§25-1 兩種極限

如果那一點根本不在定義域裡，「走向」還說得通嗎？而如果那一點的值存在卻放錯了位置，要不要把它算進來——算與不算，答案會差多少？

看不看那一點，答案可能不同

路標寫著「前方五百公尺有休息站」。你真正想知道的是接近那個位置時會看到什麼——而不是站在那一個點上看到什麼，因為那一點可能正在施工，圍起來什麼都沒有。

本章談連續時用的一直是「x 走向 c 時 f(x) 走向 f(c)」這種說法。可是這裡藏著一個更基本的問題：如果 c 根本不在定義域裡，或者 f(c) 的值不是我們關心的那一個，「走向」還說得通嗎？說得通，而且它比連續更基本——連續不過是它的一個特款。

下面立的定義有兩種版本，差別只在要不要把 c 這一點自己算進來。兩種在文獻上都通用，而它們的分別恰好就是「路標」與「站在那一點上」的分別。全篇固定假設 f 的定義域 D ⊆ ℝᵖ、值在 ℝ^q，而 c 是 D 的一個 cluster point（§10-2 的 10.3），所以 c 的每個 neighborhood 都含有 D 的無限多個點——不然「接近 c」就無從談起。

25.1 DEFINITION

(i) An element b ∈ ℝ^q is the deleted limit of f at c in case for every neighborhood V of b there is a neighborhood U of c such that f(x) ∈ V whenever x ∈ U ∩ D and x ≠ c. We then write b = lim_c f.
(ii) It is the non-deleted limit in case the same holds with the restriction x ≠ c removed. We then write b = Lim_c f.

兩個版本只差一句「x ≠ c」。deleted limit 刻意不看 f(c)——即使那個值存在也不參考；non-deleted limit 則把 c 一併算進來。多數文獻只立前者，並直接稱它為「極限」，記號也就是 lim；本讀本兩個都用，並用大小寫的 L 區別。

正例：f(x) = x² 在 c = 2 處兩種極限都存在而且都等於 4——這是常態，因為這個函數在該點連續。反例：取 f(x) = 0（x ≠ 0）、f(0) = 1，在 c = 0 處 deleted limit 是 0，而 non-deleted limit 不存在——任何含 0 的 U 都同時撈到值 0 與值 1，沒有一個 V 裝得下兩者又能任意小。

這張圖在說兩種極限的分別：兩側的值都貼著同一條水平線，而 c 這一點的值被單獨拉高。deleted 版把 c 這一點整個略過，所以那條窄帶裝得下所有它要看的值，極限存在；non-deleted 版必須把上方那個孤立的點也裝進同一個 V 裡，而 V 又要能任意小，於是無解。空心圈提醒那一點不參與 deleted 版的計算。

25.2 LEMMA

(a) Each of lim_c f and Lim_c f, when it exists, is uniquely determined.
(b) If the non-deleted limit exists, then so does the deleted limit, and lim_c f = Lim_c f.
(c) If c ∉ D, then one of the two limits exists exactly when the other does.

(b) 說 non-deleted 是比較嚴格的那一個：它存在時 deleted 一定跟著存在，反過來不然。(c) 說兩者只可能在 c ∈ D 時分家——c 不在定義域裡時，那句「x ≠ c」本來就不排除任何東西，兩個定義逐字相同。

正例：f(x) = (x² − 1)/(x − 1)、D = {x : x ≠ 1}、c = 1。c ∉ D，所以由 (c) 兩種極限同進同出，而它們都等於 2。反例：(b) 的反向不成立——上面那個在原點單獨拉高的函數，deleted limit 存在而 non-deleted limit 不存在。

PROOF

三條都只需把定義攤開比對。唯一用到外部條件的是 (a)：那裡需要「c 附近真的有定義域的點」，而 c 是 cluster point 正好保證這件事。

證明計畫 · 由所求想起
(a) 所求是排除第二個極限值。兩個相異的點可以用互不相交的 neighborhood 隔開，各自交出一個 U，取交集之後在裡面找一個不等於 c 的定義域點——它的像必須同時落在兩個不相交的集合裡，不可能。
(b) 與 (c) 所求是條件之間的蘊涵，直接比對「x ≠ c」這一句在兩種情形下各排除了什麼。

Proof. (a) Suppose b ≠ b' were both deleted limits. Choose disjoint neighborhoods V of b and V' of b', and let U, U' be corresponding neighborhoods of c. Since c is a cluster point of D, the set U ∩ U' ∩ D contains a point x ≠ c, and then f(x) ∈ V ∩ V' = ∅ — impossible. The argument for Lim_c f is the same.

