§27-1  導數

差商是一個算得出來的量，可是它在 c 這一點本身沒有定義。要怎麼用它定出一個只屬於 c 的數？而這個數一旦存在，會不會反過來要求函數在那裡連續？

變化率怎麼寫成定義

腳踏車從坡頂滑下來，前十秒走了 20 公尺，接下來十秒走了 35 公尺。旁邊的人問：它在第 12 秒有多快？手上能算的卻只有一段一段的平均——量任何速度都得先有兩個時刻相減，可是「某一刻的快慢」只給我們一個時刻。

常見的辦法是把那一段時間縮短：從第 12 秒量到第 13 秒、量到第 12.1 秒、量到第 12.01 秒，看看算出來的平均往哪裡靠。這個做法很自然，可是它不能一路縮到底——時間差一旦真的變成零，距離差也是零，而 0/0 什麼都不是。所以「縮到底」不能照字面執行，得換個說法。

換的說法我們已經很熟：不要求算出 那一刻 的值，只要求有一個數，讓平均在時間差夠小的時候與它相差夠少；而「夠少」由對方指定，「夠小」由我們回答。把腳踏車換成一般的函數 f、把時刻換成定義域裡的一點 c，那個一段一段的平均就是

(f(x) − f(c))/(x − c)，

它有一個現成的名字：差商（difference quotient）。差商在 x ≠ c 的每一點都算得出來，在 x = c 那一點沒有定義——下面這張圖先把它的幾何意思擺出來。

f(c) f(x) c x y = f(x) 割線的極限 割線的斜率就是差商

這張圖在說差商量的是什麼：藍色那條直線穿過圖形上的兩個點，它的斜率就是差商——高度差除以橫向差。兩個點越靠越近時，藍線會往紅色虛線那個位置轉過去，可是兩點重合的那一瞬間藍線根本畫不出來（兩個點決定不了一條線）。定義要捕捉的正是紅線的斜率，而捕捉的方式不能是「讓兩點重合」。

27.1  DEFINITION
Assume that c lies in D and is a cluster point of D.
Call a real number L the derivative of f at c provided that to each ε > 0 there corresponds a δ(ε) > 0 for which every x ∈ D with 0 < |x − c| < δ(ε) satisfies
  |(f(x) − f(c))/(x − c) − L| < ε.
The number L is then denoted by f′(c).
兩個前提各有各的分工。c ∈ D 是為了讓 f(c) 寫得出來——差商裡有這一項，少了它整個式子無從談起。c 是 §10-2 的 10.3 說的 cluster point（c 的每一個 neighborhood 裡都還有 D 中異於 c 的點），則是為了讓「要多靠近 c 就有多靠近」的地方永遠還有點可以代進差商。定義並沒有要求 c 是內點，所以區間的端點也問得出導數，只是那時 x 只能從一側靠過來。
正例：D = ℝ、f(x) = 3x + 1、c = 2。差商恆等於 3，誤差永遠是零，所以不管對方給多小的 ε，回答 δ(ε) = 1 都過關，f′(2) = 3。反例：D = [0, 1] ∪ {5}、c = 5。這個 c 屬於 D，卻不是 D 的 cluster point——取 δ = 1，滿足 0 < |x − 5| < 1 的 x ∈ D 一個也沒有，於是那條不等式對每一個實數 L 都空著成立，f′(5) 要多少有多少。定義裡的 cluster point 擋的就是這件事。
同一件事還有第二種寫法。把差商看成 x 的一個函數（定義域是 D 去掉 c），27.1 要求的正是 §25-1 的 25.1 的 deleted limit：
  f′(c) = limₓ→c (f(x) − f(c))/(x − c)（x ∈ D、x ≠ c）。
兩種寫法字面不同，要檢查的事一模一樣；25.1 全篇假設 c 是 cluster point，也正是 27.1 把這一條寫進前提的原因。
0 1 5 δ 定義域的一段 孤立的點 這個圈裡沒有別的定義域點

