A function f on D to ℝ is upper semi-continuous at a point c ∈ D in case f(c) = Limsup_c f. It is upper semi-continuous on D if this holds at every point of D.
因為 c 自己在計算範圍內，Limsup_c f 永遠不小於 f(c)，所以這個等號等價於一個不等號：f(c) ≥ limsup_c f——那一點的值不低於周圍衝高的程度。要讀對這句話：被限制的是周圍值的最高水位（limsup），不是個別的值。個別的值高過 f(c) 完全沒問題——f(x) = |x| 在 c = 0 連續因而上半連續，可是它周圍每一個值都嚴格高於 f(0) = 0；要緊的是那個超出的幅度隨半徑縮小而消失。反過來，在 c 單獨把值拉高一定合格，單獨壓低則不合格。
Let f be upper semi-continuous on D ⊆ ℝᵖ and let k ∈ ℝ. Then there are an open set G and a closed set F in ℝᵖ with G ∩ D = {x ∈ D : f(x) < k}, F ∩ D = {x ∈ D : f(x) ≥ k}.
把這一條與 §22-1 的全域連續定理並排看，形狀一模一樣，只是連續給的是「兩側的區間都算數」，上半連續只給得起「往下的那一側」。所以上半連續函數對「小於 k」這種集合仍有 open 的結構，對「大於 k」則沒有保證。
正例：取上面那個在原點取值 1 的函數與 k = 0.5，則 {x : f(x) < 0.5} = {x : x ≠ 0}，確實是一個 open set。反例：另一側不成立——同一個函數與同一個 k，{x : f(x) > 0.5} = {0}，這不是 open set。單側的條件只換得到單側的結論。
PROOF
要造的是一個 open set。手上唯一能生產 open set 的機制是「每個合格的點各發一顆球，再全部聯集起來」——與 22.1 的證明同一招。
證明計畫 · 由所求想起 所求是 G，使得它與 D 的交集恰是「值小於 k」的那些點。對每個合格的點 c，25.9(b) 直接交出一顆球，球內的值全部小於 k——這正是上半連續在此處的全部用途。把這些球聯集成 G：合格的點都在裡面（各自住在自己的球裡），而 G 裡的定義域點也都合格（它落在某顆球裡，那顆球保證值小於 k）。F 取補集。
Proof. Let c ∈ D with f(c) < k. By 25.11 we have Limsup_c f = f(c) < k, so 25.9(b) provides an open neighborhood U(c) of c with f(x) < k for every x ∈ D ∩ U(c). Put G = ⋃ {U(c) : c ∈ D, f(c) < k}, an open set by 9.3(c).
這一步的所求：把逐點的資訊變成一個集合。25.9(b) 要求 k 嚴格大於 Limsup_c f，而上半連續正好讓 Limsup_c f = f(c)，於是「f(c) < k」這個看起來只關乎一個點的條件，立刻升級成「一整顆球內都小於 k」——這一步就是整條引理的全部內容。要留意這裡只用得到 non-deleted 的版本，因為結論要涵蓋 c 自己。
If x ∈ G ∩ D then x ∈ U(c) for some such c, whence f(x) < k; conversely each such point lies in its own U(c) ⊆ G. Thus G ∩ D = {x ∈ D : f(x) < k}. Taking F = ℝᵖ ∖ G, which is closed, gives F ∩ D = {x ∈ D : f(x) ≥ k}.
這一格是邊界簿記，兩個包含各驗一次，與 22.1 的第一段逐句同構。最後那個補集之所以恰好切出「值不小於 k」的那一堆，靠的是 D 的每個點必落在兩堆之一而且只落一堆——與 22.1 的第二段用的是同一筆集合帳。
上半連續換得到單側的 open 結構。∎
這張圖在說 25.12 切出來的是什麼：虛線是門檻 k，函數在中央那一點衝到門檻上方，其餘各處都在下方。下方那些點合起來是一個 open set 與定義域的交集（粗線那兩段），因為上半連續保證每個低於門檻的點附近整片都低於門檻。反過來的那一側沒有這個保證——中央那個孤立的點自己就是「值不低於 k」的全部，而單點集不是 open。
THEOREM · compact 上取得到最大值
Let K ⊆ D be compact and let f be upper semi-continuous on D with values in ℝ. Then f is bounded above on K and there is a point of K at which f attains sup f(K).
25.12 把「值小於某個門檻」的那些點包裝成 open set 與 K 的交集，而 compact 專門處理一族 open set。兩者接得起來。
證明計畫 · 由所求想起 兩件事都走同一條路，只是門檻取法不同。有上界：門檻取 1, 2, 3, ⋯，這族集合蓋住 K（每個點的值都是實數，遲早被某個整數蓋過），而它們逐層變大，所以 compact 挑出的有限個之中最大的那一個自己就蓋住 K。 取得到：反面假設沒有一點取到 M = sup f(K)，門檻改取 M − 1/n，同一套論證交出一個 N 使全體的值都低於 M − 1/N，與 M 是 sup 衝突。
Proof. For n ∈ ℕ let G_n be the open set given by 25.12 for the threshold k = n, so G_n ∩ K = {x ∈ K : f(x) < n}. These sets cover K, since each value f(x) is a real number. Because the sets G_n ∩ K increase with n, a finite subcover reduces to a single G_N, so f < N on K.
Now put M = sup f(K) and suppose f(x) < M for every x ∈ K. Applying 25.12 with thresholds M − 1/n gives open sets whose intersections with K again increase and cover K. As before some single one covers K, so f(x) < M − 1/N for all x ∈ K — contradicting that M is the least upper bound. Hence f attains M.
這一步與 22.6 的第二條路線逐句同構。「蓋住 K」用的是反面假設：每個點的值嚴格小於 M，所以它與 M 之間留了一段空隙，而 1/N 遲早比那段空隙小（6.7(b)）。矛盾發生在 M − 1/N 成了一個比 M 更小的上界，而 M 是最小上界。