Let X = (xₙ) and Y = (yₙ) be bounded sequences of real numbers. (a) lim inf (xₙ) ≤ lim sup (xₙ). (b) If c ≥ 0, then lim inf (cxₙ) = c lim inf (xₙ) and lim sup (cxₙ) = c lim sup (xₙ). (b′) If c ≤ 0, then lim inf (cxₙ) = c lim sup (xₙ) and lim sup (cxₙ) = c lim inf (xₙ). (c) lim inf (xₙ) + lim inf (yₙ) ≤ lim inf (xₙ + yₙ). (d) lim sup (xₙ + yₙ) ≤ lim sup (xₙ) + lim sup (yₙ). (e) If xₙ ≤ yₙ for all n, then lim inf (xₙ) ≤ lim inf (yₙ) and lim sup (xₙ) ≤ lim sup (yₙ).
這張圖在說 (b′) 的機制：把數列整條乘上 −1，數線以 0 為中心翻面，原本站在右端的上極限被送到左端，原本在左端的下極限被送到右端。顏色跟著位置一起搬——這正是「負係數把兩個記號互換」的幾何內容，也是第一篇的鏡射引理在 c = −1 這個特例上的畫面。
PROOF
全部六條都在 V 與 W 兩個集合上直接算，不動用 18.2。先記下一個反覆要用的觀察：只要 v > lim sup X，就有 v ∈ V(X)——因為 lim sup X = inf V(X) 而 v 比它大，v 不是下界，於是 V(X) 裡有比 v 小的成員，射線的形狀再把 v 拉進來。對稱地，w < lim inf X 蘊涵 w ∈ W(X)。下標 V(X) 表示這是由 X 造出的那個集合。
Proof. (a) Suppose lim sup X < lim inf X and choose v, w with lim sup X < v < w < lim inf X. Then v ∈ V(X), so only finitely many n satisfy v < xₙ. Also w ∈ W(X), so only finitely many n satisfy xₙ < w; hence infinitely many n satisfy w ≤ xₙ, and each of these also satisfies v < xₙ — a contradiction.
這一步的所求：排除「下極限跑到上極限右邊」。反證的施力點是中間那段空隙：如果真的顛倒了，空隙裡塞得下兩個數 v < w，而它們的身分互相衝突——v 說「超過我的項只有有限多個」，w 說「小於我的項只有有限多個」（也就是不小於我的有無限多個）。可是不小於 w 的項一定超過 v，於是同一批無限多個編號同時被兩句話管轄，矛盾。要選得出 v 與 w，用的是 §6-4 的稠密性（6.10）——兩個相異實數之間永遠找得到別的數。
(b) Let c > 0. For v ∈ ℝ the inequality v < cxₙ is equivalent to v/c < xₙ, so v ∈ V(cX) if and only if v/c ∈ V(X); that is, V(cX) = {cv : v ∈ V(X)}. Taking infima gives lim sup (cX) = c lim sup X. The identical computation with W in place of V gives W(cX) = {cw : w ∈ W(X)} and hence lim inf (cX) = c lim inf X. For c = 0 the sequence cX is identically zero and all four sides vanish.
這一步的所求：把兩個集合對接。正係數除過去不翻不等號，所以「超過 v 的項」與「超過 v/c 的項」是同一批編號，兩個集合因此差一個倍數。最後用到 inf (cA) = c inf A（c > 0）——這是 sup 與 inf 對正倍數的齊次性。c = 0 要單獨看一眼：整條數列變成常數 0，兩個記號都是 0，而右邊 0 · lim sup X 也是 0。這種邊界情形不寫會被抓包，因為 c ≥ 0 的條件裡確實含 0。
(b′) Let c < 0. Now v < cxₙ is equivalent to xₙ < v/c, so v ∈ V(cX) if and only if v/c ∈ W(X), giving V(cX) = {cw : w ∈ W(X)}. Since inf {cw : w ∈ W} = c sup W for c < 0, we get lim sup (cX) = c lim inf X. For the other identity use the mirror lemma and then part (b) with the positive scalar −c: lim inf (cX) = −lim sup ((−c)X) = −(−c) lim sup X = c lim sup X.