這一步的所求：讓兩個候選值互相排斥。能隔開兩個相異點的不相交 neighborhood 一定存在——取半徑小於兩點距離一半的兩顆球即可。真正需要 cluster point 這個前提的是「找得到那個 x」：U ∩ U' 仍是 c 的 neighborhood，而 cluster point 保證它含有 D 的無限多個點，扣掉 c 自己還剩無限多個。若 c 是孤立點，deleted 版的條件就會空洞成立，任何 b 都符合，唯一性立刻破產。（non-deleted 版沒有這個毛病：c ∈ D 時 f(c) 仍被檢查，極限被迫等於它。）

(b) The condition defining Lim_c f is the condition defining lim_c f together with one extra requirement, namely that f(c) ∈ V as well. Hence the same b and the same U serve for the deleted limit.
(c) If c ∉ D, then no x ∈ U ∩ D equals c, so the clause x ≠ c excludes nothing and the two conditions read the same.

這兩格是邊界簿記。(b) 的方向要留意：多一個要求的是 non-deleted，所以它比較難成立，成立時自動蓋過 deleted——常見的口誤是把「多一個條件」讀成「比較弱」。(c) 則說明兩個定義的差異完全來自 f(c) 這一個值；c 不在定義域裡時根本沒有這個值，也就沒有分歧的餘地。

兩種極限各自唯一，而 non-deleted 是比較嚴格的那一個。∎

例 1三個算例：兩種極限如何分家

兩個定義只差一句話。什麼樣的函數會讓這句話造成差別，什麼樣的不會？

不分家（c 不在定義域裡）：f(x) = (x² − 1)/(x − 1) 於 D = {x : x ≠ 1}。在 D 上這個式子等於 x + 1，所以 x 靠近 1 時值靠近 2。c = 1 ∉ D，由 25.2(c) 兩種極限同時存在且都是 2。要留意 f(1) 沒有定義，這完全不妨礙極限存在。
分家：g(x) = 0（x ≠ 0）、g(0) = 1，c = 0。deleted limit 是 0（略過原點之後值恆為 0）；non-deleted limit 不存在——取 V 為半徑 0.4 的球，任何含 0 的 U 都同時撈到 0 與 1，而它們相距 1，塞不進直徑 0.8 的球。
都不存在：h(x) = 1（x > 0）、h(x) = −1（x < 0），c = 0，定義域是 {x : x ≠ 0}。任何含 0 的 U 兩側都撈得到點，值差恆為 2。這裡不是「c 那一點礙事」，是兩側各自走向不同的地方。
把第 2 步的 g 改一個值就全好了：令 g(0) = 0，兩種極限都存在且等於 0，而且函數在原點連續。第 3 步的 h 則怎麼補都救不了——不論把 h(0) 定成什麼，deleted limit 都不存在，而它與 h(0) 無關。

第 4 步的對照點出兩種失敗的層級不同：第 2 步壞在「那一點的值放錯位置」，改一個值就好；第 3 步壞在「趨近的過程本身沒有共識」，那是函數在 c 附近的行為問題，補值救不了。deleted limit 只診斷後面那一種，這正是它比較常用的原因——它把「那一點的值」這個可以事後調整的因素排除在外。

這張圖在說例 1 的三種情形。左圖與中圖的 deleted limit 都存在——兩側接得上同一個高度，中間那一點在不在、被放到哪裡都不影響；右圖的 deleted limit 不存在，因為兩側停在不同的高度，這與中間那一點無關。中圖的 non-deleted limit 不存在（紅點跳出了帶）；左圖因為 c 不在定義域裡，兩種極限同進同出。

—— 第一階段到此結束 ——

本篇把「函數在一點的極限」單獨立起來，而且立了兩個版本：deleted 版刻意略過 c 這一點，non-deleted 版把它一併算進來。25.2 說兩者各自唯一、non-deleted 比較嚴格，而它們只可能在 c 屬於定義域時分家。例 1 的三個算例分出兩種失敗的層級——值放錯位置（補得回來）與趨近沒有共識（補不回來）。起來走走，下一篇把這個定義換成三種可以動筆的說法，並看它與連續是什麼關係。