§13-1  平面上的乘法

有序對相乘，公式為什麼是 (xx′ − yy′, xy′ + x′y) 而不是逐分量相乘？這樣定出來的運算，真的滿足 field 的九條公理嗎——尤其是每個非零元都要有倒數？

平面上的點能不能相乘

修圖時把照片轉 90 度，再轉一次 90 度，照片就上下顛倒了——同一張照片，方向整個反過來。這句話裡藏著一個算式：「轉四分之一圈」這個動作連做兩次，效果等於「乘以 −1」做一次。動作可以接著做，數字可以相乘；如果平面上的每個點都能當成一種「數」，而「轉四分之一圈」恰好是其中某一個，那麼它的平方就該等於 −1。

平面上的點怎麼相加，§8-1 的 vector space（8.1）早就給過答案：逐分量相加，兩個位移接起來。相乘卻一直空著。§8-2 的 inner product（8.3）不能頂替——它吃兩個向量、吐一個實數，算完就離開了平面。這裡要的是「兩個點進、一個點出」，而且要好用到能做除法：加減乘除四則全部通行，也就是 §4-1 的九條 field 公理（4.1）全數成立。

這個要求有多苛刻？苛刻到維度一高就辦不到。在保留 §8 那套加法與實數倍的前提下，ℝᵖ 只要 p ≥ 3，就沒有任何與實數倍相容的乘法（把實數提進提出都不變）能讓它成為 field——這是一條定理，不是「還沒有人找到」。p = 2 站在分水嶺的另一邊：不但辦得到，而且辦法幾乎只有一種。

官方定義：ℂ 的兩個運算（13.1）

13.1  DEFINITION
ℂ, the complex number system, has as its elements the ordered pairs (x, y) of real numbers.
Two such pairs are added slot by slot: (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′).
They are multiplied by the rule (x, y) · (x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + x′y).
ℂ（複數系）的成員是實數的有序對 (x, y)，每個成員稱為一個 complex number（複數）。加法逐分量做；乘法照公式 (x, y) · (x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + x′y) 做。
正例：(0, 1) · (0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 0·1) = (−1, 0)——平方等於 −1 的那個成員，公式一算就在裡面。反例：這套乘法不是逐分量相乘。逐分量版本會讓 (1, 0) · (0, 1) = (0, 0)，兩個非零成員乘出零；而 field 裡不准有這種事（§4-3 的 4.6：無零因子），一旦出現，倒數就注定要缺席。
O 1 2 1 5 (2, 1) (1, 2) (0, 5)＝乘積 長度：√5 × √5 ＝ 5 角度：26.6°＋63.4°＝90° (2, 1) · (1, 2) ＝ (2−2, 4+1) ＝ (0, 5)

這張圖在說 13.1 的公式算出來的東西長什麼樣：兩個因子（藍、灰）與原點的連線長度都是 √5、與橫軸的夾角約 26.6° 與 63.4°；乘積（紅）長度 5、夾角 90°。長度相乘、角度相加——這個規律不是巧合，例 2 與 §13-2 的絕對值性質會把它坐實。

先讀清楚一件事：ℂ 與 ℝ² 的成員完全一樣——都是實數的有序對，一個不多一個不少；加法也一樣。差別只有一項：ℂ 多配了一個乘法，ℝ² 沒有。所以單看集合，兩者相等；看代數結構，兩者不同。這個「同集合、不同結構」的微妙處，§13-2 會收到一筆大紅利。

i 的登場：那個公式是被逼出來的

乘法公式的第二個分量 xy′ + x′y 還算面善，第一個分量的減號 xx′ − yy′ 卻像是硬塞的。它其實一步都沒得選。

先把有序對拆開寫。因為 (x, y) = (x, 0) + (0, y)，而實數倍照 §8 的慣例寫成 a(x, y) = (ax, ay)，每個成員都有唯一的寫法

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)。

其中 (1, 0) 是乘法的單位元（下面的定理會驗），照慣例就寫成 1，當因子時甚至可以整個省略；而 (0, 1) 需要一個短名字，慣用的選擇是 i。於是每個複數都寫成 z = (x, y) = x + iy。

現在假裝我們還不知道乘法公式，只知道兩件事：分配律要照舊成立，而 i² = −1。把兩個複數乘開：

(x + iy)(x′ + iy′) = xx′ + i xy′ + i x′y + i² yy′ = (xx′ − yy′) + i(xy′ + x′y)。

右邊正是 13.1 的公式。那個減號來自 i² = −1 這一項翻的面——公式不是憑空指定的，是「分配律 ＋ 平方得 −1」兩個要求逼出來的唯一答案。

乘開的四項：只有右下角那一格會翻面 x′ i y′ x i y x x′ i x y′ i x′ y i² y y′ ＝ − y y′ 實部 xx′ − yy′　　虛部 xy′ + x′y