這張圖在說 cluster point 這個前提在防什麼：右邊那一點屬於定義域，可是把圈子畫成半徑 1，圈裡除了它自己一個定義域的點都沒有。於是「代進差商檢查一下」這個動作根本執行不了，條件無事可做地成立，任何數都成了導數。左邊那一段就不會有這個問題——不論圈子縮得多小，圈裡永遠還有別的點。

定義寫好之後，先用兩個算得動的例子把它跑一遍。第一個挑差商化簡得掉的函數，看看整套流程的骨架；第二個挑一個在端點上會出事的函數，看看「問得出來」與「答得出來」是兩回事。

例 1從定義算 x² 的導數
27.1 只說「若有一個實數 L 滿足⋯」，沒有說 L 從哪裡來。第一次動手，怎麼把它找出來又驗證它？
  1. 令 D = ℝ、f(x) = x²，任取 c ∈ ℝ。ℝ 的每一點都是 ℝ 的 cluster point，27.1 的兩個前提都齊了。
  2. 先化簡差商。x ≠ c 時分子分母都含 x − c：
      (x² − c²)/(x − c) = (x + c)(x − c)/(x − c) = x + c。
    差商在 c 以外就是一條直線。
  3. 猜 L。直線 x + c 在 x = c 的那一格填 2c 最順，於是猜 L = 2c，並算出誤差：
      |(x + c) − 2c| = |x − c|。
  4. 驗證。對方給 ε > 0，我們回答 δ(ε) = ε。因為 0 < |x − c| < δ(ε) 時誤差恰好就是 |x − c|，所以誤差 < ε，條件成立。
  5. 拿數字對一次：c = 3、ε = 0.01 時 δ = 0.01。取 x = 3.004，差商是 3.004 + 3 = 6.004，與 2c = 6 相差 0.004，確實小於 0.01。
f′(c) = 2c 對每個 c ∈ ℝ 成立。這是最省力的一種情形：差商化簡之後誤差直接等於 |x − c|，根本不必做任何估計，δ 與 ε 一比一對應。多數函數沒有這麼客氣，下一個例子就得動手估。
2c c x 差商 = x + c 挖掉這一點

這張圖在說例 1 為什麼一步就過關：畫的不是 x² 的圖形，而是差商本身當成 x 的函數的圖形——它是一條直線，只在 x = c 那一點被挖空。定義要找的 L 就是把那個空洞補起來的高度 2c，而直線上的點離空洞多遠，函數值就離 2c 多遠，這正是 δ(ε) = ε 的來由。

例 2√x 在正點可微，在端點 0 問得出卻答不出
27.1 允許 c 是端點。那麼把定義域取成 [0, ∞) 再問 √x 在 0 的導數，會得到什麼？
  1. 令 D = [0, ∞)、f(x) = √x。先看 c > 0。差商的分母含 x − c，把它有理化：
      x − c = (√x − √c)(√x + √c)，
    所以 x ≠ c 時 (√x − √c)/(x − c) = 1/(√x + √c)。
  2. 猜 L = 1/(2√c)（把 x 換成 c 代進上式），並算誤差。通分之後
      |1/(√x + √c) − 1/(2√c)| = |√c − √x| / (2√c(√x + √c))，
    再把 |√c − √x| = |x − c|/(√x + √c) 代進去，得
      誤差 = |x − c| / (2√c (√x + √c)²)。
  3. 估分母。因為 x ≥ 0，所以 (√x + √c)² ≥ c，於是 誤差 ≤ |x − c| / (2c√c)。對方給 ε > 0 時回答 δ(ε) = 2c√c · ε 就交差：f′(c) = 1/(2√c)。
  4. 換到端點。0 ∈ D，而且 0 的每個 neighborhood 都含 D 裡的正數，所以 0 是 D 的 cluster point，27.1 問得出來。此時差商是 (√x − 0)/(x − 0) = 1/√x——只能從右邊靠近，因為 D 在左邊沒有點。
  5. 證明沒有 L 合格。取 ε = 1，並隨便給一個 δ > 0 與一個候選的 L。由 §6-3 的 6.6 Archimedean 性質（ℕ 在 ℝ 中沒有上界），取得到自然數 n 同時大於 |L| + 1 與 1/√δ。
  6. 令 x = 1/n²。由於 n > 1/√δ，所以 x < δ；又 x > 0，於是 x ∈ D 且 0 < |x − 0| < δ，這個見證點確實合法。它的差商是 1/√x = n，而 §5-4 的 5.12 三角不等式給出 |n − L| ≥ n − |L| > 1 = ε。條件垮掉。
√x 在每個 c > 0 可微，導數是 1/(2√c)；在 0 這個端點，導數問得出來卻答不出來，因為差商 1/√x 超得過任何事先給定的數。端點問得出導數是定義給的權利，不是答案存在的保證。
y = √x c 這條越來越陡 靠近 0 時差商要多大有多大

