§10-2  聚點與 closed 判準

一個點的每個 neighborhood 都含有集合中異於它的點——這種點該怎麼正式定義？它與成員資格、與 §9 的 boundary point 是什麼關係？closed 能不能用它一句話判定？

為什麼需要 cluster point

怎麼判斷一個地點熱鬧？看它自己站沒站人並不準——收攤後的廟口正中央空無一人，明天傍晚它照樣是全鎮最熱鬧的位置。準的問法是看周圍：以那個位置為中心畫圈，方圓十公尺、一公尺、十公分——不管把圈縮到多小，圈裡總撈得到別人，這才叫熱鬧。反過來說，荒涼的意思是：存在一個夠小的圈，裡面除了自己再無他人。

「熱鬧」這件事，§9-3 的 neighborhood 已經給了畫圈的工具，本篇把它鑄成正式的詞——cluster point，然後兌現兩張支票：closed 的第二條免補集判準（10.5，與 §9-3 的邊界版 9.10 是同一枚硬幣的兩面），以及本節壓軸 Bolzano-Weierstrass 的全部詞彙。

10.3  DEFINITION
A point x ∈ ℝᵖ is a cluster point (or a point of accumulation) of A ⊆ ℝᵖ when every neighborhood of x, however small, holds some point of A other than x itself.
x ∈ ℝᵖ 為 A ⊆ ℝᵖ 的 cluster point（聚點，又稱 accumulation point），意思是 x 的「每一個」neighborhood（§9-3 定義 9.7）都含有 A 中異於 x 的點。
正例：0 是 {1, 1/2, 1/3, ⋯} 的 cluster point——圈再小，總有夠深的 1/n 掉進來，而且個個不是 0 本人。反例：同一個集合裡的 1/2 不是——半徑 1/10 的圈裡除了自己空無一人。熱鬧的兩道門檻：「每一個」圈都要撈到人，而且撈到的得是「別人」。
cluster point 不必屬於集合：定義從頭到尾只盤問「x 的 neighborhoods 撈不撈得到 A 的點」，沒有一個字要求 x ∈ A——上面的正例 0 就不在籍。熱鬧掛在「位置」上：收攤的廟口自己空著，熱鬧的身分照樣在。這件事與 §9-3 例 3 的邊界點如出一轍——身分與名冊是兩本帳。

六個檢驗（10.4）

六個檢驗分兩批。前兩個是翻譯練習：把「每一個 neighborhood」換成逐 n 交件的版本、再接上 §9-3 的邊界點；後四個拿具體集合開驗——區間、剃掉端點的區間、有理數點集、有限集與 ℤ。

例 1重寫 cluster point：x 是 A 的 cluster point ⟺ 對每個 n ∈ ℕ，都有 xₙ ∈ A 使 0 < |x − xₙ| < 1/n
「每一個 neighborhood」聽起來要驗無限多種形狀——這個檢驗說：驗半徑 1/n 的球就夠了。
兩個方向：每個 neighborhood 都撈到人 ⟺ 每個 1/n 都交得出 xₙ。
  1. （⟹）半徑 1/n 的球是 open set，按 §9-3 例 1 它是 x 的 neighborhood。因為 x 是 cluster point，這顆球撈得到 A 中異於 x 的點——命名為 xₙ；「異於 x」化成算式正是 0 < |x − xₙ|，「在球內」正是 |x − xₙ| < 1/n。
  2. （⟸）任給 neighborhood N。§9-3 例 1 交出一顆以 x 為心、半徑 r 的球 ⊆ N；取 n 大到 1/n < r，於是 xₙ 落在球內、也就落在 N 內——N 撈到人了。r = 0.003 就取 n = 334；r = 0.5 取 n = 3 已綽綽有餘。
  3. 換個讀法：cluster point 等於「有一串永不等於 x、卻越靠越近的 A 的成員」——這個序列觀點，本節第三篇的 Bolzano-Weierstrass 會正面用上。
r=1r=1/2r=1/3r=1/6 x 每一層都交出一個新成員，越靠越近，卻永遠不是 x 本人

這張圖在證重寫的方向：半徑 1、1/2、1/3、⋯ 的球（藍）一層層縮小，cluster point 的身分要求每一層都交得出一個異於 x 的成員 xₙ（黑點）——一串向 x（紅點）靠近、永不等於 x 的點，就是熱鬧的完整證詞。

