Proof. For real numbers a, b one has sup {a, b} = ½(a + b + |a − b|), inf {a, b} = ½(a + b − |a − b|). Hence h = ½(f + g + |f − g|) and k = ½(f + g − |f − g|), and continuity follows from 20.6 and 20.7.
這一格是例行核對，可是恆等式本身值得驗一次。設 a ≥ b，則 |a − b| = a − b，右邊成了 ½(a + b + a − b) = a，正是較大者；a < b 時 |a − b| = b − a，右邊成了 b。兩種情形各驗一次就完備了。之後 20.6 管加減與純量倍、20.7 管絕對值，串起來就是結論。
Let K be a compact subset of ℝᵖcontaining at least two points, and let ℒ be a collection of continuous real-valued functions on K such that (a) f, g ∈ ℒ implies sup {f, g} ∈ ℒ and inf {f, g} ∈ ℒ; (b) for any a, b ∈ ℝ and any two distinct x, y ∈ K there is f ∈ ℒ with f(x) = a and f(y) = b. Then every continuous real-valued function on K can be uniformly approximated on K by members of ℒ.
「至少兩點」不是形式上的補充：K 只有一個點時 (b) 是空洞成立的——沒有兩個相異點可以指定，於是條件什麼都沒要求，定理隨之失效。取 K = {0} 與 ℒ = {零函數}：(a) 成立（零函數與自己取大取小還是自己），(b) 空洞成立，可是常數函數 F ≡ 1 與 ℒ 中唯一的成員相差恆為 1，逼不近。空洞成立的條件買不到任何東西——這是「存在型」條件在退化情形下的典型陷阱，遇到「任兩個相異的⋯」這種措辭時值得回頭確認集合真的有兩個元素。
PROOF
固定一個連續的 F 與一個 ε > 0。目標是在 ℒ 中造出一個 h，使得 K 上處處有 F − ε < h < F + ε。
證明計畫 · 由所求想起 所求是同時滿足下界與上界的一個函數，而 (b) 一次只調得動兩個點。分兩輪，每輪用一次 compact。 第一輪固定一個 x：對每個 y 各造一個在 x、y 兩點與 F 吻合的函數，它在 y 附近不會低於 F − ε；把這些「不會太低」的區域挑成有限個，取 sup 就得到一個在整個 K 上都不太低的 h_x，而且它在 x 仍與 F 吻合。 第二輪讓 x 動：h_x 在 x 附近不會高於 F + ε；同樣挑成有限個，取 inf。取 inf 保住了「不太低」（每個都不太低），也換來了「不太高」（總有一個管得到當下這一點）。
Proof. For each pair x, y ∈ K choose g_{xy} ∈ ℒ with g_{xy}(x) = F(x) and g_{xy}(y) = F(y): when y ≠ x this is (b) applied directly, and when y = x pick any z ∈ K with z ≠ x — one exists since K has at least two points — and let g_{xx} be the function (b) gives for the pair x, z with values F(x), F(z). Since g_{xy} − F is continuous and vanishes at y, there is an open neighborhood U(y) of y with g_{xy}(z) > F(z) − ε for z ∈ K ∩ U(y).
這一步的所求：把「兩點吻合」升級成「一小片區域不會太低」。做這件事的是連續本身——g_{xy} − F 在 y 取值 0，而 0 > −ε，所以在 y 附近它仍然大於 −ε（把 20.2(b) 用在這個差函數上即可）。y = x 那一格必須單獨交代：(b) 只管相異的兩點，可是下一步要讓 y 跑遍整個 K（包括 x 自己），少了它 x 附近就沒有任何一塊 U(y) 蓋得到。要留意這裡只用到 y 那一點的吻合，x 那一點的吻合是留給後面用的。
Fixing x and letting y range over K, the sets U(y) cover K; by compactness finitely many suffice, say U(y₁), ⋯, U(y_n). Put h_x = sup {g_{xy₁}, ⋯, g_{xy_n}}, which lies in ℒ by (a). Then h_x(z) > F(z) − ε for every z ∈ K, and h_x(x) = F(x).
Since h_x − F is continuous and vanishes at x, there is an open V(x) with h_x(z) < F(z) + ε for z ∈ K ∩ V(x). Compactness again gives V(x₁), ⋯, V(x_m) covering K; put h = inf {h_{x₁}, ⋯, h_{x_m}} ∈ ℒ.
For z ∈ K: every h_{x_j} satisfies h_{x_j}(z) > F(z) − ε, hence so does their infimum; and z lies in some V(x_j), so h(z) ≤ h_{x_j}(z) < F(z) + ε. Therefore |h(z) − F(z)| < ε for all z ∈ K.