這張圖在說 13.1 的減號從哪來：四個乘積項裡，只有 i y 乘 i y′ 那一格帶著 i²，而 i² = −1 把它翻成 −yy′。不帶 i 的兩項湊成實部、帶一個 i 的兩項湊成虛部。

一個古老的動機：有了 i，方程 z² + 1 = 0 在 ℂ 裡有解了。複數當初被造出來，要的就是這件事——實係數的二次方程未必有實數解，這個缺口得補。補得比預期還漂亮：不只每個實係數二次方程有解，任何次數、任何複係數的多項式方程在 ℂ 裡都有解。這條結果叫代數基本定理，1799 年由 Gauss 首次證明；它的證明用到的工具超出本章，這裡只記下這個事實。
例 1乘上 i 就是繞原點逆時針轉四分之一圈
開場那張照片的直覺，現在可以逐點驗算了。
算出 i · (x, y) 的一般式，再拿一組具體座標對照畫面。
  1. 照 13.1 的公式，取第一個因子為 i = (0, 1)：(0, 1) · (x, y) = (0·x − 1·y, 0·y + x·1) = (−y, x)。
  2. 具體算一組：i · (3, 1) = (−1, 3)。兩點到原點的距離都是 √10，而兩條連線的內積是 3·(−1) + 1·3 = 0——夾角是直角。
  3. 方向也對得上：(3, 1) 在第一象限偏右，(−1, 3) 在第二象限偏上，是逆時針而非順時針。
(x, y) ↦ (−y, x) 正是平面繞原點逆時針轉 90° 的那個對應。連做兩次得 (x, y) ↦ (−x, −y)，也就是乘上 i² = −1——開場那張顛倒的照片，算式對上了。
O (3, 1) (−1, 3) 逆時針 90° 長度不變（皆為 √10），方向轉四分之一圈

這張圖在證例 1 的算式與畫面一致：(3, 1) 乘上 i 落到 (−1, 3)，兩條連線等長、互相垂直，轉向是逆時針。乘一個複數竟然是一個幾何動作——這是 ℂ 與 ℝ² 真正分家的地方。

例 2乘上 c = (cos θ, sin θ) 就是轉 θ
例 1 只轉得了直角。想轉任意角度，該拿哪個複數當乘數？
找出乘上 c = (cos θ, sin θ) 的效果，並用一組具體角度驗算。
  1. 把待轉的點寫成極座標 z = (r cos φ, r sin φ)，其中 r 是它到原點的距離、φ 是它與橫軸的夾角。
  2. 照 13.1 的公式算 cz：實部是 r(cos θ cos φ − sin θ sin φ)，虛部是 r(cos θ sin φ + cos φ sin θ)。因為括號裡兩式正是餘弦與正弦的和角公式，所以 cz = (r cos(θ + φ), r sin(θ + φ))。
  3. 驗算一組：取 θ = 90°，則 c = (0, 1) = i，公式退化成例 1。再取 θ = 60°、z = (1, 0)，得 cz = (cos 60°, sin 60°) = (1/2, √3⁄2)——確實從橫軸轉了 60°。
乘上 (cos θ, sin θ) 這一類複數，效果就是把整個平面繞原點轉 θ：距離 r 原封不動，角度直接相加。一般的乘數只是再多附一個伸縮倍率——這正是開場那張圖看到的「長度相乘、角度相加」。
O z cz φ θ 兩點同在半徑 r 的圓上 距離不變、夾角由 φ 變成 θ + φ

這張圖在證例 2 的結論：乘上 c = (cos θ, sin θ) 之後，z 沿著同一個圓滑到 cz——半徑 r 沒動，夾角從 φ 加到 θ + φ。和角公式在這裡的角色，就是把「角度相加」翻譯成乘法公式裡的那四個乘積項。

