驗收的辦法是反著問：怎樣才算「散成幾片」？找得到兩片海域，各罩住一部分成員、在成員身上互不重疊、合力把全體收容進去——集合就被拆成兩隊了。海域用什麼做？§9-1 的 open sets。open 這個要求不是裝飾：要是允許任意集合當海域，隨便哪個集合都拆得開（稍後的試金石會演給你看），判準就什麼都量不出來。
Call a subset D of ℝᵖdisconnected when two open sets A, B can be found for which A ∩ D and B ∩ D are both non-empty, share no point, and together make up all of D; such a pair A, B is called a disconnection of D. When a subset C of ℝᵖ admits no disconnection at all, C is called connected.
D ⊆ ℝᵖ 為 disconnected（不連通），意思是存在兩個 open sets A、B，使 A ∩ D 與 B ∩ D 皆非空、互不相交，且聯集恰是 D；這樣的一組 A、B 稱為 D 的一個 disconnection。找不到任何 disconnection 的集合稱為 connected（連通）。
正例（斷）：ℕ——A = {x : x < 3/2}、B = {x : x > 3/2} 一組交件，例 1 驗收。反例（連）：[0, 1]——任何合格的 A、B 都交不出來，12.3 會把所有拆法一次封死。
這張圖在說 12.1 的驗收單長什麼樣：集合 D（奶油色兩塊）被兩片 open 海域（虛線的 A 與 B）分光——A ∩ D 與 B ∩ D 皆非空、互不相交、拼回全體。交得出這樣一組 A、B，D 就是 disconnected。
兩行細則先讀清楚。其一，定義只管 A ∩ D 與 B ∩ D——海域本身可以伸到 D 之外老遠，甚至彼此在 D 之外重疊，都不礙事。其二，connected 的定義是純否定式：「不存在任何 disconnection」。這就是它難證的根源——斷開只需一份成功的交件，連通卻要封死整個申請窗口。
四個試金石（12.2）
前三例交件，第四例退件——退件的理由比交件更值得看。
例 1證明 ℕ 在 ℝ 中 disconnected
第一串群島。自然數彼此相距至少 1，島與島之間全是公海——海域不愁沒地方畫。
交出一組合格的 A、B：兩者 open，A ∩ ℕ 與 B ∩ ℕ 非空、互斥、聯集是全體。
在 1 與 2 之間開航道：取 A = {x ∈ ℝ : x < 3/2}、B = {x ∈ ℝ : x > 3/2}。兩條開射線都是 open——成員離 3/2 多遠，緩衝圈就配多大（x = 1 配 r = 1/2）。
open 是門檻，不是裝飾：要是拿掉 open 這個要求，任何至少有兩個點的集合都「拆得開」——把成員隨便分成兩堆，各拿那一堆自己當海域就行。判準一旦人人皆斷，就什麼都量不出來。open 的真正作用是不許海域捏著交界：A 收了誰，就得連他的緩衝圈一起收（§9-1 的緩衝圈）——正是這一條，讓 12.3 的交界點兩頭無處容身。
第一個 connected 集：[0, 1]（12.3）
到目前為止我們手上一個 connected 集都沒有。第一個候選人是 I = [0, 1]，證法只能反證：假設有人交出一組合格的 A、B，然後找出一個「必須屬於某一隊、卻哪一隊都容不下」的點。這個點去哪找？找交界——A 隊在 I 裡的最右緣，也就是 sup。sup 的存在由 §6-2 的 Supremum Property（6.4）保證：非空、上有界的集合必有最小上界。
12.3 THEOREM
The unit interval I = [0, 1], endpoints included, is a connected set in ℝ.
反證。設 open sets A、B 構成 I = [0, 1] 的一個 disconnection：A ∩ I 與 B ∩ I 皆非空、互不相交、聯集是 I。以下推出矛盾。
證明計畫 · 由所求想起
要證：I connected——任何拆法都不成立。
⇢ 反證：假設拆成功。1 總得屬於某一隊，不妨設 1 ∈ B。
⇢ 鎖定交界點 c = sup(A ∩ I)——A 隊在 I 裡的最右緣。
⇢ c 必屬 A 或 B；而 open 的海域收人連圈收——進 A 則 sup 之上出現自家成員，進 B 則出現更小的上界。兩邊都容不下 c，反證閉合。
這張圖在證矛盾怎麼發生（本證明走反證，圖畫的是假想拆法的崩塌現場）：交界點 c = sup(A ∩ I) 若住進 A（上排），open 的 A 連 c 的緩衝圈一起收，圈的右半交出比 sup 更大的 A ∩ I 成員 t；若住進 B（下排），B 連左側一小段 [c₁, c] 一起收，A ∩ I 全體被擋在 c₁ 左邊——c₁ 成了比 sup 更小的上界。兩頭都不是人。
Proof. Suppose, to the contrary, that open sets A, B form a disconnection of I: the sets A ∩ I and B ∩ I are non-empty, share no point, and together fill I. Since 1 ∈ I, the point 1 falls in one of the two sets; relabelling if necessary, we assume 1 ∈ B.
