§5-4 絕對值與三角不等式
絕對值只是「去掉負號」這麼簡單嗎？|a + b| 與 |a| + |b| 誰大誰小——什麼時候相等？
把「離 0 多遠」做成函數（5.10）
比大小的語法齊備之後，還缺一個日後天天上工的配件。很多場合我們不在乎一個數是正是負，只在乎它「離 0 多遠」——誤差三塊錢就是三塊錢，多找的少找的都心痛。三分律說非零的 a 與它的鏡像 −a 恰有一個嚴格正——挑出那個正的，就是絕對值。
5.10 DEFINITION
For a real number a, the absolute value of a, written |a|, is defined by:
|a| = a when a ≥ 0;
|a| = −a when a < 0.
|a| = a when a ≥ 0;
|a| = −a when a < 0.
實數 a 的 absolute value（絕對值）|a|：a 為正（含零）時就是 a 本人，嚴格負時取鏡像 −a。整個函數的值域是 P ∪ {0}，而且 a 與 −a 被送到同一個值——絕對值只記距離，不記方向。
正例：|3| = 3、|−3| = 3——鏡像兩人同分。反例：看到「|a| = −a」就以為絕對值可以是負的——a = −3 時 −a = 3，公式裡的負號是「取鏡像」的動作，不是數值的正負；絕對值永遠不落入 N。
這張圖在說 5.10 的幾何讀法：絕對值把數線沿 0 對摺，左半疊上右半——a 與 −a 落到同一點，留下來的量正是「離 0 的距離」。
絕對值的工作性質（5.11）
5.11 THEOREM
(a) |a| = 0 if and only if a = 0.
(b) |−a| = |a| for all real a.
(c) |ab| = |a| |b| for all real a, b.
(d) If c ≥ 0, then |a| ≤ c if and only if −c ≤ a ≤ c.
(e) −|a| ≤ a ≤ |a| for all real a.
(b) |−a| = |a| for all real a.
(c) |ab| = |a| |b| for all real a, b.
(d) If c ≥ 0, then |a| ≤ c if and only if −c ≤ a ≤ c.
(e) −|a| ≤ a ≤ |a| for all real a.
歸零判準：絕對值為零的只有零本人（a）；鏡像同分（b）；乘積的絕對值等於絕對值的乘積（c）；帶寬翻譯：|a| ≤ c 與「a 夾在 −c 與 c 之間」是同一句話（d）；每個數都被自己的絕對值上下夾住（e）。
正例：|(−2) · 3| = |−6| = 6 = |−2| |3|——(c) 的數字實況；|a| ≤ 2 翻譯成 −2 ≤ a ≤ 2——(d) 的帶寬讀法。反例：|a + b| = |a| + |b| 不在清單上——a = 2、b = −3 時左端 1、右端 5；加法的絕對值只有不等式可談，那正是 5.12 的主題。
PROOF
絕對值的定義是分段的，所以 (a)、(b)、(c) 全是按戶口分案的核對；(d) 是本定理的重心，(e) 是 (d) 的一行特例。
Proof. (a) By definition |0| = 0. When a ≠ 0, the mirror −a is non-zero too, and |a| — being one of the pair a, −a — cannot vanish.
零這一半是定義直讀。非零這一半靠一個觀察：|a| 不管走哪個分支，都是 a 或 −a 兩人之一——兩人都非零（若 −a = 0，兩邊取鏡像、由 4.5(d) 得 a = 0），所以 |a| 非零。例行核對。
(b) For a = 0 both sides are 0. For a > 0 we have −a < 0, so |−a| = −(−a) = a = |a|; for a < 0 we have −a > 0, so |−a| = −a = |a|.
三個戶口逐一過帳：對摺圖早就把答案畫出來了——a 與 −a 摺到同一點。代數上每案只是把定義的分支各查一次，例行核對。
(c) If either factor is 0, both sides vanish. If a > 0 and b > 0, then ab > 0, so |ab| = ab = |a| |b|. If a < 0 and b > 0, then ab < 0, so |ab| = −(ab) = (−a)b = |a| |b|; the case a > 0, b < 0 follows by commuting the factors. Finally, if a < 0 and b < 0, then ab > 0 and |ab| = ab = (−a)(−b) = |a| |b|.
乘積符號的四格表（§5-3）在這裡上工：每一格先判 ab 的戶口、選對 |ab| 的分支，再用 §4 的負號文法（−(ab) = (−a)b、(−a)(−b) = ab）把式子整理成 |a| |b| 的模樣。四格全過，例行但完整——異號的第二格由 M1 交換直接搭第一格的便車，不必重算。
(d) Suppose c ≥ 0 and |a| ≤ c. Both a and −a are at most |a|: indeed one of them equals |a|, and the other one is negative or zero, hence at most |a|. Therefore a ≤ c and −a ≤ c; multiplying the latter by −1 — 5.6(c′) flips it — gives a ≥ −c, so −c ≤ a ≤ c. Conversely, if −c ≤ a ≤ c, then a ≤ c and also −a ≤ c (flip the left inequality); since |a| is one of a, −a, it follows that |a| ≤ c.
