§8-3  ℝᵖ、距離與球

p 維空間的距離怎麼定義？球長什麼樣——它的形狀跟 norm 的選法有什麼關係？分量與長度互相控制到什麼程度？

正式定調：Cartesian space ℝᵖ

裝備到齊，主角定裝。所謂 p 維 Cartesian space，就是 ℝᵖ 配上三件標準配備：例 1 的分量加法與伸縮、標準內積 x · y = x₁y₁ + ⋯ + x_py_p，以及它誘導的 norm

‖x‖ = (x₁² + x₂² + ⋯ + x_p²)^{1/2}——

畢氏定理的 p 維版，讀作 x 的長度，或 x 到原點的距離。x₁, ⋯, x_p 稱為向量 x 的第 1 到第 p 個 coordinate（座標，或稱分量）。由 8.7，這個 ‖·‖ 自動通過 norm 四關——特別是三角不等式——不必再驗。

更常用的讀法是把 ‖x − y‖ 讀成 x 與 y 的距離。距離該有的三條性質，全由 norm 的規格免費供應：

  • 零距離判等：‖x − y‖ = 0 ⟺ x = y——8.5(ii) 施在 x − y 上。
  • 對稱：‖x − y‖ = ‖y − x‖——8.5(iii) 取 a = −1：反轉方向不改長度。
  • 三角繞道：‖x − y‖ ≤ ‖x − z‖ + ‖z − y‖——把 x − y 拆成 (x − z) + (z − y) 再用 8.5(iv)：經 z 繞路不比直走短。

§9 起賒帳使用的「距離公式與三角不等式」，帳主至此全數到任。記號調和一併交代：本章之後的節在 ℝᵖ 裡把 ‖x − y‖ 簡寫成 |x − y|——單槓雙槓同一個量；p = 1 時兩者又都退回 §5 的絕對值，記號在一維無縫接軌。

球的官方定義（8.9）

8.9  DEFINITION
Let x ∈ ℝᵖ and r > 0.
The open ball with center x and radius r is {y ∈ ℝᵖ : ‖x − y‖ < r};
the closed ball is {y ∈ ℝᵖ : ‖x − y‖ ≤ r};
the sphere is {y ∈ ℝᵖ : ‖x − y‖ = r}.
以 x 為球心、r 為半徑：open ball（開球）收「距離嚴格小於 r」的點——不含球面；closed ball（閉球）連球面一起收；sphere（球面）只收「距離恰為 r」的殼。§9 的緩衝圈在此正式登記戶口：一維是開區間 (x − r, x + r)、二維是不含圓周的圓盤、三維是不含球面的實心球。
正例：ℝ² 中以原點為心、半徑 1 的 open ball——(0.6, 0.6) 在籍（距離 ≈ 0.849 < 1）。反例：(0.6, 0.8) 落榜——距離恰為 1，它屬於 sphere 與 closed ball，不屬於 open ball；「嚴格小於」一個等號都不讓。
open ball：殼不收 closed ball：連殼收 sphere：只收殼 同一顆球心半徑，三種收法——虛線＝不含、實線＝含

這張圖在對照 8.9 的三兄弟：open ball 把殼留在門外（虛線），closed ball 連殼帶肉全收（實線），sphere 只要那層殼。§9 的 open set 整套語言，蓋的正是第一款。

分量與長度的換算表（8.10）

實戰裡常在兩個視角間切換：把 x 當一支向量（看 ‖x‖），或當 p 個數（看各分量）。下面的估計說：兩個視角互相控制——長度小則分量個個小，分量全小則長度也大不到哪去。

8.10  THEOREM
If x = (x₁, x₂, ⋯, x_p) ∈ ℝᵖ, then
|xᵢ| ≤ ‖x‖ ≤ √p · sup{|x₁|, |x₂|, ⋯, |x_p|}.
每個分量的絕對值不超過整支向量的長度；長度反過來不超過「最大分量」的 √p 倍。左半：分量藏不住——向量短，分量必短；右半：長度翻不了天——分量全小，長度頂多放大 √p。
正例：x = (3, 4)——|3| ≤ 5、|4| ≤ 5、且 5 ≤ √2 × 4 ≈ 5.66，兩側都成立。反例：右半的 √p 省不得——x = (1, 1) 時 ‖x‖ = √2 > 1 = sup；想拿「最大分量」直接當長度上界，對角線立刻打臉。
PROOF

兩半各一行帳：都從 ‖x‖² = x₁² + ⋯ + x_p² 出發，一邊丟項、一邊放大每項。sup 在此就是有限多個數的最大值（有限集必有最大元素——兩兩比較沿 p 歸納，例行；與 §6 的 sup 一致）。

