§27-1 的 27.1 把「此刻正在往上爬」寫成了一個數 f′(c)：它是差商逼出來的極限，而差商本身就是兩個位置的比較。本篇要問的是這個數的正負能兌現多少——它是只描述 c 這一點，還是真的管得到 c 附近的值。
27.3 LEMMA
Suppose that f′(c) exists. (a) If f′(c) > 0, there is a δ > 0 such that f(c) < f(x) for x ∈ D with c < x < c + δ, and f(x) < f(c) for x ∈ D with c − δ < x < c. (b) If f′(c) < 0, the two conclusions are interchanged.
導數為正的時候，c 附近的比較一次講完兩側：右邊的值比 f(c) 大，左邊的值比 f(c) 小。兩句話是同一個估計付的帳——差商一旦被鎖在正的那一側，分子 f(x) − f(c) 就與分母 x − c 同號（這正是 §5-3 的 5.8 說的「乘積嚴格正，兩因子必同號」），而分母的正負就是「x 在 c 的哪一邊」。
正例：f(x) = x²、c = 1，此時 f′(1) = 2 > 0。取 δ = 1：右邊的 x 落在 (1, 2) 內，x² > 1；左邊的 x 落在 (0, 1) 內，x² < 1。兩句都兌現了。反例：同樣是正導數，換成 f(x) = x、D = [0, 1]、c = 0，此時 f′(0) = 1 > 0，可是左邊那一句一個點也管不到——滿足 −δ < x < 0 且 x ∈ D 的 x 根本不存在。結論寫成條件句，條件沒有東西可套的時候，它什麼也沒買到。
證明計畫 · 由所求想起 所求是兩個不等式：右邊的值大、左邊的值小。 第一步，挑一個比 f′(c) 小的正數當誤差上限，差商就被關進一段整個落在 0 右邊的區間，於是差商為正。 第二步，差商是一個商，把它乘回分母 x − c 就得到分子。乘的是正數還是負數，由 x 落在 c 的哪一邊決定，方向用 5.6 的同乘規則讀出來。 兩側各讀一次，就是 (a) 的兩句話。(b) 把整段推理的正負對調即可。
Proof. (a) Choose ε₀ with 0 < ε₀ < f′(c) and let δ be the number that Definition 27.1 provides for this ε₀. Since x ∈ D and 0 < |x − c| < δ give |(f(x) − f(c))/(x − c) − f′(c)| < ε₀, we obtain (f(x) − f(c))/(x − c) > f′(c) − ε₀ > 0.
Now let x ∈ D satisfy c < x < c + δ. Because x − c > 0, multiplying the last inequality by x − c keeps its direction, so 0 < (f′(c) − ε₀)(x − c) < f(x) − f(c). Therefore f(c) < f(x).
這一步的所求：右側那一句「f(c) < f(x)」。差商是一個分式，要從它讀出分子的大小，就得把分母乘回去。§5-2 的 5.6（不等式的操作文法：兩邊同加一數先後不變，同乘嚴格正數先後不變，同乘嚴格負數先後翻面）在這裡用的是同乘正數那一條，因為 x 在 c 的右邊，所以 x − c 是嚴格正的。乘完之後左端 (f′(c) − ε₀)(x − c) 是兩個正數相乘，本身就大於 0，於是 f(x) − f(c) 被夾在它上面，只能是正的。接續前一格的數字：c = 1、δ = 1，取 x = 1.5，估計說 f(1.5) − f(1) > 1 × 0.5 = 0.5，而實際的差是 2.25 − 1 = 1.25，確實更大。
If instead x ∈ D satisfies c − δ < x < c, then x − c < 0 and multiplying reverses the direction, so f(x) − f(c) < (f′(c) − ε₀)(x − c) < 0. Hence f(x) < f(c), which completes (a).
這一步的所求：左側那一句「f(x) < f(c)」。用的估計與前一步一模一樣，差別只在乘上去的那個數變成負的——x 在 c 的左邊，所以 x − c 嚴格為負，5.6 的翻面那一條把不等號整個轉向。值得停一下的是：左右兩側並沒有各做一次估計，第一步那個 δ 同時管住了兩邊，因為 27.1 的條件寫的是 0 < |x − c| < δ，絕對值本來就不分左右。仍用同一組數字核對：取 x = 0.5，估計說 f(0.5) − f(1) < 1 × (−0.5) = −0.5，而實際的差是 0.25 − 1 = −0.75，確實更小。
(b) If f′(c) < 0, choose ε₀ with 0 < ε₀ < −f′(c). The same argument gives (f(x) − f(c))/(x − c) < f′(c) + ε₀ < 0, so the two conclusions are interchanged.
結論是條件句，條件落空的時候它什麼也沒保證。27.3(a) 的左半句完整念出來是「凡是滿足 x ∈ D 且 c − δ < x < c 的 x，都有 f(x) < f(c)」。若定義域在 c 左邊根本沒有點——例如 D = [0, 1] 而 c = 0——這句話沒有任何 x 可套，於是它自動成立，同時什麼也沒交出來。換句話說，兩側的結論只在兩側各自真的有定義域點的時候才有內容。要保證兩側都有點，最省事的要求就是 c 是 D 的內點（§9-3 的 9.7：內點的意思是有一整段以 c 為中心的區間躲在 D 裡）。這個要求會在 27.4 的敘述裡原封出現，而本篇最後的例 1 就是拿掉它以後的現場。
還有一件事要先說清楚，免得把 27.3 讀得太滿：它一句話也沒提單調。它給的每一個不等式，比較的對象都是 f(c) 這一個固定的值；兩個都不是 c 的點之間誰大誰小，它完全沒有交代。所以「f 在 c 的導數為正」推不出「f 在含 c 的某個區間上遞增」——確實有函數在一點的導數為正，卻在該點的每一個鄰域內都上下來回。這種函數要寫得出來需要振盪越來越快的構造，工具還不齊，這裡先把界線記下來。要從導數的正負談整段的遞增，需要一個能一口氣連結兩個相異點的工具，那要等本節後面才登場。
DEFINITION · RELATIVE MAXIMUM AND MINIMUM
The function f has a relative maximum at c ∈ D in case there is a δ > 0 such that f(x) ≤ f(c) for all x ∈ D with |x − c| < δ. Reversing the inequality defines a relative minimum.
