§24-1  極限與連續

一列連續函數的極限，還會是連續的嗎？如果不一定，要加什麼條件才保得住——而那個條件是不是也必要？

極限會不會弄丟連續

把一條由黑漸變到白的漸層帶做得越來越窄。每一張都還是漸層——沒有任何一張出現硬邊。可是一路窄下去，最後浮現的圖案是一道硬邊：左邊全黑、右邊全白，中間什麼都沒有。

§17-1 例 2 已經演過同一件事的數學版本：fₙ(x) = xⁿ 在 [0, 1] 上每一項都連續，可是逐點極限在 x = 1 跳了一階。連續不是自動被極限保下來的性質。

那要加什麼條件才保得住？§17-2 立的均勻收斂正是為了這一刻。本篇證明它足夠，並用一個例子說明它並非必要。

先把記號複習一遍。函數列 (fₙ) 在 D 上均勻收斂到 f，意思是對每個 ε > 0 都有一個 N(ε)，使得 n ≥ N(ε) 時對 D 裡的每一個 x 都有 ‖fₙ(x) − f(x)‖ < ε。關鍵是 N 只跟著 ε 走，不跟著 x 走——與上一節的 δ 是同一種「通用」。§17-3 的 17.9 說這件事等價於 ‖fₙ − f‖_D → 0——那條敘述是對有界的函數列講的，本節用到的每一列都有界，所以直接可用。
24.1  THEOREM
Let (fₙ) be a sequence of continuous functions with domain D ⊆ ℝᵖ and values in ℝ^q, and suppose (fₙ) converges uniformly on D to f. Then f is continuous on D.
均勻收斂把連續原封帶過極限。這是本節最常被引用的一條：往後只要看到一列連續函數均勻收斂，極限函數的連續就不必再驗。要留意逐點收斂完全沒有這個保證——差別只在 N 准不准跟著 x 走。
正例：fₙ(x) = x/n 在 [0, 1] 上均勻收斂到零函數（‖fₙ − f‖_D = 1/n → 0），極限確實連續。反例：定理不能倒過來用——極限連續推不出收斂均勻，例 2 給出一列連續函數逐點收斂到連續的零函數，而 ‖fₙ − f‖_D 恆為 1。
PROOF

要證的是 f 在任一點 a ∈ D 連續，用 20.2(b) 的 ε-δ 版本最方便。手上有兩種資訊：每個 fₙ 自己連續，以及 fₙ 與 f 到處都很接近。

證明計畫 · 由所求想起
所求是把 ‖f(x) − f(a)‖ 壓到 ε 以下，可是 f 本身我們一無所知。借道某一個 f_N：把差拆成三段——從 f(x) 跳到 f_N(x)、在 f_N 上從 x 走到 a、再從 f_N(a) 跳回 f(a)。頭尾兩段由均勻收斂各壓到 ε/3，中間那段由 f_N 自己的連續壓到 ε/3。
次序不能顛倒：必須先選定 N，再去要 f_N 的 δ——因為 δ 會跟著 N 走。

Proof.  Let ε > 0 and let a ∈ D. By uniform convergence there is N with
  ‖f_N(y) − f(y)‖ < ε/3  for every y ∈ D.
Since f_N is continuous at a, there is δ > 0 such that ‖f_N(x) − f_N(a)‖ < ε/3 whenever x ∈ D and ‖x − a‖ < δ.
這一步的所求：把兩件資訊各準備成一個可用的數。「對每個 y ∈ D」這五個字是全證明的支點——它讓同一個 N 在 x 與 a 兩處同時可用。若收斂只是逐點的，x 與 a 各需要一個編號，而 x 是變動的，取不到一個共同的 N，下一步的三段拆解就湊不起來。要留意 δ 依賴 a 與 N，這無妨——我們要證的是逐點連續。
Now if x ∈ D and ‖x − a‖ < δ, the triangle inequality gives
  ‖f(x) − f(a)‖ ≤ ‖f(x) − f_N(x)‖ + ‖f_N(x) − f_N(a)‖ + ‖f_N(a) − f(a)‖,
and each of the three terms is less than ε/3. Hence ‖f(x) − f(a)‖ < ε, so f is continuous at a.
這一步把三段相加。頭尾兩段用的是同一個 N、不同的點（x 與 a），中間那段用的是同一個函數 f_N、不同的點——所以整條論證真正需要的只有「有一個函數同時在兩處都夠靠近，而它自己是連續的」。a 是任取的，所以結論對 D 的每一點成立。
均勻收斂讓連續穿得過極限。∎
ε/3 ε/3 ε/3 f f_N x a 下去、走過去、上來

這張圖在說 24.1 的三段拆解：實線是極限函數 f，虛線是某一個 f_N。從 x 到 a 的落差被拆成「垂直下去、沿著虛線走過去、垂直上來」三段。兩段垂直的長度由均勻收斂統一壓住，而它們在圖上任何位置都一樣短——這正是「均勻」的意思。中間那一段則由 f_N 自己的連續負責。

24.2  THEOREM
If (fₙ) is a sequence in BC_{pq}(D) with ‖fₙ − f‖_D → 0, then f ∈ BC_{pq}(D).
同一件事用 §22-4 的空間語言講一次：有界連續函數的空間對這個 norm 是「收得住」的——依 ‖·‖_D 收斂的極限不會掉出這個空間之外。這種性質往後會反覆出現，它讓 BC(D) 成為一個可以放心做極限的場地。
正例：fₙ(x) = x/n 在 D = [0, 1] 上都屬於 BC(D)，‖fₙ − 0‖_D = 1/n → 0，極限的零函數確實仍在 BC(D) 內。反例：換成逐點收斂就不成立——xⁿ 每一項都在 BC([0, 1]) 內，極限卻不連續，因而不在其中。這裡的 ‖·‖_D 不可換成別的收斂方式。
PROOF