驗明正身：ℂ 是一個 field

直覺再漂亮也得過帳。九條公理逐條驗過，才有資格說 ℂ 裡的加減乘除跟實數同一套文法。

THEOREM · ℂ 是一個 field
Under the two operations of Definition 13.1 the system ℂ satisfies all nine algebraic axioms of 4.1. Its zero element is (0, 0) and its identity is (1, 0); the negative of (x, y) is (−x, −y), and every (x, y) other than (0, 0) has the reciprocal ( x/(x² + y²), −y/(x² + y²) ).
配上 13.1 的兩個運算，ℂ 滿足 4.1 的九條 field 公理：零元是 (0, 0)、單位元是 (1, 0)、(x, y) 的加法反元素是 (−x, −y)，而每個非 (0, 0) 的 (x, y) 都有倒數 ( x/(x² + y²), −y/(x² + y²) )。
正例：(1, 0) 真的是單位元——(1, 0) · (x, y) = (1·x − 0·y, 1·y + 0·x) = (x, y)，任何成員乘它都原地不動。反例：(0, 0) 沒有倒數——倒數公式的分母 x² + y² 在這裡歸零。這不是公式的破綻：任何 field 的零元都不准有倒數（4.1 對倒數的要求本來就只發給非零元）。
PROOF

記 z = (a, b)、w = (c, d)、u = (e, f)，其中 a, b, c, d, e, f 都是實數。以下每一條都化約成實數的算術，靠的是 ℝ 自己已經是 field。

證明計畫 · 由所求想起
要證：13.1 的兩個運算讓 ℂ 滿足 4.1 的九條。
⇢ 加法那幾條逐分量繼承 ℝ，一次交代完。
⇢ 乘法的交換律與單位元，把公式讀一遍就看得出來。
⇢ 結合律與分配律各是一次展開對照——兩邊攤平成同樣的項。
⇢ 只有倒數要動腦：先想辦法把虛部消掉，看看誰乘上 z 會落回橫軸。
Proof.  Addition acts slot by slot, so associativity and commutativity of addition, the neutrality of (0, 0), and the fact that (−a, −b) undoes (a, b) all follow at once from the corresponding properties of ℝ, applied in each slot separately.
加法的四條先結清。因為 13.1 的加法是逐分量做的，每一條公理拆開來看都只是兩份實數的算術各自成立：((a, b) + (c, d)) + (e, f) 的第一分量是 (a + c) + e、第二分量是 (b + d) + f，而實數的加法結合律讓這兩式分別等於 a + (c + e) 與 b + (d + f)——正是 (a, b) + ((c, d) + (e, f)) 的兩個分量。交換律、零元 (0, 0)、反元素 (−a, −b) 同一個道理，逐分量繼承 §4-1 的 4.1（field 的九條代數公理）。這幾條是例行核對，不再逐條展開。
Multiplication is commutative: interchanging (a, b) and (c, d) in the defining rule turns (ac − bd, ad + bc) into (ca − db, cb + da), and these agree term by term because multiplication in ℝ is commutative. Moreover (1, 0)(c, d) = (1·c − 0·d, 1·d + 0·c) = (c, d), so (1, 0) is an identity for multiplication.
乘法的交換律與單位元只需讀公式。把 13.1 的兩個因子對調，(ac − bd, ad + bc) 變成 (ca − db, cb + da)；由於實數乘法本來就可交換，兩式逐項相同。單位元則是把 (1, 0) 代進公式：實部 1·c − 0·d = c，虛部 1·d + 0·c = d，原封還回 (c, d)。具體對照：(1, 0)(2, 1) = (2, 1)，畫面上就是「不轉也不伸縮」——與例 2 的說法一致，(1, 0) = (cos 0°, sin 0°)，轉了零度。
For associativity, expand both groupings. On one side, (zw)u = ((ac − bd)e − (ad + bc)f, (ac − bd)f + (ad + bc)e), which flattens to (ace − bde − adf − bcf, acf − bdf + ade + bce). On the other, z(wu) = (a(ce − df) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df)), which flattens to (ace − adf − bcf − bde, acf + ade + bce − bdf). The two agree term for term.
所求：先乘前兩個再乘第三個，跟先乘後兩個再乘第一個，結果要一樣。做法只有攤平對照一途。兩邊各展開成四項之後，實部都是 ace 一項正、其餘三項（bde、adf、bcf）各帶一個負號；虛部則是 bdf 一項負、acf、ade、bce 三項正——項的集合一模一樣，只是排列順序不同。記憶點：帶偶數個「虛」因子的項落到實部、帶奇數個的落到虛部，符號由 i² = −1 出現幾次決定。這一步是純代數展開，沒有幾何內容，不配圖。
The distributive law is a shorter computation of the same kind: z(w + u) = (a(c + e) − b(d + f), a(d + f) + b(c + e)) expands to (ac + ae − bd − bf, ad + af + bc + be), and adding zw = (ac − bd, ad + bc) to zu = (ae − bf, af + be) gives exactly the same pair.
分配律同一招，項數少一半。左邊先加再乘，右邊先各自乘再加——兩邊攤平後實部都是 ac + ae − bd − bf、虛部都是 ad + af + bc + be。到這裡九條裡只剩最後一條：非零元的倒數。
Let z = (x, y) ≠ (0, 0). Multiplying z by (x, −y) gives (x·x − y·(−y), x·(−y) + x·y) = (x² + y², 0) — a point on the horizontal axis. Since x and y are not both zero, Theorem 5.5 makes x² + y² a strictly positive real number, so we may divide by it: the pair w = ( x/(x² + y²), −y/(x² + y²) ) satisfies zw = (1, 0).
所求：對每個非零的 z = (x, y)，交出一個 w 使 zw = (1, 0)。倒數公式不必用猜的——先問「誰乘上 z 會把虛部消乾淨」，把第二個因子的虛部改號試試看：(x, y)(x, −y) 的虛部是 x·(−y) + x·y = 0，實部是 x² − y·(−y) = x² + y²，果然落回橫軸，得到 (x² + y², 0)。剩下的只是把它縮成 (1, 0)：因為 x、y 不同時為零，§5-2 的 5.5（非零實數的平方嚴格正）保證 x² + y² > 0，於是除得下去，兩個分量各除以它就是 w。具體算一次：z = (3, 4) 時 x² + y² = 25，w = (3/25, −4/25)，驗算 zw 的實部 (9 + 16)/25 = 1、虛部 (−12 + 12)/25 = 0——確實是 (1, 0)。
九條逐條過關，ℂ 在 13.1 的兩個運算下是一個 field：加減乘除四則在複數上全面通行，§4-2 的 4.3（反元素與倒數唯一）等一路由 4.1 推出的結果，也就一併適用於 ℂ。∎
倒數的畫面藏著一個新角色：剛才那一步之所以走得通，是因為 (x, −y) 這個「把虛部改號」的伴隨成員，乘回去恰好落在橫軸上。它不是臨時工具，而是複數運算裡最常用的一個操作——下一段就給它正式的名字。