這張圖在說例 2 的兩半為什麼結果相反：在 c > 0 的地方（藍點），曲線的傾斜程度是有限的，割線靠過去時斜率穩定地收到 1/(2√c)。可是從原點拉出去的那條紅色割線，取的點越靠近原點就越陡，斜率一路衝過任何事先寫下的數——所以那裡沒有任何一個實數當得成導數。

兩個例子都算出了導數（或確認算不出），可是還沒問一個更基本的問題：一個點上有導數，這件事對函數本身有什麼要求？下面這條引理給出答案，而且答案是單向的。

27.2  LEMMA
If f has a derivative at c, then f is continuous at c.
關鍵在於把「值的差」拆成「差商乘上 |x − c|」：f(x) − f(c) 就等於差商乘回 x − c。既然差商離 f′(c) 不遠、因此本身有界，整個乘積就被 |x − c| 壓得下去。反過來不成立——§20-1 的 20.1 的連續只要求值靠得近，不要求靠近的速度跟得上 |x − c|，而 27.1 要求的正是後者。
正例：f(x) = x² 在 c = 3 有導數 6（例 1），所以它在 3 連續——不必再另外驗一次連續。反例：把箭頭反過來就不成立，f(x) = |x| 在 0 連續，卻沒有導數（例 3）。可微是比連續更嚴的要求，27.2 只能往一個方向走。
PROOF

手上是 27.1 給的一句「對每個 ε 都有一個 δ」，要的是 20.1 給連續的同一種句子。兩句話的量詞形狀一樣，差別在被估計的東西：定義管的是差商的誤差，結論要的是函數值的誤差。

證明計畫 · 由所求想起
所求是讓 |f(x) − f(c)| 小，而它等於差商乘上 |x − c|。乘積的兩個因子分工：一個要有界，一個要能任意小。
第一步：把定義用在一個固定的誤差上（取 1），換來差商的一個與結論無關的上界。
第二步：用三角不等式把「差商離 f′(c) 不到 1」翻成「差商的絕對值有上界」。
第三步：兩邊乘上 |x − c|，再把 |x − c| 取得夠小，把乘積壓到對方要求的誤差以下。

