§5-2 1 > 0 與操作文法
不等式兩邊可以同加一數、同乘一數嗎？乘負數為什麼非翻面不可？「1 是正數」需要證明嗎——證得出來嗎？
不等式的三條基本律（5.4）
地基立好，先驗收三條最基本的推理規則——遞移、兩兩三分、雙向夾成相等。它們日後出場的頻率高到沒人記得引用，但每一條都得憑 5.1 的戶口簿正式證過一次。
5.4 THEOREM
Let a, b, c be real numbers.
(a) If a > b and b > c, then a > c.
(b) Exactly one of the following holds: a > b, a = b, a < b.
(c) If a ≥ b and b ≥ a, then a = b.
(a) If a > b and b > c, then a > c.
(b) Exactly one of the following holds: a > b, a = b, a < b.
(c) If a ≥ b and b ≥ a, then a = b.
遞移律：大於會接力（a）；兩兩三分律：任兩個實數的關係恰是大於、等於、小於三者之一（b）；反對稱律：互相 ≥ 就只能相等（c）。
正例：1 < 2 且 2 < 3，遞移接力得 1 < 3。反例：想讓 a > b 與 b > a 同時成立——(b) 的「恰好一個」直接封殺；但把嚴格款放寬成 ≥，雙向就有戲了，而 (c) 說那齣戲的唯一結局是 a = b。
PROOF
三小題全是 5.3 的翻譯練習：把不等式翻成「某差額 ∈ P」，動用 5.1 的三條，再翻回來。
Proof. (a) The hypotheses put a − b and b − c in P. Since 5.1(i) closes P under addition, the sum (a − b) + (b − c) = a − c lies in P as well; hence a > c.
遞移律的機制一句話：兩筆差額都在 P，相加後 b 對消，剩下的總差額 a − c 因為 5.1(i)（正加正仍正）留在 P 裡。數字對照：3 − 2 = 1 與 2 − 1 = 1 相加得 3 − 1 = 2 ∈ P。例行翻譯，無隱藏步驟。
(b) Apply 5.1(iii) to the single number a − b: precisely one of a − b ∈ P, a − b = 0, −(a − b) = b − a ∈ P occurs — and these three read a > b, a = b, a < b respectively.
兩個數的三分律其實是一個數的三分律穿了外套：把三選一的公理施在差額 a − b 這一個數身上，三個戶口分別翻譯回 >、=、<——「恰好一個」原封不動繼承下來。
(c) Suppose a ≥ b and b ≥ a but a ≠ b. By part (b), either a > b or b > a; the first contradicts b ≥ a, the second contradicts a ≥ b. Hence a = b.
反對稱律用小反證：若 a ≠ b，(b) 逼出嚴格的一邊，而嚴格的哪一邊都跟其中一條假設對撞——因為 a > b 成立時，按 (b) 的「恰好」，b ≥ a（即 b > a 或 b = a）兩款都被排除。所以只剩 a = b。這條日後是「證兩數相等」的標準路線：各證一邊 ≥。
三條基本律入帳——之後使用時不再逐次引用，但它們的戶口本源記在這裡。∎
1 > 0 需要證明，而且證得出來（5.5）
下一位是全節最容易被輕視的定理。「1 是正數」聽起來像常識，但公理清單裡沒有這一條——5.1 只說 P 非空，可沒說 1 住在裡面。它得證，而證明的鑰匙是平方。
5.5 THEOREM
(a) If a ≠ 0, then a² > 0.
(b) 1 > 0.
(c) Every natural number n satisfies n > 0.
(b) 1 > 0.
(c) Every natural number n satisfies n > 0.
非零實數的平方必為嚴格正（a）；於是 1 = 1² 是正數（b）；再沿數學歸納法接力，每個自然數都是正數（c）。
正例：(−3)² = 9 > 0——負數的平方照樣過關，(a) 對兩個戶口一視同仁。反例：a = 0 是 (a) 唯一的除外條款——0² = 0 不進 P；「平方 ≥ 0」對全體成立，「平方 > 0」只對非零成立。
PROOF
(a) 按 a 的戶口分兩案；(b) 是 (a) 的特例；(c) 用數學歸納法（§4-3 立過的接力機制）。
Proof. (a) Since a ≠ 0, trichotomy leaves two cases. If a ∈ P, then 5.1(ii) puts a² = a·a in P. If −a ∈ P, then 5.1(ii) puts (−a)(−a) in P, and Theorem 4.6(c) rewrites this number as a². In both cases a² ∈ P.
非零的 a 只有兩個可能戶口。住 P：自乘由 5.1(ii) 直接不出戶。住對岸：改讓鏡像 −a 自乘，5.1(ii) 給 (−a)(−a) ∈ P，再用 4.6(c)（負負得正的代數帳）認出這就是 a²——例 1 的三步流程原樣重跑。兩案都把 a² 送進 P。
(b) Because 1 ≠ 0 by (M3) and 1 = 1², part (a) applies and yields 1 > 0.
「1 是正數」的全部證明就這一行：1 非零（M3 白紙黑字）、1 是自己的平方，(a) 收單。§5-1 兩次賒帳的「1 的戶籍」在此正式核發——3 > 2 這類日常不等式從此有完整的公理鏈。
(c) Induction along ℕ. The case n = 1 is part (b). If k ∈ P, then — because 1 ∈ P too — property 5.1(i) puts k + 1 in P. Hence every natural number lies in P.