和上一步唯一的差別是除以負數要翻不等號，而翻面之後入場條件就從 V 的那一句變成 W 的那一句。這一行解釋了整條 (b′)：不是「乘上負數之後結果變號」這麼簡單，是兩個集合本身互換了角色。以 c = −1 檢查：V(−X) = −W(X) 正是第一篇鏡射引理算過的等式，(b′) 是它推廣到任意負係數的版本。第二條等式的收尾要留意不能把已證的式子再套在 cX 上（那會得到係數 c² 的敘述，不是所求）；正確的路是先用鏡射引理把 lim inf 換成 lim sup，此時係數變成正的 −c，改用 (b)。
(d) Let v > lim sup X and u > lim sup Y, so v ∈ V(X) and u ∈ V(Y). If v + u < xₙ + yₙ, then v < xₙ or u < yₙ, because xₙ ≤ v together with yₙ ≤ u would force xₙ + yₙ ≤ v + u. Hence {n : v + u < xₙ + yₙ} is contained in the union of two finite sets and is finite, so v + u ∈ V(X + Y) and lim sup (xₙ + yₙ) ≤ v + u.
這一步的所求：讓和的上極限被 v + u 壓住。核心是一句反面的話：要讓和超過 v + u，至少有一項得先自己超標——因為兩項都不超標時，相加也不會超標。於是「和超標的編號」被關進「X 超標的編號」與「Y 超標的編號」兩個集合的聯集裡，而兩個有限集的聯集仍然有限（§3-2 的 3.4）。收尾時讓 v 貼近 lim sup X、u 貼近 lim sup Y：不等式對每一組這樣的 v, u 都成立，取 inf 即得 (d)。
(c) Apply (d) to −X and −Y: lim sup (−xₙ − yₙ) ≤ lim sup (−xₙ) + lim sup (−yₙ). By the mirror lemma each term equals the negative of the corresponding lower limit, so multiplying by −1 reverses the inequality and yields lim inf (xₙ) + lim inf (yₙ) ≤ lim inf (xₙ + yₙ).
(e) Suppose xₙ ≤ yₙ for all n and let u > lim sup Y, so u ∈ V(Y). Since u < xₙ implies u < yₙ, the set {n : u < xₙ} is a subset of a finite set and hence finite; thus u ∈ V(X) and lim sup X ≤ u. Letting u decrease to lim sup Y gives the second claim, and applying it to −Y ≤ −X together with the mirror lemma gives the first.
這一步是純粹的集合包含：X 每一項都不比 Y 大，所以「X 超過 u 的編號」是「Y 超過 u 的編號」的子集，有限集的子集仍有限——於是 V(Y) ⊆ V(X)，集合越大 inf 越小，上極限的不等式就出來了。下極限那半再一次用鏡射：逐項的 xₙ ≤ yₙ 取負號成 −yₙ ≤ −xₙ，套已證的部分即可。
六條規則齊備。純量倍是等號，加法與比較只到不等號，而負係數會把兩個記號互換。∎
例 4不等號不能改成等號
(c) 與 (d) 的兩個不等號，會不會其實永遠取到等號，只是證明沒證出來？
取 X = ((−1)ⁿ) 與 Y = ((−1)ⁿ⁺¹)。由 §18-1 例 1，lim sup X = lim sup Y = 1 而 lim inf X = lim inf Y = −1。
可是 xₙ + yₙ = (−1)ⁿ + (−1)ⁿ⁺¹ = 0 對每個 n 都成立，所以 X + Y 是常數 0 的數列，兩端都是 0。代進去：
lim inf X + lim inf Y = −2 < 0 = lim inf (X + Y)，
lim sup (X + Y) = 0 < 2 = lim sup X + lim sup Y。
兩處落差都是 2，而且是所有可能落差裡最大的——因為兩條數列的振幅各是 2。
這張圖在說落差是怎麼產生的：X 的高點落在偶數編號，Y 的高點落在奇數編號，兩者永遠不在同一個 n 上相遇。lim sup X + lim sup Y 把兩個高點加起來，可是和數列在任何一個編號上都拿不到這兩個高點——於是它的上極限只到 0。不等號的落差，量的正是兩條數列高點錯開的程度。
本篇列出六條運算規則（18.3）並全部在 V 與 W 兩個集合上直接證明：純量倍照乘、負係數把上下極限互換、加法只給得起不等號、逐項比較被兩個記號同時繼承。例 4 交出一組實例，說明加法的兩個不等號真的無法改成等號，落差可以達到振幅的大小。下一篇 §18-4 回答本節開頭埋下的問題——兩端相等意味著什麼——並把這兩個記號推廣到無界的數列。喝口水、動一動再繼續。