§20-1  連續的定義

「輸入變一點點、輸出也只變一點點」這句話要怎麼寫成定義？如果把它讀成「把鄰近的點送到鄰近的點」，哪裡會出錯？而定義域本身的形狀，會不會改變一個點連不連續？

在一個點上連續

洗澡的時候把水龍頭往回轉一格，水溫跟著降一點；再轉一格，再降一點。可是牆上的電燈開關不是這樣——手指推過某個位置的前後，房間從全暗變成全亮，中間沒有任何過渡。

兩種裝置的差別聽起來很清楚，可是「跟著變一點」這句話還不能拿來驗算：多少算一點？誰先決定？如果由我們自己說了算，那把標準放寬到房間亮不亮都算「差一點」，電燈開關也能矇混過關。

可行的辦法是把主導權讓給提出要求的那一方：先讓對方指定輸出可以容忍的範圍，我們再回頭指定輸入要限制在多小的範圍內。每一次都答得出來，才算數。水龍頭答得出來——對方要求水溫誤差不超過半度，我們就說旋鈕轉動不超過某個角度；電燈開關答不出來——只要對方要求亮度誤差小於半個房間，無論把手指的活動範圍縮得多小，只要跨過那個位置就整個垮掉。

U V a f(a) f 後找 先給

這張圖在說定義的次序：紅色那一圈是對方開出的要求，藍色那一圈是我們的回應。回應必須讓 U 裡（且在定義域內）的每一個點都被送進 V。次序不能顛倒——先挑好 U 再看 V 夠不夠大，等於自己出題自己答。

20.1  DEFINITION
Let f have domain D(f) ⊆ ℝᵖ and values in ℝ^q, and let a ∈ D(f).
f is continuous at a in case for every neighborhood V of f(a) there is a neighborhood U of a, depending on V, such that f(x) ∈ V whenever x ∈ U ∩ D(f).
If A ⊆ D(f) and f is continuous at every point of A, then f is continuous on A.
對方交出 f(a) 的一個 neighborhood V，我們得交出 a 的一個 neighborhood U，使得 U 裡凡是屬於定義域的點，函數值都落在 V 內。U 可以（也通常必須）跟著 V 換。連續是一個點上的性質；說「在 A 上連續」只是把這件事在 A 的每一點各驗一次。
正例：f(x) = x 在 a = 2 連續——對方給 V = (1.9, 2.1)，我們就交出同一個區間當 U，裡面每個點的值就是自己，當然落在 V 內。反例：f(x) = 0（x ≤ 0）、f(x) = 1（x > 0）在 a = 0 不連續——對方給 V = (−0.5, 0.5)，而任何含 0 的 U 都撈得到正數，那裡的值是 1，跳出 V 外。

定義裡有兩處容易讀漏，先各講一句。第一，U 寫成「跟著 V 走」，意思是每換一個 V 就重新找一次 U；能不能找到才是重點，找到的是哪一個並不重要。第二，條件只檢查 U ∩ D(f)——定義域以外的點一概不看。這一條在定義域有缺口時會直接改變答案，例 2 就是現場。

「把鄰近的點送到鄰近的點」這個說法要小心：它容易被讀成「U 的像也是 f(a) 的一個 neighborhood」，而這是錯的。看 f(x) = |x| 在 a = 0：它在這一點確實連續（對方要求誤差小於 ε，我們回答 U = (−ε, ε) 即可），可是 U 的像是 [0, ε)，缺了負的那一半，§9-3 的 9.7 說 neighborhood 得藏著一個含該點的 open set，而 [0, ε) 裡任何含 0 的 open set 都會探到負數去。定義管的是像被 V 裝得下，不是像撐得滿 V。
例 1常數函數
有沒有哪個函數，一個 U 就可以應付所有的 V？
  1. 令 D(f) = ℝ，並且對每個 x 都定義 f(x) = c。取任意一點 a，則 f(a) = c。
  2. 對方交出 f(a) = c 的任意一個 neighborhood V。依定義 V 已經含著 c。
  3. 我們回答 U = ℝ。這時 U ∩ D(f) = ℝ，而其中每一點的函數值都是 c ∈ V。驗證通過，而且完全沒有用到 V 長什麼樣。
常數函數在每一點連續，而且 U 完全不必跟著 V 調整——因為輸出根本不動，誤差恆為零。這個省力並不是常數函數的專利：只要函數在 a 附近的定義域上取值都相同，同一招就管用，接下來的例 2 正是這種情形。
f(x) = c V 整條線都在紅色帶內

