Let X = (xₙ) be a bounded sequence in ℝ. Put V = {v ∈ ℝ : v < xₙ for at most finitely many n ∈ ℕ}. The limit superior of X, written lim sup X or lim sup (xₙ), is the number inf V. Put W = {w ∈ ℝ : xₙ < w for at most finitely many n ∈ ℕ}. The limit inferior of X, written lim inf X or lim inf (xₙ), is the number sup W.
V 收集所有「只被有限多項超過」的實數，上極限就是 V 的 inf；W 收集所有「只超過有限多項」的實數，下極限就是 W 的 sup。
正例：X = (1/n) 時，任何 v ≥ 1 都在 V 裡（沒有一項超過它），而 v = 1/2 也在 V 裡——超過它的只有 x₁ = 1 這一項。事實上每個正數都在 V 裡，因為 1/n > v 只發生在 n < 1/v 這有限多個編號上，於是 inf V = 0。反例：v = 0不在 V 裡——每一項都滿足 0 < 1/n，超過它的有無限多項。V 的 inf 不必屬於 V，這一點和 §6-2 例 2 是同一件事。
兩個集合各是一條射線，方向相反。這件事值得先確認一次，因為後面每個證明都會用到：如果 v ∈ V 而 v′ > v，則 v′ ∈ V。理由是 v′ < xₙ 蘊涵 v < xₙ，所以滿足前者的編號只會比滿足後者的更少，有限仍然有限。同樣地 W 只要含一個數就含它左邊全部。射線這個形狀讓「取 inf」變成一件很具體的事：inf V 就是這條右射線的起點。
LEMMA
If X = (xₙ) is a bounded sequence in ℝ, then V is non-empty and bounded below, and W is non-empty and bounded above. Consequently lim sup X = inf V and lim inf X = sup W exist, and each is uniquely determined by X.
有界數列的 V 與 W 都非空，且分別下有界、上有界。所以每個有界數列都有上極限與下極限，而且各只有一個——不論它收不收斂。
正例：X = ((−1)ⁿ) 發散（§14-2 例 4 把每個候選極限都刷掉了），可是它的 V 與 W 照樣非空，兩個數照樣交得出來。反例：無界的 X = (n)不適用——每個實數都被無限多項超過，V 是空集，而空集沒有 inf。第四篇會為這個情形補上約定。
Proof. Since s is an upper bound of the range, no n satisfies s < xₙ. Because zero is a finite number, s belongs to V, so V ≠ ∅.
這一步的所求：V 裡至少要有一個東西，否則談 inf 沒有意義。拿 s = sup {xₙ} 當候選——因為它是整個值域的上界，「超過 s 的項」一項都沒有。定義只要求超過它的項至多有限多個，而零個當然是有限多個。舉個具體的：X = ((−1)ⁿ) 的 s = 1，超過 1 的項確實一個也沒有，所以 1 ∈ V。
Next, suppose v ∈ V. If we had v < i, then v < i ≤ xₙ would hold for every n ∈ ℕ, so infinitely many n would satisfy v < xₙ, contradicting v ∈ V. Therefore i ≤ v for every v ∈ V, so i is a lower bound of V.
這一步的所求：一個把 V 從下方擋住的數，這樣 inf 才存在。選 i = inf {xₙ}，論證走反證——如果某個 v ∈ V 掉到 i 下面，那它就掉到每一項下面，於是「超過它的項」是全部，無限多個，這與 v 進得了 V 直接牴觸。請注意結論只說 i 是下界，沒說 i ∈ V：以 X = (1/n) 為例，i = 0 而 0 ∉ V。下界與成員是兩回事。
Since V is non-empty and bounded below, inf V exists by 6.5. The argument for W is symmetric: i ∈ W and s is an upper bound of W, so sup W exists by 6.4. Uniqueness of each is part of Definition 6.2.
Proof. For v ∈ ℝ the inequality v < −xₙ is equivalent to xₙ < −v. Hence v ∈ V(−X) holds precisely when at most finitely many n satisfy xₙ < −v, that is, precisely when −v ∈ W(X). Therefore V(−X) = {−w : w ∈ W(X)}.
Taking infima and using inf {−w : w ∈ A} = −sup A, we obtain lim sup (−X) = inf V(−X) = −sup W(X) = −lim inf X. Multiplying by −1 gives the first identity, and applying it to −X in place of X gives the second.