要說 c 是相對極大點，只要交得出一個半徑 δ，讓 c 的這個範圍內、屬於定義域的每一點的值都不超過 f(c) 就行。比較的範圍是自己挑的，可以很小——這與 §22-3 的 22.6（最大最小值定理：在 compact 集合上連續的函數取得到整體的最大值與最小值）談的最大值不同，那裡的對手是整個集合，這裡只有身邊一小段。所以同一個函數可以有很多個相對極大點，而且它們的值不必相等。條件也只檢查定義域內的點，因此區間的端點當得成極值點。
Proof. Since c is an interior point of D, there is r > 0 with (c − r, c + r) ⊆ D. Since f has a relative maximum at c, there is δ₁ > 0 such that f(x) ≤ f(c) for every x ∈ D with |x − c| < δ₁.
這一步的所求：把兩個前提各兌換成一個具體的正數，後面才有東西可以取最小。9.7（neighborhood 與三種點：c 是 D 的 interior point，意思是 D 本身就是 c 的一個 neighborhood，於是含著一整段以 c 為中心的區間）給的是 r，它保證 c 的左右兩側都有定義域的點可以拿來比。相對極大的定義給的是 δ₁，它保證這個半徑內的值都不超過 f(c)。兩個數彼此無關，誰大誰小都有可能，這是例行的簿記。
Suppose f′(c) > 0. By 27.3(a) there is δ₂ > 0 such that f(c) < f(x) whenever x ∈ D and c < x < c + δ₂. Put δ = inf {r, δ₁, δ₂} and take x₀ = c + δ/2. Because δ ≤ r we have x₀ ∈ D, and |x₀ − c| < δ₁ together with c < x₀ < c + δ₂ give both f(x₀) ≤ f(c) and f(c) < f(x₀), a contradiction.
這一步的重點只有一件事：真的指出一個同時被兩句話管到的點。三個半徑取最小的那一個，是為了讓 x₀ = c + δ/2 一次滿足三個條件——它離 c 不到 r，所以躺在定義域裡；離 c 不到 δ₁，所以相對極大的比較適用；又落在 c 與 c + δ₂ 之間，所以 27.3(a)（導數為正時，右邊的值比 f(c) 大、左邊的值比 f(c) 小）的右側結論適用。缺了第一個條件，這個點可能根本不在定義域裡，後兩句話就都套不上去——內點這個前提在整條證明裡的用處全在這裡。取一半而不取 δ 本身，是為了讓不等號嚴格；x₀ 與 c 的距離是 δ/2，確實小於三個半徑中的每一個。於是同一個 f(x₀) 被要求既不超過 f(c) 又嚴格大於 f(c)，這是不可能的。
Suppose instead f′(c) < 0. By 27.3(b) there is δ₃ > 0 such that f(c) < f(x) whenever x ∈ D and c − δ₃ < x < c. Taking δ = inf {r, δ₁, δ₃} and x₀ = c − δ/2 yields the same contradiction. Since neither f′(c) > 0 nor f′(c) < 0 can hold, we conclude that f′(c) = 0.
這一步的所求：另外那一半。因為導數為負時 27.3 把兩句結論互換，值比 f(c) 大的點這次出現在 c 的左邊，所以見證點改取 x₀ = c − δ/2；其餘的取最小、代入、對撞，與右側那一半逐字對應。由於 c 是內點，左邊同樣有一整段定義域的點可以用，這一半才走得通。最後收尾：一個實數與 0 的關係只有大於、等於、小於三種，兩種已被排除，剩下的只能是等於。
Proof. Define g on D by g(x) = −f(x). Because f has a relative minimum at c, there is δ > 0 with f(c) ≤ f(x) for every x ∈ D satisfying |x − c| < δ. Multiplying by −1 reverses this, so g(x) ≤ g(c) holds for the same points and g has a relative maximum at c.
For x ∈ D with x ≠ c the difference quotients satisfy (g(x) − g(c))/(x − c) = −(f(x) − f(c))/(x − c), and therefore |(g(x) − g(c))/(x − c) + f′(c)| = |(f(x) − f(c))/(x − c) − f′(c)|. So every δ that works for f and a given ε also works for g, and g′(c) exists with g′(c) = −f′(c).
這一步的所求：確認 g 在 c 真的有導數，而且它等於 −f′(c)。這件事不可以當成已知，因為本篇還沒有任何把導數拆開來算的規則，唯一的依據是 27.1 的定義。差商的分子從 f(x) − f(c) 換成它的相反數，分母 x − c 一個字沒動，所以整條差商變號；而兩個數同時變號時它們的距離不變，因為 |(−a) − (−b)| = |a − b|。於是「g 的差商離 −f′(c) 有多遠」與「f 的差商離 f′(c) 有多遠」是同一個數，27.1 對每個 ε 挑出來的那個半徑不必重挑，照搬即可。拿數字對一次：f(x) = x²、c = 1 時 f 的差商是 x + 1、g 的差商是 −(x + 1)，前者趨向 2，後者趨向 −2。
Since c is an interior point of D, since g has a relative maximum at c, and since g′(c) exists, Theorem 27.4 gives g′(c) = 0. Hence −f′(c) = 0, so f′(c) = 0.