這張圖在說例 1 為什麼一步就過關：紅色虛線之間是對方要求的範圍 V，而藍線整條都躺在裡面。水平方向要取多寬都行，這正是「U 可以取整個空間」的畫面。

例 2定義域說了算
函數在某點附近「跳一階」，一定就不連續嗎？
  1. 令 g 的定義域是 (0, 1] ∪ (2, 3]，並定義
    g(x) = 1（0 < x ≤ 1）、g(x) = 2（2 < x ≤ 3）。
  2. 取 a = 1。這一點的兩側看起來一邊是 1、一邊是 2，像是要跳。可是把 U = (0.5, 1.5) 交出去之後，U ∩ D(g) = (0.5, 1]——區間 (1, 1.5) 整段不在定義域裡，一個點都撈不到。
  3. 於是 U ∩ D(g) 上的值全是 1 = g(1)，不管對方的 V 多小都落在裡面。g 在 1 連續。同樣地取 a = 3、U = (2.5, 3.5)，交集是 (2.5, 3]，值全是 2。
  4. 那個「跳」發生在 x = 2 附近——可是 2 ∉ D(g)，而連續是某一點上的性質，沒有這個點就沒有這個問題。g 在它定義域的每一點都連續。
同一張圖，換一個定義域，答案就換。判斷連續之前先問「這個點屬於定義域嗎」「它附近的定義域長什麼樣」——定義裡的 U ∩ D(f) 三個字元，管的就是這件事。
01 23 g = 1 g = 2 這段不在定義域裡

這張圖在說例 2 為什麼沒有跳躍可言：兩段之間隔著一整段紅色的空白，那裡沒有任何定義域的點。站在 x = 1 往右看，看得到的下一個定義域的點在 2 之後——距離至少 1，把 U 的半徑取得比它小就完全碰不到。

同一句話，用反像講一次

20.1 說的是「U 裡屬於定義域的點都被送進 V」。這句話還可以換一種講法：把送進 V 的點全部收集起來，看看這個集合的形狀。§2-3 的 2.12 早就給了這個集合一個名字：反像

f⁻¹(V) = {x ∈ D(f) : f(x) ∈ V}。

注意反像天生就住在定義域裡。20.1 的條件正是 U ∩ D(f) ⊆ f⁻¹(V)——一個包含關係。下面這條定理說，只要肯把 U 換一個，包含關係可以升級成等號。

20.4  THEOREM
Continuity of f at a point a ∈ D(f) amounts to this: to each neighborhood V of f(a) there corresponds a neighborhood V₁ of a for which
  V₁ ∩ D(f) = f⁻¹(V).
連續等於說：每一個對輸出的要求 V，都可以被 a 附近的一個 neighborhood 恰好切出來。與 20.1 的差別只在把包含改成等號，而這一步不必付任何代價。
正例：f(x) = x 在 a = 2、V = (1.9, 2.1) 時，f⁻¹(V) = (1.9, 2.1)，取 V₁ = (1.9, 2.1) 就得到等號。反例：把等號換成「V₁ ∩ D(f) ⊇ f⁻¹(V)」條件會失效——取 V₁ = ℝ 對任何函數都成立，包括在該點不連續的那些。等號裡真正有內容的是 ⊆ 那一半。
PROOF

