§14-1  數列是什麼

把一串數照順序排下去，這件事要怎麼定義才精確？數列與「它的值所成的集合」差在哪裡？兩個數列可以逐項相加相乘嗎，商在什麼條件下才有定義？

一個接一個排下去

體重計每天早上給一個數，銀行帳戶每個月結一次餘額，網路測速每秒回報一次延遲。這些數有兩個共通點：第一，它們是照順序來的，第 3 個和第 7 個不能對調；第二，它們沒有預定的終點，只要還在量，下一個就還會出現。

前面兩章把實數與 ℝᵖ 的骨架搭起來了——代數的四則、順序、完備性，拓撲的 open、closed、compact、connected。從這一章起，問題換一種問法：不再問「一個集合長什麼樣」，而是問「一串點跑到哪裡去」。第一件事得先把「一串」講清楚。

「照順序、沒有終點」這兩個條件，其實描述的正是一種函數：定義域是自然數集 ℕ = {1, 2, 3, ⋯}，每個 n 指定一個值。順序由 ℕ 自帶，無限長也由 ℕ 自帶——不必另外規定。

官方定義：sequence（14.1）

14.1  DEFINITION
Given any set S, a sequence in S means a function whose domain is the set ℕ = {1, 2, ⋯} of natural numbers and whose values all lie in S.
A sequence in ℝᵖ is thus a rule assigning to each n ∈ ℕ one definite element of ℝᵖ.
S 中的一個 sequence（數列）就是一個函數：定義域是自然數集 ℕ，值全落在 S 裡。ℝᵖ 中的數列，就是替每個 n 指定一個確定的 ℝᵖ 元素。習慣上把 n 對應的值寫成 xₙ，整個函數寫成 X = (xₙ) 或 X = (xₙ : n ∈ ℕ)。
正例：xₙ = 2n 給出偶數的數列 (2, 4, 6, 8, ⋯)——每個 n 有唯一的值，順序由 n 決定。反例：集合 {2, 4, 6, 8, ⋯} 不是數列——它沒有順序（寫成 {4, 2, 8, 6, ⋯} 是同一個集合），也不知道誰是第 3 個。圓括號與大括號的差別就在這裡。
定義域 ℕ 的每個成員，各配一個值 1234 ℕ x₁ ＝ 2x₂ ＝ 4 x₃ ＝ 6x₄ ＝ 8 值可以重複 順序不可交換 永遠有下一個

這張圖在說 14.1 為什麼要把數列定義成函數：ℕ 的每個成員各配一個值，順序與「無限長」兩件事都由定義域免費附送，不必另立條款。值本身可以重複——重複不影響它是不是函數。

寫下一個數列的三種方式

定義說的是「函數」，實務上卻沒有人真的寫 X(n)。慣例是三種寫法輪著用，各有各的方便。

例 1同一個數列的三種寫法，以及「數列」與「值的集合」的差別
三種寫法都在說偶數；但第三種寫法能做到前兩種做不到的事。
寫出偶數數列的三種表示，再檢查 ((−1)ⁿ) 這個數列與它的值集合差在哪裡。
  1. 列舉：(2, 4, 6, 8, ⋯)。優點是一眼看得出規律，缺點是「⋯」靠讀者自己猜——猜錯了沒人攔得住。
  2. 通項：(2n : n ∈ ℕ)。第 n 項一步算得出來，不必先算前面的。
  3. 遞迴：x₁ = 2，且對每個 n ≥ 1 令 xₙ₊₁ = xₙ + 2。要第 100 項就得先走完前 99 項，看似麻煩；但很多數列只有遞迴寫得出來（下一項由前面幾項決定，沒有現成的通項公式）。同一個數列也可以有別的遞迴寫法，例如 x₁ = 2、xₙ₊₁ = xₙ + x₁。
  4. 最後看 X = ((−1)ⁿ) = (−1, 1, −1, 1, ⋯)：它有無限多項，可是值的集合只有 {−1, 1} 兩個元素。數列問「第 n 項是誰」，集合只問「誰在籍」——兩者不是同一種東西。
記號約定就此定下：圓括號 (xₙ) 指數列（有順序、可重複），大括號 {xₙ : n ∈ ℕ} 指它的值集合（無順序、自動去重）。後面每一條定理都吃這個區別——例如 ((−1)ⁿ) 不收斂，但它的值集合是個有限集，§10-2 例 6 說有限集連一個 cluster point 都沒有。
同一個 X ＝ ((−1)ⁿ)：左邊是數列，右邊是值的集合 n＝12345 −11−11−1⋯ 無限多項，順序要緊 −11 只有兩個成員 (xₙ) 與 {xₙ : n ∈ ℕ} 是兩種東西

