合成則不然，而出問題的位置恰好就是上面那個翻譯的比方：內層函數可能把 c 附近的點正好送到b 這一點上，而外層的 deleted limit 依定義偏偏不看 b 那一點。這一篇是 non-deleted 版比 deleted 版乾淨的少數場合之一。
LEMMA · 四則
Let c be a cluster point of D(f) ∩ D(g) and suppose lim_c f = b and lim_c g = b' exist. Then lim_c (f + g) = b + b', lim_c (f − g) = b − b', lim_c (f · g) = b · b', lim_c (αf) = αb for α ∈ ℝ. If in addition φ is real valued with lim_c φ = β ≠ 0 and c is a cluster point of D(f) ∩ D(φ), then lim_c (f/φ) = b/β. The same statements hold for non-deleted limits.
四則與極限可以交換，與 20.6 對連續說的是同一件事——事實上有了 25.5，20.6 可以看成這條引理的特款。商的條件是「極限不為零」而不是「函數不取零值」：極限不為零時，c 附近自然就沒有零值。可是「兩個定義域的交集在 c 附近有東西」得另外要求——兩個函數各自有極限，推不出它們的定義域交得起來（取 f 只定義在有理點、φ 只定義在無理點就是現成的反例，商的定義域是空的）。
正例：lim_{x→2} (x² + 3x) = 4 + 6 = 10——兩個極限各自算完再相加。反例：條件要求兩個極限都存在——取 f(x) = 1/x、g(x) = −1/x 於 x ≠ 0，兩者在 c = 0 的極限都不存在，可是 f + g 恆為 0、極限存在。和的極限存在推不回各項。
Proof. Let (xₙ) be any sequence in D(f) ∩ D(g) with xₙ ≠ c and xₙ → c. By 25.3(c) we have f(xₙ) → b and g(xₙ) → b', so 15.6 gives f(xₙ) + g(xₙ) → b + b'. Since the sequence was arbitrary, 25.3(c) applied in the other direction yields lim_c (f + g) = b + b'. The remaining combinations are identical, the quotient using that β ≠ 0.
Let f have domain in ℝᵖ and values in ℝ^q, let g have domain in ℝ^q and values in ℝʳ, and let c be a cluster point of D(g ∘ f). (a) Suppose b = lim_c f and a = lim_b g both exist. If eitherg is continuous at b, orf(x) ≠ b for every x ≠ c in some neighborhood of c, then lim_c (g ∘ f) = a. (b) If b = Lim_c f and a = Lim_b g both exist, then Lim_c (g ∘ f) = a, with no further condition.
(b) 乾淨俐落，(a) 卻附了一個二擇一的但書。但書要擋的正是「內層把點正好送到 b 上」這件事——那時外層的 deleted limit 拒絕表態，而 g(b) 這個值可能與 a 差得很遠。兩個備選條件各自從一邊堵住這個漏洞：一邊要求 g 在 b 表現正常，另一邊要求內層在 c 附近（c 自己除外）根本不去踩 b。
正例：f(x) = x²、g(y) = √y、c = 2。b = 4、a = 2，而 g 在 4 連續，第一個備選條件成立，於是 lim_{x→2} √(x²) = 2。反例：兩個備選條件都不成立時結論真的會壞——例 3 的 f 與 g 各自的極限都是 0，合成的極限卻是 1。
PROOF
兩層各交出一個 neighborhood，串起來就是所求。困難只在串接處：外層的條件對 y = b 這一格不表態，而內層送過來的值有可能正好是 b。
證明計畫 · 由所求想起 所求是 c 的一個 neighborhood，使得裡面（除 c 外）的定義域點經過兩層之後都落進 W。從最外層倒著回推：先由 a = lim_b g 拿到 b 的 neighborhood V，再由 b = lim_c f 拿到 c 的 neighborhood U，於是 U 裡的點被送進 V。 剩下的缺口是「送進 V 之後還得不等於 b」。兩個備選條件各補一次：第二個直接保證不等於 b；第一個則讓 g 在 b 這一格也守規矩，缺口自動消失。
Proof. (a) Let W be a neighborhood of a. Since a = lim_b g, there is a neighborhood V of b such that g(y) ∈ W whenever y ∈ V ∩ D(g) and y ≠ b. Since b = lim_c f, there is a neighborhood U of c such that f(x) ∈ V whenever x ∈ U ∩ D(f) and x ≠ c.
這一步的所求：把兩層的保證各領一份。次序必須由外往內——先固定 W 才問得出 V，先固定 V 才問得出 U，因為每一層交出的 neighborhood 都是回應上一層的要求。要留意第一句尾巴那個 y ≠ b：它是 deleted limit 的定義自帶的，也是接下來所有麻煩的來源。
If f(x) ≠ b for every x ≠ c in some neighborhood U₁ of c, then for x ∈ (U ∩ U₁) ∩ D(g ∘ f) with x ≠ c we have f(x) ∈ V ∩ D(g) and f(x) ≠ b, hence g(f(x)) ∈ W.
這是第二個備選條件的路線。它做的事只有一件：把 y ≠ b 這個要求轉嫁到內層身上——內層既然保證不去踩 b，外層那句但書就永遠不會被觸發。兩個 neighborhood 取交集之後仍是 c 的 neighborhood，這一格是例行核對。
If instead g is continuous at b, then by 25.5 we may choose V so that g(y) ∈ W for all y ∈ V ∩ D(g), with no exception at y = b. Then x ∈ U ∩ D(g ∘ f) with x ≠ c already gives g(f(x)) ∈ W. In either case a = lim_c (g ∘ f). (b) In the non-deleted setting neither exception arises, so the two neighborhoods link up with no extra hypothesis.
這是第一個備選條件的路線，也是 (b) 為什麼乾淨的理由。25.5 說 g 在 b 連續等價於 non-deleted 極限存在，而 non-deleted 版的敘述本來就不排除 y = b——缺口不是被補起來，是根本不存在。(b) 的兩層都是 non-deleted 版，所以兩處缺口同時消失，串接一步到位。
合成的極限需要一個但書，而 non-deleted 版天生免疫。∎
這張圖在說 25.6(a) 的但書在防什麼：兩層的保證分別是「c 附近（除 c 外）被送到 b 附近」與「b 附近（除 b 外）被送到 a 附近」。虛線那條路徑正好落在被挖空的 b 上，第二層對它一句話都沒說。兩個備選條件各堵一邊：要嘛內層不去踩那一點，要嘛外層在那一點也守規矩（也就是 g 在 b 連續）。
例 3兩個極限都是零，合成的極限是一
但書聽起來像是技術性的細節。真的會出事嗎——出事的話，差距有多大？
取同一個函數當兩層：f(x) = g(x) = 0（x ≠ 0）、f(0) = g(0) = 1，並取 c = 0。§25-1 例 1 已經算過：lim_0 f = 0，同理 lim_0 g = 0。所以 b = 0、a = 0。