The complement of B relative to A, written A∖B and read “A minus B,” is the set of all those elements of A that do not belong to B. When the ambient set A is understood from context, we write 𝒞(B) and speak simply of the complement of B.
B 相對於 A 的 complement（補集）A∖B，收「屬於 A 但不屬於 B」的一切元素：A∖B = {x ∈ A : x ∉ B}。全域集合 A 有默契、不必每次明說時，簡寫 𝒞(B)。
Proof. First, disjointness. Suppose some x were in both A ∩ B and A∖B. Because x ∈ A∖B demands x ∉ B, while x ∈ A ∩ B demands x ∈ B, the element x would satisfy both x ∈ B and x ∉ B — impossible. Hence the two sets share no element.
先證不重。假設真有元素 x 同時住在兩塊裡，那麼依定義，x ∈ A∖B 要求 x ∉ B，而 x ∈ A ∩ B 要求 x ∈ B——兩個要求互相矛盾。因為 §1-1 開頭立過紀律（x ∈ B 與 x ∉ B 恰有一個成立），這樣的元素不存在，所以兩塊不相交。
Next, take any x ∈ A. Either x ∈ B, and then x ∈ A ∩ B; or x ∉ B, and then x ∈ A∖B. Therefore A ⊆ (A ∩ B) ∪ (A∖B).
再證不漏。任取 A 的元素 x，問它屬不屬於 B——由於答案恰有一個，x 必被分進兩塊之一：因為 x ∈ B 時 x 同時屬於 A 與 B、也就是 x ∈ A ∩ B；而 x ∉ B 時依定義 x ∈ A∖B。於是 A 的每一個元素都屬於兩塊的聯集，第一個包含方向成立。
Conversely, every element of A ∩ B lies in A, and so does every element of A∖B. Hence (A ∩ B) ∪ (A∖B) ⊆ A, and the two inclusions give A = (A ∩ B) ∪ (A∖B).
反方向不需要新論證：依定義，A ∩ B 的每個元素都屬於 A，A∖B 的每個元素也都屬於 A，所以兩塊的聯集包含於 A。兩個方向的包含都成立，由 定義 1.1，兩集合相等。
A 被切成不重不漏的兩塊：A = (A ∩ B) ∪ (A∖B)。∎
這張圖在畫定理 1.7 的那一刀：B（虛線）把 A 切成藍色透鏡（A ∩ B）與黃色月牙（A∖B）。兩塊顏色互不重疊（disjoint），拼起來恰好填滿 A 的圓。
最後一條恆等式回答這個問題：「排除」碰上交與聯，會發生什麼事？答案漂亮到配得上一個專名。
1.8 THEOREM · De Morgan Laws
For any sets A, B, C: A∖(B ∪ C) = (A∖B) ∩ (A∖C)， A∖(B ∩ C) = (A∖B) ∪ (A∖C)。
Proof. Take any x ∈ A∖(B ∪ C). Then x ∈ A while x ∉ B ∪ C. Because landing in B or in C would already place x inside B ∪ C, the element x belongs to neither. So x ∈ A with x ∉ B — that is, x ∈ A∖B — and likewise x ∈ A∖C. Hence x ∈ (A∖B) ∩ (A∖C).
先走第一個包含方向。任取左邊的元素 x：它屬於 A，且不屬於 B ∪ C。這裡用計畫裡的那句翻譯——因為屬於 B 或屬於 C 都會使 x 屬於聯集，而 x 不屬於聯集，所以 x 既不屬於 B、也不屬於 C。於是 x 同時滿足「屬於 A 且不屬於 B」與「屬於 A 且不屬於 C」，也就是同時屬於 A∖B 與 A∖C，因此屬於右邊的交集。拿定理卡 inst 的數字對照：x = 1 不屬於 {2, 3, 4}，它確實也各自不屬於 {2, 3} 與 {3, 4}。
Conversely, take any x ∈ (A∖B) ∩ (A∖C). Then x ∈ A, with x ∉ B and x ∉ C. Since x avoids both B and C, it avoids their union, so x ∈ A∖(B ∪ C).
第二個方向反著用同一句翻譯：因為 x 不屬於 B 也不屬於 C，而聯集的每個元素必屬於 B、C 之一，所以 x 不屬於 B ∪ C。再加上 x ∈ A，依定義 1.6，x 屬於左邊的 A∖(B ∪ C)。
The two inclusions give the first law by Definition 1.1. For the second law, run the same trace with the roles of ∪ and ∩ exchanged throughout.
For two non-empty sets A and B, the Cartesian productA × B is the set of all ordered pairs(a, b) whose first entry a comes from A and whose second entry b comes from B.
非空集合 A 與 B 的 Cartesian product（笛卡兒積）A × B，收所有「第一分量取自 A、第二分量取自 B」的有序對 (a, b)。有序對的全部要點就一條：(a, b) = (a′, b′) 恰於 a = a′ 且 b = b′。
本節收官：且、或、但不三種運算齊備，1.7 把集合切成不重不漏兩塊，De Morgan 讓減號穿過括號時交聯互換，笛卡兒積則替「順序」與「維度」開了門。整個 §1 走完了，值得起身好好休息——出去走一圈，回來再開下一節。臨走前一則家規：「不准（打電動 ∪ 熬夜）」，經 De Morgan 展開等於「不准打電動 ∩ 不准熬夜」——沒有漏洞可鑽。