驗 cluster point 不必面對所有 neighborhood——對每個 n 交出一個 xₙ 即可。這也順便說明：cluster point 附近有「無限多」個 A 的點（每縮一層都得換新人）。
例 2不在籍的 boundary point 必是 cluster point
§9-3 的邊界點與本篇的聚點都靠「畫圈撈人」發話——第一條正式通道在這裡打通。
設 x 是 A 的 boundary point 且 x ∉ A，證 x 是 A 的 cluster point。
  1. 任取 x 的 neighborhood N。因為 x 是 boundary point（§9-3 定義 9.7），N 必含 A 的點。
  2. 又因為 x ∉ A，撈到的那個點自動「異於 x」——cluster 的兩道門檻一次通過。
  3. 在籍的邊界點則不保證：A = {0} ∪ [1, 2] 的邊界點 0 在籍，它的小圈裡除了自己撈不到 A 的別人——不是 cluster point。「不在籍」這個前提少不得。
邊界上的「外人」必是聚點。§9-3 例 3 裡 (0, 1) 的兩個邊界點 0、1 正是現成的例子——下面例 4 會正面驗證。
例 3檢驗單位區間 I = [0, 1]：每一點都是 I 的 cluster point；interior points 恰好是 (0, 1)
第一個具體現場。這一例不另附圖——圖與例 4 合畫：同一條線段，差別全在端點的籍貫。
先驗全體成員的 cluster 身分，再清點 interior 名單。
  1. cluster：任取 x ∈ I 與任意 n。由於 x 至少有一側還連著整段區間，往那一側挪 1/(2n) 以內就撈得到別的成員——x = 1 時取 xₙ = 1 − 1/(2n)（n = 100 交出 0.995）；x = 0.3 時取 0.3 + 1/(2n)。例 1 的判準逐項通過。
  2. interior：x ∈ (0, 1) 的配球 §9-1 例 2 早做過——r = min(x, 1 − x)，球整顆留在 I 內。
  3. 端點落選：0 的任何球都伸進負數，因此 I 當不成 0 的 neighborhood；1 對稱。I 外面的點則一律荒涼——x = 1.5 用半徑 0.5 的球就撈不到 I（§9-2 例 3 給補集配圈時算的同一筆帳）。
I 的 cluster points 恰好是 [0, 1] 自己，一個不多、一個不少——10.5 會告訴你這正是 closed 的長相。interior points 恰是 (0, 1)：兩個端點是成員、是 cluster point，卻不是 interior point。
例 4檢驗 A = (0, 1)：0 與 1 不屬於 A，卻是 A 的 cluster points
例 3 的雙胞胎——剃掉兩個端點再驗一次，第一顆地雷就埋在這裡。
先確認 A 內部一切如常，再檢驗兩個被剃掉的端點。
  1. A 的每一點都是 interior point：§9-1 例 2 的配圈原封可用。又因為球 (x − r, x + r) 裡有 A 的別的點（x + r/2 就是一個），每一點同時也是 cluster point。
  2. 輪到 0——它不屬於 A。可是任給 n，點 1/(2n) 屬於 A，而 0 < |0 − 1/(2n)| = 1/(2n) < 1/n——例 1 的判準逐項打勾。n = 10 交出 0.05，n = 1000 交出 0.0005——供貨從不中斷。
  3. 1 對稱：xₙ = 1 − 1/(2n)。於是 A 的 cluster points 是整段 [0, 1]——比 A 自己多出兩個點。
01 0 的球：右半伸進 A 的地界 0 ∉ A（空心圈），可是怎麼縮圈都撈得到 A 的成員（藍點）

這張圖在證第一顆地雷：0 被 A = (0, 1) 拒於名單之外（空心圈），可是 0 的每顆球（紅虛線）右半都伸進 A 的地界，1/(2n) 這樣的成員（藍點）源源不絕——熱鬧看的是撈不撈得到人，名單上有沒有名字定義管不著。

