§2-1  函數是一種集合

一條公式、一張對照表——兩者的共同本質是什麼？把函數定義成有序對的集合，究竟換到了什麼？

從販賣機說起

投幣，按下「B3」，掉出一瓶烏龍茶。販賣機最讓人放心的一點是：同一顆按鈕，永遠掉同一款——今天按 B3 出烏龍茶、明天按 B3 出咖啡的機器，會被抗議到下架。「每個輸入，恰好對應一個輸出」，這件日常小事就是本篇主角的全部靈魂。

一百年前的數學家會說：函數就是公式，像 f(x) = x² + 3x − 5 這樣，餵進一個數、算出一個數。可是公式觀很快就捉襟見肘——|x| 得「分段」寫（x ≥ 0 時取 x、x < 0 時取 −x），當年甚至有人爭論它算不算「正經函數」；而一張罰球紀錄表——九名球員各對應一個進球數——明明每個輸入恰有一個輸出，卻沒有任何公式可言。第一次修正把定義放寬成：「一條對應規則，替 A 的某個子集裡的每個 x 指定唯一的 f(x) ∈ B」。方向對了，但「規則」兩個字自己就是一團迷霧——什麼算規則、誰來裁定？

最後的解法乾脆徹底：不描述對應怎麼來，只記錄對應本身。把每一筆「輸入 a 對到輸出 b」寫成有序對 (a, b)，函數就是這些有序對湊成的集合——也就是它自己的圖形。這樣一來，函數住進了 §1 剛蓋好的笛卡兒積裡，「規則」的迷霧散盡，只剩一條硬規矩要守：第一分量一經指定，第二分量就唯一確定——販賣機條款。

官方定義：函數、定義域與值域（2.1）

這張圖在說 2.1 的全部內容：函數就是笛卡兒積裡的一個點集——它的圖形不是函數的「附圖」，它就是函數本人。販賣機條款翻成幾何語言：每條鉛直線至多命中一點。

三件細節值得停留。其一，定義完全不提「規則」「公式」「算法」——對應怎麼來的不重要，對應本身記錄在案就算數，罰球紀錄表因此與 x² + 3x − 5 平起平坐。其二，f 與 f(x) 從此涇渭分明：f 是整個集合（整部機器），f(x) 是餵進 x 之後的那一個輸出——把絞肉機與絞肉混為一談的人不多，把函數與函數值混為一談的卻不少，記號上分清楚值得這一點功夫。其三，range 是「實際出現過的輸出」全體——它住在 B 裡，但不必填滿 B；這條伏筆到 §2-3 的 surjective 才收。

這張圖在畫同一個定義的第二種讀法：把 f 看成「搬運」——D(f) 的每個點被送進 B，落點全體構成 R(f)。圖形觀與變換觀是同一份資料的兩種瀏覽模式，往後依場合切換。

試金石：誰是函數，誰不是

這張圖在證例 1 的兩個判定：整條圓（左）被鉛直線戳中兩點，違反販賣機條款；修剪成上半圓（右）之後每條鉛直線至多命中一點——同一批點，剪掉一半就成了合格的函數。

修剪與加寬：restriction 與 extension

例 1 的「修剪」值得一個正式名字。設 f 是函數而 D₁ ⊆ D(f)，把 f 裡第一分量落在 D₁ 的有序對挑出來——f₁ = {(a, b) ∈ f : a ∈ D₁}——所得的函數稱為 f 在 D₁ 上的 restriction（限制），記作 f | D₁；它在 D₁ 上的輸出與 f 一字不差，只是服務範圍縮小。反向的動作叫 extension（擴張）：g₂ 的定義域更大、而在原範圍 D(g) 上與 g 完全一致，就稱 g₂ 是 g 的擴張。§3 的 3.3 證明裡「限制定義域再重新編號」用的正是這裡的 restriction——當時賒的帳，本篇補上正式出生證明。修剪在 §2-2 還有一場重頭戲：不是函數的問題可以修剪解決，「不能反著讀」的問題也可以。