Bartle, The Elements of Real Analysis, 2nd ed.
實數分析讀本
導論：集合論一瞥
本章知識地圖 →實數系
本章知識地圖 →拓撲性質
本章知識地圖 →- §8向量與 Cartesian 空間一維的實數軸怎麼長成 p 維空間？「長度」與「距離」在高維憑什麼還能談？而 Schwarz 不等式——整門分析引用率最高…
- §9開集與閉集「不含自己的 boundary」這件事要怎麼用距離說清楚？open 與 closed 這對詞是不是互為反義？一個集合能不…
- §10Nested Cells 與 B-W 定理一列遞減的非空 closed cells，交集一定非空嗎？一個 bounded 的集合若含有無限多個點，是否必定存在一個…
- §11Heine-Borel 定理拿無限多個 open sets 把一個集合整個蓋住。你能不能總是丟到只剩「有限個」，還蓋得住？答案取決於被蓋的集合——這…
- §12連通集一個集合是「一整塊」還是「散成幾片」，要怎麼用 open sets 說清楚？[0, 1] 憑什麼拆不開？對 open 的…
- §13複數系平面上的點除了相加，能不能再定義一種乘法，讓四則運算全面通行？如果可以，前面幾節建立的 open set、compact…
收斂
本章知識地圖 →- §14數列與收斂一串照順序排下去的數，說它「愈來愈靠近某個值」是什麼意思？這個定義要怎麼寫，才禁得起任意嚴格的挑剔？而極限一旦存在，會不…
- §15子數列與極限的四則從一條數列裡按順序挑出無限多項，挑出來的那條會繼承什麼？「不收斂到 x」這句話精確說來是什麼意思？而兩條收斂數列的和、積…
- §16兩個收斂判準如果看不出一個數列的極限是誰，還能不能斷定它收斂？順序性質與數列自身各能提供什麼樣的判準？而這兩個判準，最後都靠在什麼上…
- §17函數列與均勻收斂數列的每一項換成一個函數之後，「收斂」該怎麼定義？如果每個定義點各自收斂，極限函數會不會繼承原來那些函數的良好性質？而「…
- §18上極限與下極限有界數列不一定收斂，可是它的項最終落在什麼範圍，總該說得清楚。有沒有一個對每個有界數列都存在的數，能在極限不存在時接手回…
- §19收斂的三個延伸兩條都發散到無窮的數列，要怎麼比較誰跑得快？一條不收斂的數列，能不能仍然指定一個合理的廣義極限？而下標從一個變成兩個之後…
連續函數
本章知識地圖 →- §20連續函數的局部性質輸入只變動一點點，輸出會不會也只變動一點點？這句話要怎麼寫成一條可以逐項驗證的敘述？而驗證的時候，該檢查鄰域、檢查 ε …
- §21線性函數哪一類函數的連續性可以一次驗完，不必逐點檢查？如果一個函數把加法與純量倍都原封保留下來，它會被自己在多少個點上的值完全決…
- §22連續函數的整體性質前一節的連續都是在一個點附近驗出來的。如果一個函數在定義域的每一點都連續，能不能一次看出它對整個集合做了什麼？連續會保住…
- §23均勻連續與不動點逐點連續交出的半徑，除了跟著誤差走，還跟著點的位置走。什麼時候可以挑出一個對整個定義域通用的半徑？而一個把所有距離都拉短…
- §24連續函數列一列連續函數的極限，還會是連續的嗎？如果不一定，要加什麼條件才保得住？反過來說，任給一個連續函數，能不能主動造出一列結構…
- §25函數的極限如果那一點根本不在定義域裡，「走向」還說得通嗎？連續與極限到底誰包含誰？而當極限根本不存在時，還有沒有什麼量是永遠算得出…
- §26逼近、延拓與挑選多項式能逼近所有連續函數，可是它憑什麼？一個只定義在部分區域上的連續函數，能不能擴張到整個空間？而一整族連續函數，在什麼…
單變數函數
無窮級數
- §34撰寫中
- §35撰寫中
- §36撰寫中
- §37撰寫中
- §38撰寫中
多變數微分
- §39撰寫中
- §40撰寫中
- §41撰寫中
- §42撰寫中
多變數積分
- §43撰寫中
- §44撰寫中
- §45撰寫中