cluster point 不必屬於集合：定義 10.3 從頭到尾只盤問「x 的 neighborhoods 撈不撈得到 A 的點」，沒有一個字要求 x ∈ A。集合邊上完全可以站著「不在籍的熱鬧點」——而 10.5 將把這件事變成 closed 的檢驗棒：漏收一個這種點，closed 就沒了。§9-2 篇末的 (0, 1] 正是現行犯：0 熱鬧、卻不在籍。
(0, 1) 的 cluster points 是 [0, 1]，比集合本身大——cluster 身分與成員資格是兩本帳，得分開記。
例 5檢驗有理數點集 B = [0, 1] ∩ ℚ：cluster points 鋪滿整段 [0, 1]，interior point 卻一個也沒有
前幾例的集合都是一整塊；這一例改用篩過的點集——處處都有點、卻處處是縫隙。
證 [0, 1] 的每一點都是 B 的 cluster point；再證 B 沒有任何 interior point。
  1. cluster 鋪滿：任取 x ∈ [0, 1] 與 n。因為任兩個相異實數之間都塞得進有理數（有理數的稠密性），區間 (x, x + 1/n)（x 太靠右緣就改看左側）裡挑得出落在 [0, 1] 內的有理數 q——於是 q ∈ B 且 0 < |x − q| < 1/n。x = √2/2 ≈ 0.7071⋯、n = 1000：q = 0.7075 交差。
  2. 注意 √2/2 自己是無理數、不屬於 B——例 4 的地雷在稠密集上加倍上演：不在籍的熱鬧點不只兩個端點，而是一整片無理數。
  3. interior 掛零：任給 q ∈ B 與任何半徑 r，球 (q − r, q + r) 裡必有無理數——無理數同樣稠密（§6-4 的 6.10(b)），q + √2/10ᵏ 取 k 夠大就掉進球裡——而無理數不屬於 B。由於每顆球都出界，B 連一個 interior point 都沒有。
01 球再小，藍點（B 的成員）都撈得到——cluster 處處 但球裡也永遠混著不在籍的點（紅圈）——interior 全無

這張圖在證兩件事怎麼同時成立：藍點（B 的成員）密到任何球都撈得到，所以 cluster points 鋪滿 [0, 1]；可是點與點之間全是縫隙，任何球也都裝著無理數（紅圈示意）——球永遠出界，interior point 一個也生不出來。

B 的 cluster points 是整段 [0, 1]，interior points 是空的——「處處熱鬧」與「擁有地盤」是兩回事，兩個新概念在這裡徹底脫鉤。
例 6檢驗有限集：cluster point 與 interior point 雙雙掛零
這一例有兩個值得自問的「Why?」——把答案補上，順便請回 §9-1 的老朋友 min。第二顆地雷在此拆除。
設 F = {p₁, ⋯, p_m} 為 ℝᵖ 的有限子集，證它既無 cluster point 也無 interior point。
  1. 任取 x ∈ ℝᵖ。先清掉一個邊角：若 F 中根本沒有異於 x 的成員（F 是空集、或恰好只有 x 一人），任取正半徑的球都撈不到「別人」，x 直接落選。否則把 F 中異於 x 的成員到 x 的距離列成清單：至少一個、至多 m 個正數。由於有限多個正數必有正的最小值 d——§9-1 證明 9.3(b) 兩個半徑取 min，這裡至多 m 個距離取 min，同一招——半徑 d/2 的球撈不到 F 中任何異於 x 的點：x 不是 cluster point。
  2. 具體：F = {0.2, 0.5, 0.9}、x = 0.5——清單 {0.3, 0.4}，d = 0.3，半徑 0.15 的球裡只有 x 本人，F 的「其他」點一個也沒有；x = 0.35（不在 F 裡）——清單 {0.15, 0.15, 0.55}，半徑 0.075 的球連一個 F 的點都撈不到。空間裡每一點都配得到一顆撈不到「別人」的球。
  3. interior 同樣掛零：成員 pᵢ 的任何球都裝著無限多個點，而 F 攏共 m 個成員——球裡絕大多數點不屬於 F，球永遠出界。
0.20.50.9 半徑 0.15 的球——除了自己，一個也撈不到 有限個距離取 min：每一點都配得到撈不到人的球

這張圖在證有限集為什麼處處荒涼：成員之間留著固定的空隙，取距離清單的最小值 d = 0.3，半徑 0.15 的球（藍）裡除了 0.5 自己一個人也沒有——縮圈撈人的遊戲，一開局就結束。