歸納接力：起點 1 ∈ P 是 (b)；接力棒從 k 傳到 k + 1 靠 5.1(i)——兩個 P 的成員相加不出戶。於是 2 = 1 + 1、3 = 2 + 1、⋯ 沿路全數入籍，例行核對。
平方非負、1 > 0、自然數全正——三件「常識」補齊了公理鏈。∎
同加、同乘與翻面（5.6）
接著是操作面的文法：不等式兩邊可以同加任何數、同乘正數；乘負數則必須翻面。四條加兩條倒數規則，一次立齊。
5.6 THEOREM
Let a, b, c, d be real numbers.
(a) If a > b, then a + c > b + c.
(b) If a > b and c > d, then a + c > b + d.
(c) If a > b and c > 0, then ac > bc.
(c′) If a > b and c < 0, then ac < bc.
(d) If a > 0, then 1/a > 0.
(d′) If a < 0, then 1/a < 0.
(a) If a > b, then a + c > b + c.
(b) If a > b and c > d, then a + c > b + d.
(c) If a > b and c > 0, then ac > bc.
(c′) If a > b and c < 0, then ac < bc.
(d) If a > 0, then 1/a > 0.
(d′) If a < 0, then 1/a < 0.
兩邊同加一數，先後不變（a）；同向的不等式可以相加（b）；同乘嚴格正數，先後不變（c）；同乘嚴格負數，先後翻面（c′）；倒數不換戶口——正數的倒數仍正、負數的倒數仍負（d、d′）。
正例：2 < 3 同乘 2 得 4 < 6，先後如舊。反例：同一條 2 < 3 同乘 −1——若不翻面會得到「−2 < −3」，差額 −2 − (−3) = 1 ∈ P 當場戳破；正確結論是翻面後的 −2 > −3（c′）。
PROOF
前四條都是「算差額、查戶口」；(d)、(d′) 多一步排除法。
Proof. (a) The relevant difference is unchanged: (a + c) − (b + c) = a − b, which lies in P by hypothesis.
同加 c 之後的差額算出來還是原差額——c 自己對消了。戶口沒換、結論照舊，例行核對。這也解釋了為什麼「同加」對兩個方向的不等式通用：它根本沒碰差額。
(b) Both a − b and c − d lie in P; by 5.1(i) so does their sum (a + c) − (b + d).
同向相加：兩筆正差額相加仍正（5.1(i)），而那筆和恰是新差額。數字對照：3 > 2 與 10 > 7 相加得 13 > 9——差額 1 + 3 = 4。注意方向必須相同：反向的兩條相加，差額一正一負，什麼都保證不了。
(c) Since a − b ∈ P and c ∈ P, property 5.1(ii) puts ac − bc = (a − b)c in P.
同乘正數：新差額 ac − bc 用分配律收成 (a − b)c——正差額乘正倍率，5.1(ii) 保正。例行核對。
(c′) Now a − b ∈ P and −c ∈ P, so 5.1(ii) puts (a − b)(−c) = bc − ac in P — which reads ac < bc.
乘負數的翻面在這一行水落石出：倍率 c 的戶口在對岸，真正進場的是鏡像 −c，於是進 P 的乘積是 (a − b)(−c)——展開恰是 bc − ac，差額的兩端被調換了：留在 P 裡的是「bc 減 ac」，讀回去自然是 ac < bc。翻面不是另立的規定，是同一條公理算出來的方向。
(d) Let a > 0; then a ≠ 0, so 1/a exists. Rule out the other two households. Were 1/a = 0, multiplying by a would give 1 = a·(1/a) = a·0 = 0, against (M3). Were 1/a < 0, part (c′) with the factor 1/a would turn a > 0 into a·(1/a) < 0·(1/a), that is 1 < 0 — contradicting 5.5(b). Only 1/a > 0 remains.
倒數的戶口用排除法查：三分律說 1/a 只有三個去處。等於 0？那 1 = a·(1/a) 會被乘零歸零壓成 0（4.5(a)），M3 不許。住對岸？拿 (c′) 對 a > 0 同乘這個「負的」1/a，翻面後得 1 < 0——與剛證的 5.5(b) 對撞。兩戶封死，只剩 1/a > 0。
(d′) For a < 0, Theorem 4.6(d) writes 1/a = 1/(−(−a)) = −(1/(−a)); since −a > 0, part (d) makes 1/(−a) strictly positive, so its negative 1/a is strictly negative.
不等式的操作文法立齊：同加隨意、同乘看倍率戶口、倒數不換戶口。∎
這張圖在說 5.6(a) 的機制：同加 c 是整條數線的平移——兩點的間距（差額 a − b）動也不動，所以先後不變。代數證明「新差額＝舊差額」正是這句話的帳面版。
這張圖是 5.6(c′) 的直觀對照（證明本身是查戶口的代數帳）：乘 −1 把數線以 0 為軸鏡射，原本在左的 2 落到 −2、在右的 3 落到 −3——鏡子裡左右對調，先後自然翻面。
—— 第二階段到此結束 ——
推理三律（5.4）、平方正與 1 > 0（5.5）、操作文法六條（5.6）——高中默背的不等式規則，如今每一條都接上了三條公理的地線。下一篇 §5-3 用這套文法做兩件事：證明任兩個不同的數之間永遠擠得進第三者、以及「最小的嚴格正數」為什麼不存在。站起來走兩步、聳聳肩放鬆一下再繼續。