這一步的重點只有一件事：「一個絕對值不等式」與「一對普通不等式」可以無損互換。往右走：a 與 −a 兩人中有一位就是 |a|、另一位是零或負數——所以兩人都壓在 |a| ≤ c 之下；把「−a ≤ c」乘 −1 翻面就是「a ≥ −c」。往左走：帶寬給出 a ≤ c 與 −a ≤ c，而 |a| 是兩人之一，自然也 ≤ c。數字對照：|a| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ a ≤ 2。
(e) The number c = |a| is positive, and |a| ≤ |a| trivially; part (d) then reads −|a| ≤ a ≤ |a|.
(e) 是 (d) 的自我引用：取 c = |a|（絕對值本來就是正的），帶寬翻譯一開，夾擊式 −|a| ≤ a ≤ |a| 直接掉出來——它是下一段三角不等式的原料。
五條工作性質備齊，其中 (d) 的帶寬翻譯是日後出勤率最高的一條。∎
例 3解 |x − 3| ≤ 1——絕對值當距離讀
把 5.11(d) 的帶寬翻譯拿來做一題日常操作，順便預告整門分析最愛的句型：「與 a 相距不超過 δ 的所有 x」。
找出所有滿足 |x − 3| ≤ 1 的實數 x。
- 把 5.11(d) 施在 a = x − 3、c = 1 上：|x − 3| ≤ 1 翻譯成 −1 ≤ x − 3 ≤ 1。
- 三段同加 3（5.6(a) 對每一段各用一次）：2 ≤ x ≤ 4。答案是以 3 為中心、往兩側各伸 1 的一段。
|x − a| 讀作「x 與 a 的距離」，於是 |x − a| ≤ δ 就是「距 a 不超過 δ」——這個句型日後會是描述「附近」的官方語言（§8 起正式接手）。
這張圖在畫例 3 的答案：距離句型 |x − 3| ≤ 1 的解集是以 3 為中心的對稱帶——帶寬翻譯 5.11(d) 把絕對值不等式攤平成左右兩道普通不等式。
壓軸：Triangle Inequality（5.12、5.13）
本節壓軸是日後出場次數難以估計的一條不等式。它回答例 3 之後自然的問題：兩個數相加，距離 0 的遠近怎麼變？答案有上限也有下限——上限說「合力不會超過各自出力的總和」，下限說「合力也不會少於兩人出力的差距」。
5.12 THE TRIANGLE INEQUALITY
For any real numbers a and b,
| |a| − |b| | ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|,
and the same bounds hold with a − b in place of a + b.
| |a| − |b| | ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|,
and the same bounds hold with a − b in place of a + b.
和（或差）的絕對值，被「絕對值的差」與「絕對值的和」上下夾住。上半 |a + b| ≤ |a| + |b| 是主力款：合體的大小不超過各自大小之和；下半給出反向的保底。
正例：a = 2、b = −3——夾擊式讀作 1 ≤ |2 + (−3)| = 1 ≤ 5，左端貼緊。反例：想把右端改寫成等號——a = 1、b = −1 時 |a + b| = 0 而 |a| + |b| = 2；等號只在兩人不對打（同號或有人為零）時出現。
PROOF
先證右半（上限），工具是 5.11(e) 的夾擊式加上帶寬翻譯；左半（下限）由右半自我引用變出來。兩處常被跳過的「why」在 pnote 補明。
證明計畫 · 由所求想起
要證：|a + b| 的上下界。
⇢ 上限：把 a、b 各自的夾擊式相加，再用帶寬翻譯收成絕對值。
⇢ 下限：把「a 寫成 (a − b) + b」餵給剛證好的上限，移項得單邊；交換角色得另一邊，帶寬翻譯合體。
⇢ 差的版本：把 b 換成 −b，鏡像同分（5.11(b)）保證上下界不變。
要證：|a + b| 的上下界。
⇢ 上限：把 a、b 各自的夾擊式相加，再用帶寬翻譯收成絕對值。
⇢ 下限：把「a 寫成 (a − b) + b」餵給剛證好的上限，移項得單邊；交換角色得另一邊，帶寬翻譯合體。
⇢ 差的版本：把 b 換成 −b，鏡像同分（5.11(b)）保證上下界不變。
Proof. By 5.11(e), −|a| ≤ a ≤ |a| and −|b| ≤ b ≤ |b|. Adding the two chains gives −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|, and 5.11(d) — with c = |a| + |b| — converts this band into |a + b| ≤ |a| + |b|.