有限集養不出 cluster point：熱鬧靠的是無限供應——按例 1 的判準，x 得對「每一個」n 交出異於自己的新點，距離一路壓向 0；可是有限個成員各自與 x 保持著正距離，最小距離 d 以下就再也交不出貨。對照：無限集 {1, 1/2, 1/3, ⋯} 就養得出——對每個 n，成員 1/(n+1) 滿足 0 < 1/(n+1) < 1/n，所以 0 是它的 cluster point；而 0 又不屬於這個集合——本篇兩顆地雷在同一個集合上會齊。這個集合本節第三篇還會再登場。
有限集的 cluster point 與 interior point 雙雙掛零。無限也未必熱鬧：ℤ 有無限多個成員，但相鄰成員距離固定是 1，任何點的半徑 1/2 小球至多撈到一個成員；而例 1 結案時記過一筆——聚點的「每一圈」都得裝著無限多個成員（每縮一層都得換新人）——一個對不上無限多，ℤ 一個 cluster point 也養不出。「有限 ⟹ 不熱鬧」與「無限未必熱鬧」合起來讀，正是第三篇 Bolzano-Weierstrass 的伏筆：還得加上 bounded 才擠得出聚點。
三種身分互相獨立：成員、interior point、cluster point 是三本分開記的帳。下表五個現場，把常見的組合排開：
點 x ／ 集合 A成員？interior？cluster？
0.5 ／ (0, 1)是是是
0 ／ [0, 1]是否是
0 ／ (0, 1)否否是
0.5 ／ {0.2, 0.5, 0.9}是否否
5 ／ (0, 1)否否否
唯一被禁止的搭配只有一種：interior point 必然既是成員、也是 cluster point（球整顆在 A 裡，球心當然在籍，球裡的無數點也全是自家人）。其餘兩種身分互不牽制——記帳時別互相代扣。

closed 的第二判準（10.5）

closed 這邊的翻譯更痛快。§9-2 定義 9.4 得繞到補集發身分證；10.5 的判準一眼盯著集合自己：cluster points 收齊了沒。它與 §9-3 的 9.10（closed ⟺ 邊界全收）是同一枚硬幣的兩面——那裡用「邊界」發話，這裡用「熱鬧」發話。

10.5  THEOREM
A set F ⊆ ℝᵖ is closed if and only if F contains every one of its cluster points.
F ⊆ ℝᵖ 為 closed 的充要條件：F 的每一個 cluster point 都屬於 F。
正例：[0, 1] 的 cluster points 恰是 [0, 1]（例 3），一個不漏——closed，與 §9-2 例 3 驗補集的結論相同，這次不碰補集。反例：(0, 1] 漏收了 cluster point 0——單這一個漏網，closed 就判定失敗（§9-2 篇末反例的正身）。

第一份小紅利立刻入袋：有限集沒有任何 cluster point（例 6），「全部收齊」對零個對象自動成立——空泛成立的老朋友（§9-1 例 6）。所以每個有限集都是 closed，一行字結案。

PROOF

兩個方向分開證：先證 closed 的 F 收齊自己的 cluster points（反證），再證收齊 cluster points 的 F 必是 closed（正面，靠 9.9 收尾）。

證明計畫 · 由所求想起
（⟹）要證：closed 的 F 收齊 cluster points。
⇢ 反證——假設某個 cluster point x 逃在外面，open 的補集就升格成 x 的 neighborhood。
⇢ 矛盾出口：這個 neighborhood 按 cluster point 的定義得撈到 F 的點，偏偏它整個避開 F。
（⟸）要證：收齊 cluster points 的 F 是 closed。
⇢ 等於：補集是 open——9.9(c) 剛好把 open 換成「是每個點的 neighborhood」。
⇢ 補集裡的點不是 cluster point，於是有一個撈不到 F 的 neighborhood——它整個塞進補集。
F x ? 假設 x ∉ F：球整顆泡在補集裡 可是 cluster point 要求球裡有 F 的點——兩句話撞在一起

這張圖在畫反證的矛盾機制本身：假設 cluster point x 逃在 F 外，closed 保證 x 配得到一顆整顆泡在補集裡的球（藍）——乾乾淨淨；可是 cluster point 的身分要求同一顆球裡必須撈得到 F 的點（紅圈打問號）。同一顆球不能既空又不空，假設崩塌。

