ} 夾進 [x − ε, x + ε] 這條窄帶裡。上界那半要小心——14.4 只管得到 n ≥ K 的項，前面的項要靠單調性補：因為數列只升不降，n < K 的項都不超過 x_K，而 x_K ≤ x + ε，所以 x + ε 罩得住全部的項，是個上界；最小上界自然不超過它。下界那半更直接：sup 至少不小於任何一項，而 x_K ≥ x − ε。最後那一步值得說清楚：一個非負的數若小於等於每一個正數，它只能是零——否則取 ε 為它自己的一半就矛盾。於是 x 與 sup {xₙ} 之間的距離是零。

Conversely, let X be monotone increasing and bounded. By the Supremum Property 6.4 the number x* = sup {xₙ} exists, and xₙ ≤ x* for all n. Given ε > 0, Lemma 6.3 says x* − ε fails to be an upper bound, so x* − ε < x_K for some K. Monotonicity then gives x* − ε < x_K ≤ xₙ ≤ x* for every n ≥ K, so |xₙ − x*| < ε there. Since ε was arbitrary, lim X = x*.

反方向是整條定理的價值所在，也是不必先猜答案這句話的兌現處。極限的候選人不是猜的，是 6.4（非空、上有界的實數集必有最小上界）直接發的：取 x* = sup {xₙ}。剩下要證它真的是極限。任給 ε > 0，用 §6-1 的 6.3 左測（任何比 sup 小的數都被某個成員超過）：x* − ε 比 x* 小，所以有某一項 x_K 越過它。單調性在這裡是引擎：一項越過去，後面所有項都跟著越過去，因為它們只升不降；而上方有 x* 這個上界壓著。於是從第 K 項起，整條數列被鎖在寬度 ε 的區間 (x* − ε, x*] 裡。具體：xₙ = 1 − 1/n、ε = 0.01 時 x* = 1，取 K = 101 即有 0.99 < xₙ ≤ 1。

單調遞增的實數列，有界與收斂是同一件事，而極限就是那個 sup。∎

這張圖在證 16.1 反方向的機制：紅線是 sup，所有項都在它左側（或與它重合）。左測保證有一項 x_K 越過 x* − ε 這條虛線；而數列只升不降，所以其後每一項都被夾在淺色帶內。帶寬是 ε，而 ε 可以任意小——收斂就此成立。

遞減版：鏡射一次就好（16.2）

16.2 COROLLARY

Let X = (xₙ) be a sequence of real numbers that is monotone decreasing, meaning x₁ ≥ x₂ ≥ ⋯. Then X converges if and only if it is bounded, and in that case lim (xₙ) = inf {xₙ}.

單調遞減的實數列，收斂的充要條件同樣是 bounded；而收斂時極限恰是 inf {xₙ}（值集合的最大下界）。

正例：(1/n) 單調遞減、下有界（每項 > 0），故收斂，極限是 inf {1/n} = 0。反例：(−n) 單調遞減卻無下界，發散——遞減本身保證不了收斂，天花板（這裡是地板）不能省。

PROOF

令 yₙ = −xₙ，把問題翻面丟回 16.1。

Proof. If X decreases then Y = (−xₙ) increases, since xₙ ≥ xₙ₊₁ gives −xₙ ≤ −xₙ₊₁. Also |−xₙ| = |xₙ|, so Y is bounded exactly when X is. Theorem 16.1 therefore makes Y convergent precisely when it is bounded, with lim (−xₙ) = sup {−xₙ}. Multiplying by −1 — legitimate by Theorem 15.6(b) — and using inf S = −sup(−S) from Theorem 6.5, we get that X converges exactly when bounded, with lim (xₙ) = inf {xₙ}.

整份證明是一次翻面，三個部件各自對應。第一，單調性翻面：§5-2 的 5.6（不等式同乘負數翻向）把「只降不升」變成「只升不降」。第二，有界性不受影響，因為取負不改變絕對值。第三，結論翻回來：lim (−xₙ) = −lim (xₙ) 由 15.6(b)（常數倍可以進出極限，這裡常數取 −1）保證，而 sup {−xₙ} = −inf {xₙ} 正是 §6-2 的 6.5（inf 由 sup 鏡射而得）的內容。值得記住的是這個模式本身：ℝ 上「上」與「下」的每一條結果都成對出現，證了一邊，另一邊取負即得，不必重寫。

遞減版免費附送。∎

這張圖在說 16.2 為什麼不必重證：把整條數列取負，等於把數線左右鏡射一次——遞減變遞增，下界變上界，inf 變 sup。16.1 在鏡子的另一邊已經證完了，翻回來就是 16.2。

—— 第一階段到此結束 ——

第一個判準到手：單調的實數列，收斂與有界是同一件事（16.1），遞減版取負即得（16.2）。它與前兩節的工具有本質差別——不必先猜出極限，因為極限的身分由完備性公理直接指定成 sup。下一篇 §16-2 拿它去對付四個算例，其中兩個是遞迴定義、沒有通項公式可看，最後一個會生出一個往後到處都是的常數。起來走動一下再繼續。