上限三步到手：兩條夾擊式同向相加（5.6(b) 的寬鬆款——差額允許為零的版本，由嚴格款把等號情形逐案補上，例行），左右兩端恰好是 ±(|a| + |b|)；帶寬翻譯 5.11(d) 一開，絕對值收工。數字對照：a = 2、b = −3——夾擊式 −2 ≤ 2 ≤ 2 與 −3 ≤ −3 ≤ 3 相加得 −5 ≤ −1 ≤ 5，正是 |−1| ≤ 5。
For the lower bound, write a = (a − b) + b. The bound just proved — applied to the pair a − b and b — gives |a| ≤ |a − b| + |b|, hence |a| − |b| ≤ |a − b|. Exchanging the roles of a and b, and using |b − a| = |a − b| from 5.11(b), we get |b| − |a| ≤ |a − b|. The two inequalities together read −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|, and 5.11(d) turns them into | |a| − |b| | ≤ |a − b|.
下限的巧思是讓上限自我引用：把 a 拆成「繞道 b」的兩段 (a − b) + b，上限說繞道不省——|a| ≤ |a − b| + |b|（第一個 why 的答案：這就是剛證的右半，施在 a − b 與 b 這一對身上），移項得 |a| − |b| ≤ |a − b|。第二個 why 同款：角色互換得 |b| − |a| ≤ |a − b|，其中 |b − a| = |a − b| 由鏡像同分擔保。兩條合成帶寬，5.11(d) 收成 | |a| − |b| | ≤ |a − b|。
Finally, replacing b by −b throughout — and noting |−b| = |b| — exchanges the two displayed forms: the bounds for a + b become those for a − b and conversely.
和與差不必各打一場：把 b 全面換成 −b，左右兩端的 |b| 由 5.11(b) 紋風不動，中間的 a + b 變成 a − b——兩款敘述互相轉換，例行核對。
合力不超過出力之和、不少於出力之差——三角不等式雙向到手，日後每一次估計誤差都會回到這一條。∎
這張圖在說 5.12 兩端何時貼緊：同向出力（上排）路程全數累積，上限取等；反向出力（下排）互相抵銷，下限取等。一般情形落在兩個極端之間——這正是「夾擊」的形狀。
推廣到 n 項（5.13）
5.13 COROLLARY
For any real numbers a₁, a₂, ⋯, aₙ,
|a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ| ≤ |a₁| + |a₂| + ⋯ + |aₙ|.
|a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ| ≤ |a₁| + |a₂| + ⋯ + |aₙ|.
任意有限多個實數之和的絕對值，不超過各項絕對值之和——三角不等式的 n 項接力版。
正例：|1 + (−2) + 3| = 2 ≤ 6 = 1 + 2 + 3。反例：|1 + (−1) + 1| = 1 < 3——項數一多，抵銷的機會更多，不等號常常是嚴格的；把它當等式用是日後估計時的經典失誤。
PROOF
數學歸納法：起點 n = 2 是 5.12，接力棒靠「先把前 k 項打包成一個數」。
Proof. The case n = 2 is precisely 5.12. Assuming the bound for k numbers, group the first k terms into a single number and apply 5.12 to the pair:
|a₁ + ⋯ + aₖ + aₖ₊₁| = |(a₁ + ⋯ + aₖ) + aₖ₊₁| ≤ |a₁ + ⋯ + aₖ| + |aₖ₊₁| ≤ |a₁| + ⋯ + |aₖ| + |aₖ₊₁|.
|a₁ + ⋯ + aₖ + aₖ₊₁| = |(a₁ + ⋯ + aₖ) + aₖ₊₁| ≤ |a₁ + ⋯ + aₖ| + |aₖ₊₁| ≤ |a₁| + ⋯ + |aₖ| + |aₖ₊₁|.
接力的每一步只用兩件事：把前 k 項視為一個數、對「這個數與第 k + 1 項」用一次兩項版 5.12，再拿歸納假設把打包的那份拆開。數字對照（k = 2 到 3）：|1 + (−2) + 3| = |(1 − 2) + 3| ≤ |1 − 2| + |3| ≤ (|1| + |−2|) + |3|。例行接力。
有限多項的合力估計備齊——日後把誤差拆成一串小項再逐項打包，引用的就是這一條。∎
—— 第四階段到此結束，整個 §5 收工 ——
回望一整節：三條公理圈出正數集（5.1），比大小化約成差額查戶口（5.2、5.3），推理三律與操作文法一次立齊（5.4–5.6），中點與砍半送走「最小正數」（5.7 與例 2），乘積符號反查表（5.8、5.9），最後絕對值登場、三角不等式雙向收官（5.10–5.13）。整節收工，出去曬曬太陽再回來。臨走前一則：|−5| 問 |5| 為什麼大家總把它們認錯——「因為我們的差距是 0 啊。」
下一幕預告
代數會算、順序會比，可是 §4 挖出的那個洞還開著：ℚ 樣樣及格，卻沒有數平方得 2——而目前立下的所有公理，ℚ 也全數通過，所以光憑它們保證不了 √2 住在 ℝ 裡。§6 立最後一條公理——completeness（完備性）——它保證「該存在的數真的存在」，而 ℝ 與 ℚ 將在那條公理上正式分家。supremum 這個詞也將在那裡正式落戶（拓撲章 §9–§12 一路賒帳引用的正是它）。