Proof (⟹).  Let F be closed, and let x be a cluster point of F. Suppose x sat outside F. Then x ∈ 𝒞(F); since F is closed, 𝒞(F) is an open set containing x — hence a neighborhood of x.
(⟹) 走反證：設 x 是 closed 的 F 的 cluster point，假設它逃在 F 外面，也就是 x ∈ 𝒞(F)。因為 F 是 closed，按定義補集 𝒞(F) 是 open；而一個含著 x 的 open set 自動是 x 的 neighborhood——補集就此升格成 x 的 neighborhood，下一步的矛盾全靠這個身分。先看一眼對照組：F = (0, 1]、x = 0——0 真的逃在外面，但這個 F 的補集不是 open（§9-2 篇末反例驗過），升格失敗、矛盾根本點不著——不 closed 的集合正是從這一步漏走的。
Being a neighborhood of the cluster point x, the set 𝒞(F) would have to catch some point of F. Yet by its very construction 𝒞(F) holds no point of F at all. The two demands cannot coexist, so the supposition fails: x belongs to F.
矛盾的兩面在這裡撞上：因為 x 是 F 的 cluster point，它的每一個 neighborhood——包括剛升格的 𝒞(F)——都得撈到 F 的點；可是 𝒞(F) 按構造一個 F 的點也沒有。同一個集合不能既撈得到又一個都沒有，而全段唯一的假設是「x ∉ F」，錯的只能是它——因此 x ∈ F。正面實例對照：F = [0, 1] 的 cluster points 全落在 [0, 1] 內，這個方向帳面乾淨。
Proof (⟸).  Suppose instead that F holds every one of its cluster points; we verify that 𝒞(F) is open. Take any y ∈ 𝒞(F). Because y lies outside F while F contains all of its cluster points, y cannot be a cluster point of F.
(⟸) 換方向：假設 F 收齊了自己的全部 cluster points，要證的是補集 𝒞(F) 是 open。任取 y ∈ 𝒞(F)。因為 y 站在 F 外面，而 cluster points 按假設全在 F 裡面，所以 y 不是 F 的 cluster point——這裡還沒動手，只是把假設倒過來讀。
Unfolding "not a cluster point" produces a neighborhood V of y that meets no point of F other than y — and since y ∉ F, the set V meets no point of F at all. Consequently V ⊆ 𝒞(F).
這一步把「不是 cluster point」攤開：cluster point 要求「每一個 neighborhood 都撈得到 F 中異於 y 的點」，否定它就得到「有一個 neighborhood V 撈不到」——量詞翻面的標準動作（§9-1 例 2 證 [0, 1] 不 open 時，步驟 3 練過同一式）。定義原話只排除「異於 y 的點」；但上一步剛確認 y 自己不在 F 裡，所以 V 乾脆一個 F 的點都沒有——整個 V 落在補集 𝒞(F) 內。具體數字：F = [0, 1]、y = 1.01——V 取半徑 0.01 的球，整顆浸在補集裡；y = 1.5 寬裕得多，半徑 0.5 都行。
Inside V hides an open set containing y, and that open set lies inside 𝒞(F) as well — so 𝒞(F), too, is a neighborhood of y. As y ranged over all of 𝒞(F), Theorem 9.9 now certifies 𝒞(F) as open, and F is closed.
最後把「V 撈不到人」升級成「補集是 y 的 neighborhood」：V 是 neighborhood，裡面本來就藏著一個含 y 的 open set；而上一步證了 V ⊆ 𝒞(F)，這個 open set 便也躺在更大的 𝒞(F) 裡，於是 𝒞(F) 照樣是 y 的 neighborhood。由於 y 是補集裡任取的，補集的每一點都領到這個身分，§9-3 的 9.9（open 的三種說法——其中 (c)⟹(a)：集合是自己每一點的 neighborhood 就是 open）隨即判定 𝒞(F) open，F 是 closed。這正是本篇把 §9-3 列為前置的原因：下半場整段站在 9.9 的肩膀上。
兩個方向合攏：closed ⟺ 自家的 cluster points 一個不漏。驗 closed 從此多了一條不經補集的路——盤點有沒有漏網的熱鬧點即可。∎
—— 第二階段到此結束 ——

cluster point 立案完畢：熱鬧看位置不看名冊，有限集養不出熱鬧、無限而不 bounded 的 ℤ 也養不出。closed 從此有了第二條免補集判準——聚點全收（10.5），與 §9-3 的邊界版本互為表裡。下一篇 §10-3 把本節兩位主角接上線：bounded 且無限的集合，聚點必然存在——Bolzano-Weierstrass。先離開螢幕伸展一下背，回來看壓軸。