這張圖在證例 1 最後那一步：左邊的數列一項一項排到無窮，右邊的值集合只裝得下兩個成員。同一個 X，兩種讀法，答案的「大小」天差地遠——之後談收斂談的一律是左邊。

把數列拿來算（14.2）

兩個數列可以逐項相加、相減、相乘——就像兩個函數可以逐點相加一樣。定義只有一句話：對每個 n 各做一次。

14.2  DEFINITION
Let X = (xₙ) and Y = (yₙ) be sequences in ℝᵖ. Their sum is the sequence X + Y = (xₙ + yₙ) and their difference is X − Y = (xₙ − yₙ), both in ℝᵖ; their inner product is the sequence X · Y = (xₙ · yₙ) in ℝ.
If X = (xₙ) runs in ℝ while Y = (yₙ) runs in ℝᵖ, the product is XY = (xₙyₙ); for a fixed c ∈ ℝ we write cX = (cxₙ).
If Y = (yₙ) runs in ℝ and no yₙ is zero, the quotient is X/Y = (xₙ/yₙ).
兩個 ℝᵖ 數列的和、差逐項做，內積逐項取內積（結果是 ℝ 中的數列）。一個 ℝ 數列乘一個 ℝᵖ 數列，逐項相乘；常數倍 cX 同理。商 X/Y 只在分母數列每一項都不為零時才有定義。
正例：X = (2n)、Y = (1/n) 時 X · Y = (2, 2, 2, ⋯)——逐項算 2n · (1/n) = 2，整條是常數數列。反例：Z = (1, 0, 1, 0, ⋯) 當分母時 X/Z 沒有定義——不是「大部分項可以算就好」，只要有一項為零，整個商就不合法。
例 2一組實算：X = (2n) 與 Y = (1/n) 的五種組合
定義說「逐項做」，實際做一次才知道結果的通項會長成什麼樣。
算出 X + Y、X − Y、X · Y、3X、X/Y 的通項與前三項。
  1. X + Y：第 n 項是 2n + 1/n = (2n² + 1)/n，於是 (3, 9/2, 19/3, ⋯)。
  2. X − Y：第 n 項是 (2n² − 1)/n，於是 (1, 7/2, 17/3, ⋯)。
  3. X · Y：第 n 項是 2n · (1/n) = 2，於是 (2, 2, 2, ⋯)——兩條都在跑，乘積卻紋風不動。
  4. 3X：第 n 項是 6n，於是 (6, 12, 18, ⋯)。
  5. X/Y：第 n 項是 2n ÷ (1/n) = 2n²，於是 (2, 8, 18, ⋯)。這裡合法，因為 Y 的每一項 1/n 都不是零。
五種組合都只是「把 n 代進去算一次」。值得記住的是第三項：X 衝向無窮、Y 掉向零，乘起來卻是常數——兩條數列各自的走向，決定不了組合後的走向。這正是往後幾節要處理的問題：什麼條件下，組合的極限算得出來？
—— 第一階段到此結束 ——

「一串數」有了精確的身分：定義域為 ℕ 的函數，順序與無限長都由定義域附送；圓括號的數列與大括號的值集合是兩種東西，這個區別後面每條定理都要用。逐項的四則也備妥，商只在分母每一項都非零時合法。下一篇 §14-2 進入本章真正的主題：「愈來愈靠近某個值」要怎麼定義，才禁得起任意嚴格的挑剔。起來動一動再往下走——接下來那個定義值得用清醒的腦袋讀。