平面上的 compact 集與包含它的 open set 之間，是否總存在有限多條、各由有限段圓弧組成的封閉曲線，合力將它包圍？可數多個自身不包含任何非空 open set 的 closed sets，其聯集湊得出非空 open set 嗎？
美術館要圍住一件形狀不規則的展品，沒有人訂做貼合輪廓的玻璃罩——搬幾段現成的弧形圍欄，繞著拼出警戒線，展品在內、走道在外，就收工了。Circumscribing Contour 定理說的是這種事在平面上永遠辦得到：compact 集與包住它的 open set 之間，塞得進有限多段現成圓弧拼出的包圍網。
包圍網：Circumscribing Contour（11.7）
這份紅利是平面特供（p = 2）。解析函數理論裡，「沿著迴路積分」是招牌手法——要積分，手上先得有圈住目標、又完全躲開危險區的封閉曲線可走。這個定理保證包圍網永遠找得到：只要 F 是 closed 且 bounded、G 是包住它的 open set，F 與 G 的邊緣之間就塞得進由「有限」多段圓弧拼成的包圍網。「被封閉曲線包圍」按平面直觀理解——嚴格化需要 Jordan 曲線理論，超出本讀本的射程；除此之外，本篇的構造每一步都是完整論證。
11.7 CIRCUMSCRIBING CONTOUR THEOREM
Take a closed, bounded set F in ℝ², contained in an open set G. Then there is a finite family of closed curves — each pieced together from arcs of finitely many circles and lying wholly inside G — which together surround F. When G is connected, a single such curve suffices.
F 為 ℝ² 中 closed 且 bounded 的集合，G 為包含 F 的 open set，則存在有限多條完全落在 G 內、各由有限多段圓弧拼成的封閉曲線，合力把 F 包圍起來；G 連通（connected——「一整塊、拆不成兩片」，正式定義在下一節 12.1，此處先按直觀理解）時可併成單獨一條。
這張圖在證定理的承諾：迴路 C（藍色實線，一段接一段的圓弧）走在 F 與 G 邊界之間的縫隙裡——對外不越界（整條在 G 內），對內不漏人（F 全在圈內）。圖中 G 連通，一條就夠。F 是 compact，這條縫隙才有保證的寬度可走。
PROOF（構造骨架）
設 F ⊆ ℝ² 為 closed 且 bounded，G 為包含 F 的 open set，以下構造包圍 F 的有限圓弧迴路家族。
證明計畫 · 由所求想起
要證：F 與 G 的邊緣之間塞得進有限段圓弧拼成的包圍網。
⇢ Heine-Borel：closed + bounded 換成 compact。
⇢ 每點在 G 裡有自己的餘裕——取餘裕減半的圓盤組成 covering。
⇢ 因為 F 是 compact，covering 裁得成有限顆圓盤；有限顆圓盤聯集的外緣，就是有限段圓弧拼成的迴路家族。
Proof. The Heine-Borel Theorem converts closed + bounded into compact. For each x ∈ F, because G is open, there is a δ(x) > 0 with the whole disk of radius δ(x) about x inside G.
第一動引用 Heine-Borel（11.3）（closed + bounded ⟺ compact）：定理敘述裡只見 closed 與 bounded，證明先把它們換成 compact 備用。接著替 F 的每一點量餘裕：因為 G 是 open 且包住 F，每個 x ∈ F 周圍都有一顆整顆留在 G 內的圓盤，半徑記 δ(x)。逐點看：住在 G 深處的 x 餘裕大，貼近 G 邊緣的 x 餘裕小——但「每一點」的餘裕都是正數。
Cover F by the half-radius disks G(x) = { y : |y − x| < ½δ(x) }. Because F is compact, finitely many of them suffice: some G(x₁), …, G(x_k) have a union that still holds F.
半徑減半的手法與 §11-3 的 11.5（Lebesgue 安全距離——同樣拿半徑減半的球組 covering）同款：圓盤先以半徑 ½δ(x) 上場，全尺寸的餘裕留給稍後的圓弧當緩衝。縮半圓盤合起來蓋住 F（每點至少住在自己那顆裡）；因為 F 已升級成 compact，這個 covering 裁得成 k 顆——定理裡「有限段圓弧」的「有限」，就在這一步誕生。
Now draw the circles centered at the xⱼ with radii ¾δ(xⱼ): each lies inside G, and the union of the corresponding disks contains the covering disks with room to spare. The outer boundary of this finite union is traced entirely by arcs of these k circles. In general the boundary splits into finitely many closed curves — one around each cluster of overlapping disks — and together they surround F; when G is connected, one can string extra disks along paths inside G, so the clusters merge into one. The finer bookkeeping (which arc joins which, in what order) we leave aside.