Proof.  Apply 27.1 with ε = 1: there is a δ > 0 such that
  |(f(x) − f(c))/(x − c) − f′(c)| < 1
for every x ∈ D with 0 < |x − c| < δ.
這一步的所求：一個與後面那個 ε 完全無關的固定上界。27.1 的條件對每一個正數都成立，所以把它用在 1 上完全合法，換回來一個只跟 c 有關的 δ。挑 1 沒有任何深意，重點是它是常數——如果這裡就把待證的 ε 代進去，得到的上界會跟著 ε 一起變動，等一下乘上 |x − c| 之後估計就繞回原地。要記住這條不等式只對「離 c 不到 δ、而且不等於 c」的定義域點成立，後面每次引用都受這個限制。
Since |A| − |B| ≤ |A − B| for all real A, B by 5.12, these x satisfy
  |(f(x) − f(c))/(x − c)| < |f′(c)| + 1.
Multiplying by |x − c| gives |f(x) − f(c)| ≤ |x − c| (|f′(c)| + 1).
這一步的所求：把「差商的誤差小」換成「差商本身不大」。§5-4 的 5.12 三角不等式（和與差的絕對值被「絕對值的差」與「絕對值的和」上下夾住）給出 |A| − |B| ≤ |A − B|；把 A 取成差商、B 取成 f′(c)，前一步的「小於 1」就翻成差商的絕對值小於 |f′(c)| + 1。接著乘上 |x − c| 是整段推理的樞紐：差商乘回 |x − c| 剛好還原成 |f(x) − f(c)|，於是「有界的量」乘上「可以任意小的量」就是可以任意小。不等號寫成 ≤ 而不是 <，是為了讓 x = c 也算數（那時兩邊都是零），這是邊界簿記，下一步會用到。
Now let ε > 0 be given and put δ(ε) = inf {δ, ε/(|f′(c)| + 1)}. Because |f′(c)| + 1 > 0, every x ∈ D with |x − c| < δ(ε) satisfies |f(x) − f(c)| < ε. Therefore f is continuous at c.
這一步的所求：把 20.1 要的那句話原封交出去。§20-1 的 20.1 要求對每個誤差都找得到 c 的一個範圍，使範圍內的定義域點的值都離 f(c) 不超過那個誤差。取 inf 是因為兩個條件得同時滿足：不超過 δ 才用得上前一步的估計，不超過 ε 除以那個上界才把乘積壓到 ε 以下。分母寫成 |f′(c)| + 1 而不是 |f′(c)|，是因為導數可以是零，除以零這一格必須事先避開——多出來的那個 1 從第一步一路跟到這裡，正是它讓分母永遠是正數。x = c 的那一格左邊是零，當然小於 ε，這是例行核對。
有導數的點必定連續。∎
(c, f(c)) 圖形困在裡面 兩條邊的斜率 |f′(c)| + 1

這張圖在說證明第二步造出來的那個估計長什麼樣：|f(x) − f(c)| ≤ |x − c| (|f′(c)| + 1) 的幾何意思，就是圖形被關在以 (c, f(c)) 為頂點、斜率為 ±(|f′(c)| + 1) 的兩條紅線之間。兩條線在頂點處收成一個點，所以只要橫向靠得夠近，縱向的差距自動被夾到任何指定的範圍內——這就是連續。

例 3|x| 在 0 連續，卻沒有導數
27.2 說可微推得出連續。反過來呢——連續的點是不是也一定有導數？
  1. 令 D = ℝ、f(x) = |x|、c = 0。因為 f(0) = 0，差商是 |x|/x。
  2. 算出它的兩種值。x > 0 時 |x| = x，差商是 1；x < 0 時 |x| = −x，差商是 −1。差商只有這兩個值，而且兩個值在 0 的任何一側都各自出現無限多次。
  3. 取 ε = 1，假設某個 L 合格。那麼存在 δ > 0，使 0 < |x| < δ 的每個 x 都滿足「差商與 L 相差小於 1」。取 x = δ/2 得 |1 − L| < 1，取 x = −δ/2 得 |−1 − L| < 1。兩個見證點都落在 D = ℝ 裡，取法合法。
  4. 兩式相加即出矛盾。由 §5-4 的 5.12 三角不等式，
      2 = |(1 − L) + (L + 1)| ≤ |1 − L| + |L + 1| < 2。
    因為 2 < 2 不可能，所以沒有任何 L 合格，f′(0) 不存在。
  5. 另一方面它在 0 連續。恆等函數 x ↦ x 處處連續（對方給 ε，回答 δ = ε 即可），而 §20-5 的 20.7 說取絕對值保連續，於是 |x| 也處處連續。
  6. 0 以外沒事：c > 0 時 c 附近的差商恆為 1，c < 0 時恆為 −1，所以 f′(c) 分別是 1 與 −1。壞掉的只有原點這一點。
連續不蘊涵可微，所以 27.2 的箭頭真的只能往一個方向走。差在哪裡？連續只要求 f(x) 靠近 f(c)，至於用什麼方式靠近它不管；可微則進一步要求「靠近的速率」本身也收得住，而 |x| 在原點兩側的速率一個是 1、一個是 −1，談不攏。
1 −1 差商 = 1 差商 = −1 任何 δ 之內兩種值都出現