要驗的有兩件事：極限連續、極限有界。第一件已經是 24.1，第二件要另外走一次。

Proof.  By 17.9, convergence in ‖·‖_D is the same as uniform convergence on D, so f is continuous by 24.1. For boundedness, choose N with ‖f_N − f‖_D ≤ 1; then for every x ∈ D
  ‖f(x)‖ ≤ ‖f(x) − f_N(x)‖ + ‖f_N(x)‖ ≤ 1 + ‖f_N‖_D,
a bound independent of x. Hence f ∈ BC_{pq}(D).
這一步的有界那半是例行核對，可是手法值得留意：取 ε = 1 就好——證明有界不必讓誤差變小，只要有一個夠近的 f_N 當參照物。這與 16.8（Cauchy 數列必定有界）的作法完全相同：先用一次收斂拿到一個固定的參照物，再繞經它估計。
依 uniform norm 收斂的極限，仍然住在有界連續函數的空間裡。∎
例 1重看 xⁿ：均勻收斂在哪一步破功
既然 24.1 說均勻收斂保得住連續，而 xⁿ 的極限不連續，那它一定不是均勻收斂。破功的位置在哪裡？
  1. 逐點極限是 f(x) = 0（0 ≤ x < 1）、f(1) = 1。每個 fₙ(x) = xⁿ 都連續，極限在 x = 1 不連續。
  2. 算 uniform norm：對 0 ≤ x < 1 有 |fₙ(x) − f(x)| = xⁿ，而 x 可以取到任意接近 1，所以
      ‖fₙ − f‖_D = 1  對每個 n 成立。
    17.9 判定不均勻收斂。
  3. 破功的具體位置：固定 ε = 0.4，問「n 要多大才使 xⁿ < 0.4」。x = 0.9 時 n = 9 就夠（0.9⁹ ≈ 0.387）；x = 0.99 時要 n = 92；x = 0.999 時要 n = 916。x 越靠近 1，需要的編號越大而沒有上限——通用的 N 因此不存在。
  4. 把定義域縮小就恢復：在 [0, 0.9] 上 ‖fₙ − 0‖ = 0.9ⁿ → 0，均勻收斂，而極限（零函數）連續，與 24.1 一致。
第 3 步的表格與上一節 1/x 的 δ 表格是同一個現象：逐點都辦得到，合起來卻沒有通用的答案。差別只在那裡收攏的是半徑，這裡收攏的是編號。而治法也類似——把出問題的那一段從定義域切掉。
1 x = 1 n 越大越貼著橫軸 可是右端永遠掛在高處

這張圖在說例 1 的破功位置：n 越大，曲線在區間內部就越貼著橫軸，可是每一條都必須在右端點回到 1，於是靠近 x = 1 的地方永遠有一段陡峭的拉升。那一段的位置隨 n 往右擠，卻從不消失——所以「最壞的一點」始終差 1，uniform norm 不趨向零。

例 2極限連續，收斂卻不均勻
24.1 說均勻收斂是充分條件。它是不是也必要——極限連續會不會反過來逼出均勻收斂？
  1. 在 [0, 1] 上造一列尖峰。fₙ 是折線：從 (0, 0) 直線升到 (1/(2n), 1)，再直線降到 (1/n, 0)，之後在 [1/n, 1] 上恆為 0。每個 fₙ 都連續。
  2. 逐點極限是零函數：fₙ(0) = 0 對每個 n 成立；而固定 x > 0 時，只要 n > 1/x 就有 1/n < x，於是 fₙ(x) = 0。極限函數處處連續。
  3. 可是收斂不均勻：每個 fₙ 都在 x = 1/(2n) 這一點取到 1，所以
      ‖fₙ − 0‖_D = 1  對每個 n 成立，
    不趨向零。17.9 判定不均勻。
  4. 畫面上發生的事：尖峰的高度始終是 1，只是底座越來越窄、越來越靠近原點。逐點來看每一點遲早被尖峰甩在後面，整體來看尖峰從未變矮。
所以 24.1 的反向不成立：極限連續完全不保證收斂均勻。這個例子也解釋了為什麼 17.9 用 ‖fₙ − f‖_D 判定均勻收斂——逐點的資訊看不出尖峰，而 sup 一眼就看到。下一篇起換一個方向：既然均勻收斂這麼好用，能不能主動造出一列簡單的函數去均勻逼近一個給定的連續函數？
1 峰越來越窄，卻從未變矮

這張圖在說例 2 的機制：三個尖峰的高度都是 1，底座卻一個比一個窄、一路向左端靠攏。橫軸上任何一個固定的點，遲早會落在所有尖峰的右邊而取值為零——所以逐點極限是零函數。可是 uniform norm 量的是「最壞的那一點」，而那一點永遠存在、永遠差 1。逐點與均勻的差別在這幅圖上一目了然。

—— 第一階段到此結束 ——

本篇的主角是 24.1：一列連續函數若均勻收斂，極限函數必定連續。證明是三段拆解——頭尾兩段由均勻收斂統一壓住，中間那段由某一個 f_N 自己的連續負責，而「同一個 N 在兩處都可用」正是均勻二字的全部內容。24.2 把同一件事寫成空間的語言：BC(D) 收得住依 uniform norm 的極限。例 1 指出 xⁿ 破功的位置，例 2 造了一列高度不變的尖峰，說明極限連續反推不出均勻收斂。起來走走再回來，下一篇換一個方向——主動造出簡單的函數去逼近給定的連續函數。