這一步畫出迴路本體：以留下的 k 個圓心各畫半徑 ¾δ(xⱼ) 的圓，取圓盤聯集的外緣。外緣為什麼合格，三筆帳分開結：因為每顆 ¾ 圓的半徑仍小於第一步量出的全尺寸餘裕 δ(xⱼ)，弧段全落在 G 內；因為 F 住在 ½-圓盤聯集裡、被更大的 ¾-圓盤聯集含在內部，邊界碰不到 F；又因為互相裁切的圓只有有限顆，邊界只能由有限段圓弧組成。圓盤若散成幾個群落，每個群落的外緣各成一條封閉曲線；G 連通時沿 G 內的路徑補圓盤，群落併成一條。細部拼接（哪段弧接哪段、順序如何）是平面幾何的簿記，本讀本略去、當作幾何事實接受——這是全篇唯一按下不表的環節。
結案清單——本篇完整證明了三件事：蓋住 F 的圓盤有限顆（compact 的貢獻）、外緣弧段有限段且全程留在 G 內、F 整個被圍在內側；唯一當作幾何事實接受的是弧段的銜接次序。有限段圓弧拼成的包圍網就位。∎
為什麼是「有限多條」：單獨「一條」封閉曲線在 G 不連通時不能保證——若 F 分居 G 的不同連通塊，連通的曲線出不了單一連通塊，圈不齊全部（例：F 是相距很遠的兩點，G 是兩顆互不相連的小圓盤，任何落在 G 內的封閉曲線只能圈住其中一點）。F 全落在 G 的同一個連通塊裡時，單條就夠——沿 G 內的路徑補圓盤，就能把群落串成一條。定理因此敘述為「有限多條合力包圍、G 連通時可併成單獨一條」。
壓軸：Baire 與「不夠肥」
先把「不夠肥」三個字說清楚。一個集合夠「肥」，意思是它裝得下一顆完整的小球——也就是包含某個非空 open set。open set 是肥的模範生：每一點周圍都有一顆球。closed set 卻可以薄得徹底：平面上的一條直線是 closed，但連最小的一顆圓盤都塞不進去。
日常版本：想用鉛筆把一塊色塊塗滿。鉛筆線再長、再密，一條線終究沒有寬度——你就算畫上可數無限多條，也塗不出哪怕一小塊實心的顏色；要塗滿，得用有寬度的筆刷。Baire 定理把這個直覺升格成定理：可數多個不夠肥的 closed sets，聯集裝不下任何一塊非空 open set。反過來說——聯集若真的裝下了一塊 open set，隊伍裡至少有一個 closed set 自己就是肥的。
BAIRE'S THEOREM
Let the closed sets H₁, H₂, ⋯ in ℝᵖ be countably many, and suppose their union contains some non-empty open set. Then at least one Hₖ by itself already contains some non-empty open set.
{Hₖ} 為可數多個 closed sets，若它們的聯集包含一個非空 open set，則至少有一個 Hₖ 自己就包含一個非空 open set。白話：可數多個不夠肥的 closed sets，湊不出任何一塊 open set。
正例：ℝ² 裡每條直線都是 closed 卻不肥（塞不進任何圓盤）——所以可數多條直線的聯集蓋不出任何 open set，更蓋不住整個平面。反例一：closed 少不得——ℝ = ℚ ∪ (ℝ∖ℚ)，兩塊都不肥（塞不進任何 open interval），聯集卻是整條實線；破綻在 ℝ∖ℚ 不是 closed。反例二：「可數」也少不得——平面確實是「不可數」多條水平線的聯集，每個點各躺在自己那條上。
Proof. Since H₁ is not fat, it cannot contain G₀; pick x₁ ∈ G₀ ∖ H₁. This difference is open (H₁ being closed), so a radius r₁ > 0 exists with the closed ball F₁ = { x : |x − x₁| ≤ r₁ } inside G₀ and disjoint from H₁. Write G₁ for the open ball of radius r₁ about x₁.
Repeat inside G₁: as H₂ is not fat, some x₂ ∈ G₁ ∖ H₂ exists, and around it a closed ball F₂ ⊆ G₁ with F₂ ∩ H₂ = ∅. Continuing, step k picks xₖ ∈ Gₖ₋₁ ∖ Hₖ and a closed ball Fₖ ⊆ Gₖ₋₁ avoiding Hₖ.
Now the contradiction: each Fₖ avoids Hₖ, so w belongs to no Hₖ — yet w ∈ F₁ ⊆ G₀, and G₀ was assumed to lie inside the union of the Hₖ. A point of G₀ belonging to no Hₖ is the contradiction we wanted: some Hₖ must be fat after all.
矛盾的畫面：因為第 k 顆閉球按構造躲開 Hₖ，而 w 住在每一顆閉球裡，所以 w 不屬於任何 Hₖ；可是 w ∈ F₁ ⊆ G₀，而反證假設 G₀ 整個躺在 ⋃ Hₖ 裡——G₀ 的每一點都該被某個 Hₖ 蓋住。一個誰也沒蓋住的點，宣告反證閉合：隊伍裡至少有一個 Hₖ 是肥的。
反證閉合：可數多個不夠肥的 closed sets 湊不出任何 open set——隊伍若真蓋出了 G₀，至少一個成員是肥的。∎