共軛、實部與虛部

若 z = (x, y) = x + iy，就把實數 x 叫做 z 的 real part（實部）、y 叫做 z 的 imaginary part（虛部），記成 x = Re z、y = Im z。而把虛部改號得到的 z̄ = (x, −y) = x − iy，稱為 z 的 conjugate（共軛）。畫面上，取共軛就是對橫軸做鏡射。

有了共軛，實部與虛部各自都能用算式取出來。因為 z + z̄ = (2x, 0) = 2x，而 z − z̄ = (0, 2y) = 2iy，兩式各除一次就得

Re z = (z + z̄)/2，　　Im z = (z − z̄)/(2i)。

剛才證明裡那個關鍵算式，現在也有了名字：z z̄ = (x² + y², 0) = x² + y²——一個複數乘上自己的共軛，結果是實數，而且是非負實數。§13-2 會把這個實數認出來是誰，整節的度量衡就從它接手。倒數也因此有了一句話的寫法：1/z = z̄ ⁄ (z z̄)，先鏡射、再按 z z̄ 縮放。

O z ＝ x + iy z̄ ＝ x − iy 1/z 取共軛 ＝ 對橫軸鏡射；1/z 與 z̄ 同方向

這張圖在說共軛與倒數各是什麼動作：z̄（灰）是 z（藍）對橫軸的鏡射，兩者實部相同、虛部反號；而 1/z（紅）與 z̄ 同方向、長度按 z z̄ 這個實數縮回來——圖中的 z 離原點較遠，所以它的倒數落得比較靠近原點。

維度到此為止：本篇開頭說 ℝᵖ 在 p ≥ 3 成不了 field，值得補一句它壞在哪裡。若放寬要求、允許乘法不可交換，p = 4 上確實存在一種乘法（四元數），但少了交換律就已經不是 field 了；若堅持九條全要（乘法仍須與實數倍相容——少了這一條，連「維度」都管不住乘法），維度只能是 1 或 2——ℝ 與 ℂ 就是全部的答案。這條結果的證明屬於代數，本讀本不展開。
—— 第一階段到此結束 ——

平面上的乘法立起來了：公式是「分配律加上平方得 −1」逼出來的唯一答案，九條公理逐條驗過，ℂ 確實是一個 field，而乘法的幾何意義是長度相乘、角度相加。共軛與 z z̄ 也備妥待用。下一篇 §13-2 換個方向問：新添了一個運算，前面幾節建立的拓撲工具要不要重做一遍？算式攤了一整篇，起來走動一下、喝點水再回來。臨走前一則：有人問 i 為什麼老是站在角落不肯講話，它回答——「因為我一開口就會被說成不切實際。」