開場立反證的假設：假設真有一組 open sets A、B 拆開了 I——A ∩ I 與 B ∩ I 非空、互不相交、合力拼滿 I。唯一的小推理在最後一句：因為 I 被兩隊分光，1 必屬其一——把收下 1 的那隊叫 B 只是命名，不是額外假設。
The set A ∩ I is non-empty and lies inside [0, 1], so it is bounded above; by the Supremum Property 6.4 it has a least upper bound. Write c = sup(A ∩ I). Since every member of A ∩ I sits in [0, 1], we get 0 ≤ c ≤ 1, hence c ∈ I; and because the two sets together fill I, the point c belongs to A or to B.
交界點在這一步定下。因為 A ∩ I 非空、又整個躺在 [0, 1] 裡（上有界），§6-2 的 Supremum Property 6.4（非空、上有界的集合必有最小上界）交出 c = sup(A ∩ I)；由於成員全在 [0, 1] 內，0 ≤ c ≤ 1，所以 c ∈ I——又因為兩隊拼滿 I，c 必屬 A 或 B 之一。具體畫面：若 A ∩ I = [0, 0.6)、B ∩ I = [0.6, 1]，那 c = 0.6——正是例 4（三關全過、只差 open 被退件的那組拆法）的交界本人。記住 sup 的兩面：右邊沒有 A ∩ I 的成員，左邊要多近有多近。以下按 c 的隊籍分兩案。
First suppose c ∈ A. Then c ≠ 1, because 1 lies in B ∩ I and the two sets share nothing; so c < 1. Because A is open, some interval (c − r, c + r) lies wholly inside A. Choose t with c < t < min(c + r, 1): then t ∈ A and t ∈ I, so t is a member of A ∩ I exceeding its own supremum — impossible.
第一案：c ∈ A。先排除 c = 1——因為 1 已在 B ∩ I 裡而兩隊互斥，所以 c < 1。因為 A 是 open，收人連圈收：收了 c 就得連區間 (c − r, c + r) 一起收；又因為 c < 1，右側那一小段仍留在 I 裡——於是取 c < t < min(c + r, 1)，這個 t 同時屬於 A 與 I，是 A ∩ I 裡比自家 sup 還大的成員。可是 sup 是上界，不可能被自家成員越過——矛盾。具體：c = 0.6、r = 0.1，取 t = 0.65。
Next suppose c ∈ B. Because B is open, an interval (c − r, c + r) sits inside B; note c > 0 here, so we may pick c₁ with max(0, c − r) < c₁ < c, making [c₁, c] ⊆ B ∩ I. No member of A ∩ I can enter [c₁, c] — such a point would belong to both sets at once. But every member of A ∩ I is at most c, therefore every member now falls below c₁: the number c₁ is an upper bound of A ∩ I smaller than the least one — impossible again.
第二案：c ∈ B。因為 B 也是 open，收了 c 就連左側整段 [c₁, c] 一起收（c₁ 取在 max(0, c − r) 與 c 之間）；由於兩隊在 I 上互斥，這一段對 A ∩ I 就成了禁區。而 A ∩ I 的成員本來就不超過上界 c，如今連 [c₁, c] 也進不去，全體只能落在 c₁ 之下——c₁ 成了比「最小上界」c 更小的上界，矛盾。具體：c = 0.6、r = 0.1、c₁ = 0.55——A ∩ I 全體 < 0.55，當初的 sup 就不該是 0.6。至於取 c₁ 時用到的 c > 0：若 c = 0，A ∩ I 只能是 {0}，可是本案假設 0 = c ∈ B——同一個點被兩隊同時收走，互斥先垮，根本進不到這一步。
Both cases are impossible, yet c must belong to one of the two sets. Therefore no disconnection of I exists.