兩個方向分開走。逆向（有這樣的 V₁ 就連續）幾乎是照抄定義；正向（連續就找得到 V₁）要動一點手腳，因為 20.1 交出的 U 一般切不出等號。

證明計畫 · 由所求想起
逆向：所求是 20.1 要的那個 neighborhood，而 V₁ 本身就合格，直接取它。
正向：所求是把 20.1 給的包含關係補成等號。缺的那一半是「反像裡有些點可能落在 U 外面」，那就把反像整個併進來——聯集只會讓集合變大，而變大不會弄丟 neighborhood 的資格。

Proof.  Suppose first that such a V₁ exists for the given V. Take U = V₁. If x ∈ U ∩ D(f), then x ∈ f⁻¹(V) by the stated equation, so f(x) ∈ V. Since V was arbitrary, f is continuous at a.
這一步的所求：從等式讀出 20.1 要的那句話。等式的左邊恰好就是 20.1 要檢查的那個集合 U ∩ D(f)，右邊 f⁻¹(V) 依 2.12 的定義就是「函數值落在 V 裡的那些點」。所以等號一旦成立，「U 裡屬於定義域的點都被送進 V」是自動的——這個方向不需要任何構造。
Conversely, suppose f is continuous at a and let V be a neighborhood of f(a). By 20.1 there is a neighborhood U of a with f(x) ∈ V for all x ∈ U ∩ D(f); that is, U ∩ D(f) ⊆ f⁻¹(V). Put V₁ = U ∪ f⁻¹(V).
這一步的所求：一個切得出等號的 neighborhood。先看 20.1 給的 U 差在哪：它保證 U ∩ D(f) 全落在反像裡，但反像可能還有別的點，那些點離 a 也許很遠。既然缺的就是它們，把 f⁻¹(V) 整個併上去即可。拿例 1 的常數函數對照：那裡 f⁻¹(V) = ℝ，而 U = ℝ，聯集還是 ℝ，等式兩邊都是 ℝ。
Then V₁ contains U, hence is a neighborhood of a. Moreover
  V₁ ∩ D(f) = (U ∩ D(f)) ∪ f⁻¹(V) = f⁻¹(V),
because f⁻¹(V) ⊆ D(f) and U ∩ D(f) ⊆ f⁻¹(V).
這一步的所求：驗收剛造出來的集合。兩件事要查。第一，V₁ 還是不是 a 的 neighborhood——9.7 只要求它藏著一個含 a 的 open set，而 U 本來就藏著一個，聯集只會把它保留下來。第二，交集算對了沒有：分配律把 V₁ ∩ D(f) 拆成兩塊，第二塊因為反像本來就在定義域內而原封不動，第一塊由前一步已經被第二塊裝著，於是聯集就是 f⁻¹(V)。
連續可以整句翻譯成集合的等式：輸出端的每一個要求，都在輸入端被一個 neighborhood 恰好切出來。∎
a U f ⁻¹(V) D(f) 聯集之後右邊那截也算進來

這張圖在說正向那一步補的是什麼：藍框是 20.1 交出的 U，紅框是反像。U 在定義域內的部分整個躺在紅框裡（這是連續給的），可是紅框往右還伸出一截，那一截 U 沒收進來，等號因此不成立。把紅框整個併進藍框就補平了，而 a 周圍那一小塊原封不動，neighborhood 的資格不受影響。

—— 第一階段到此結束 ——

本篇把「輸入變一點、輸出也只變一點」寫成了可以驗證的定義（20.1）：先給 V、再找 U，而且只檢查定義域內的點。兩個例子分別示範了最省力的情形（常數函數）與最容易誤判的情形（定義域有缺口）。20.4 把同一句話翻譯成集合的等式。下一篇 §20-2 換掉鄰域這件外套，改用可以直接動手算的 ε 與 δ，以及數列。先起來走幾步、喝口水再回來。