Proof.  Since ‖x‖² = x₁² + ⋯ + x_p² and every term is non-negative, dropping all terms but the i-th gives xᵢ² ≤ ‖x‖²; taking non-negative square roots yields |xᵢ| ≤ ‖x‖. For the other half, write M = sup{|x₁|, ⋯, |x_p|}. Each term satisfies xᵢ² = |xᵢ|² ≤ M², so summing over the p terms gives ‖x‖² ≤ pM², and taking square roots yields ‖x‖ ≤ √p · M.
左半是「丟項」：平方和裡每項非負，只留第 i 項當然不會變大，開根號（非負保序）後 |xᵢ| = (xᵢ²)^{1/2} ≤ ‖x‖。右半是「逐項放大」：每項都被最大分量的平方 M² 壓住，p 項相加最多 pM²，開根號吐出 √p——換算率 √p 的來歷就是這一步：p 個座標各自最多差一個 M，距離最多是 √p 倍的 M。例行核對。
分量與長度互相鎖定、換算率 √p——「用分量控制向量、用向量控制分量」從此一行搞定。∎
這個 √p 會常常回來：把 8.10 施在「同一個 cell 裡的兩點之差」上，右半立刻讀成「同箱兩點的距離不超過 √p × 最長邊」——高維空間裡「箱子夠小則箱內兩點夠近」的標準估計。§10 的箱子論證會逐次引用它。

選配：不圓的球

例 3三款 norm，三種球形——「球」的形狀是 norm 的選擇
norm 的規格書不只畢氏款過得了關。換一款 norm，「距離」與「球」全跟著換臉——8.9 的球依 norm 而定，不是幾何常識裡那顆圓的。
在 ℝ² 上驗證兩款替代 norm——‖x‖₁ = |x₁| + |x₂| 與 ‖x‖_∞ = sup{|x₁|, |x₂|}——並描述三款 norm 的單位 open ball。
  1. ‖·‖₁ 驗規格：非負與歸零判等（各項絕對值非負；和歸零逼逐項歸零——§8-2 的小帳）、一次齊次（|ax_i| = |a||x_i| 逐項提出，5.11(c)）；三角不等式逐分量引用一維的 5.12 再相加：|x₁ + y₁| + |x₂ + y₂| ≤ (|x₁| + |y₁|) + (|x₂| + |y₂|)，重排即 ‖x + y‖₁ ≤ ‖x‖₁ + ‖y‖₁。
  2. ‖·‖_∞ 同套流程，三角不等式改用「逐分量壓制」：|xᵢ + yᵢ| ≤ |xᵢ| + |yᵢ| ≤ ‖x‖_∞ + ‖y‖_∞ 對每個 i 成立，右端於是壓住左端的最大者。
  3. 畫單位球 {x : ‖x‖ < 1}：畢氏款是圓盤；‖·‖₁ 款是頂點在四個座標軸上的菱形（|x₁| + |x₂| < 1）；‖·‖_∞ 款是邊長 2 的正方形（兩個分量各自 < 1）。三款互相包夾——8.10 那類換算保證彼此差不過常數倍。
「球」是 norm 的產物，不是先驗的圓。本讀本此後固定使用畢氏款（標準內積誘導的那款）；但「換一把量尺、幾何全變臉」這件事值得放進長期記憶——它是日後比較不同收斂概念的雛型。
‖·‖ ‖·‖₁ ‖·‖∞ 同一句「距離小於 1」，三把量尺畫出三種球

這張圖在畫例 3 的三顆單位球：畢氏款是圓、‖·‖₁ 款是菱形、‖·‖_∞ 款是正方形——全都合法地叫「ball」。往後本讀本說球，指的都是左邊那顆。

—— 第三階段到此結束，整個 §8 收工 ——

回望一整節：vector space 立照（8.1、8.2）、內積與 norm 兩份規格書（8.3、8.5）、Schwarz 與三角不等式一箭三鵰（8.7、8.8），最後在 ℝᵖ 定裝——距離三性質、球的三兄弟（8.9）、分量換算表（8.10），連「不圓的球」都見過了。§9 賒帳的距離與三角不等式全數結清，拓撲章從此零欠條。整節收工，出去走走。臨走前一則：菱形球抱怨自己不夠圓，‖·‖₁ 安慰它——「在我的尺下，你每一點都離原點一樣近，圓不圓是別人家的量法。」

下一幕預告

量尺到手，拓撲開幕。§9 用 open ball 定義本讀本最重要的一批詞彙：open set 與 closed set——「每個成員都自帶緩衝圈」的集合、以及它們的補集。你會看到本節的三角不等式在每一個證明裡值班：圈中有圈、聯集交集的開閉、一路到 ℝ 上開集的完整結構。已經讀過 §9 的讀者，此刻正好回頭把當時賒帳的每一筆對上號。