這張圖在說例 3 的矛盾從哪裡來：畫的是差商本身，它只取 1 與 −1 兩個值，中間沒有過渡。不論把灰色虛線之間那條帶子縮得多窄，帶子裡兩種值都在，於是任何候選的 L 都得同時離 1 與 −1 不到 1——這兩件事湊不到一起。對照例 1 的圖：那裡只挖掉一點，這裡是整條斷開。

例 4處處連續、處處沒有導數的函數存在
例 3 的壞點只有一個。壞點可以有多少個——有沒有可能整條線上一個好點都不剩？
  1. 壞點可以有很多個。把例 3 的函數平移再相加，例如 f(x) = |x| + |x − 1| + |x − 2|，它處處連續，而在 0、1、2 這三點各壞一次，其餘每一點都有導數。想要幾個壞點就放幾個。
  2. 把壞點排成一列（例如所有的 1/n），配上一列越來越小的係數，同樣的手法也做得出來——壞點可以是可數無限多個。
  3. 這樣造出來的函數，壞點仍然是少數：把它們挑掉之後，剩下的每一點都有導數。到這裡為止，連續與可微的差距看起來像是「幾個孤立的破洞」。
  4. 1872 年 Weierstrass 給出的例子把這個印象推翻了：一個在每一點都連續、而在每一點都沒有導數的函數。它的圖形無法照著畫——不論放大到什麼倍率，看到的都還是抖動的折線。
  5. 造法是把一列連續函數疊起來，而且兩個要求互相拉扯：後面的函數振幅一次比一次小，疊出來的東西才連續得起來；它的轉折卻一次比一次密，才能讓每一點附近永遠有更陡的鋸齒把差商甩開。寫成式子是一個無窮級數，要等級數的工具備齊才交代得完整，這裡先記一筆。
連續與可微的差距不是幾個孤立的壞點可以概括的——它可以差到處處都差。回頭看 27.2：它保證的那個方向是真的，可是反過來的那一句不但不成立，而且錯得很徹底。
放大這一段 原尺度 放大之後還是抖

這張圖在說例 4 的函數為什麼每一點都沒有導數：導數存在的意思是割線的斜率靠得攏，也就是圖形在夠小的尺度下看起來夠像一條直線。而這個函數不論放大幾次都還是折線——紅框裡那一小段放大之後，抖動的密度與陡度都沒有變少，於是每一點附近都找得到讓差商跳開的 x。（這是示意圖，真正的構造要等級數的工具。）

—— 第一階段到此結束 ——

本篇把「某一刻變多快」寫成了可以逐項驗證的定義（27.1）：差商在 c 這一點沒有定義，可是它在 c 附近的值可以被一個實數逼近，那個實數就是導數；c 得是 cluster point，否則條件空著成立，導數不唯一。27.2 說有導數的點必定連續，而例 3 與例 4 說反過來不成立，還差得很遠。下一篇 §27-2 要問的是：導數是一個點上的數，它管不管得到那一點附近的值？先站起來走幾步、把肩膀伸展開再回來。

順帶一提：絕對值函數去應徵「可微」這個職位，面試官問它在 0 的導數是多少，它說「看你從哪一邊走過來」——結果沒錄取。