§5-1  正數集與比大小

「大於」的官方定義是什麼？只用一個正數集合與三條公理，能不能把 <、>、≤ 的整套語法全部生出來？

為什麼比大小也要立公理

記帳的人分辨世界只用一件事：這筆是進帳還是出帳。存款簿上「甲比乙有錢」根本不必把兩人的身家各自數完——把甲的數字減去乙的，看差額是進帳方向還是出帳方向，一眼定案。整套「誰大誰小」的學問，最後都化約成一個問題：差額是不是正的。

回頭看 §4 的九條公理：翻遍全文找不到 < 這個符號——代數只管怎麼算，對誰大誰小隻字未提。本節立第二批公理，策略正是記帳人的：不直接定義「大於」，而是先圈出一批「嚴格正」的數，立三條規則管好它們；然後宣布——a > b 的意思就是差額 a − b 屬於這批正數。三條公理，撐起不等式的整座大廈。

官方規則：正數集的三條公理（5.1）

5.1  THE ORDER PROPERTIES OF ℝ
A non-empty subset P of ℝ, called the set of strictly positive real numbers, is given; it satisfies:
(i) if a and b belong to P, so does a + b;
(ii) if a and b belong to P, so does ab;
(iii) for each a in ℝ, precisely one of the three relations holds: a ∈ P, or a = 0, or −a ∈ P.
ℝ 裡指定了一個非空子集 P，稱為嚴格正實數集：正數相加仍是正數（i）、正數相乘仍是正數（ii）；而任何實數 a 三選一——a 是正數、a 是零、−a 是正數——恰好命中一項（iii，稱為 trichotomy，三分律）。
正例：日常認得的正數就是 P 的班底——1 ∈ P 下一篇 5.5 就發正式證明，1/2、3 隨後跟進。反例：任何把 0 收進來的名冊都當不成 P——對 a = 0 而言「a ∈ P」與「a = 0」兩項同時成立，三選一的「恰好」立即破功。

由 (iii) 順手取得負方的鏡像：N = {−a : a ∈ P} 稱為嚴格負實數集。三分律說每個實數恰入一戶，於是整條數線被切成互不重疊的三塊：ℝ = P ∪ {0} ∪ N——正、零、負，戶口普查一次到位。

0 N = {−a : a ∈ P} P 三分律：每個實數恰入一戶，不重不漏

這張圖在說 5.1(iii) 的戶口制度：P 據右半、鏡像 N 據左半、0 獨戶居中——「恰好一項成立」既禁止腳踏兩戶，也禁止無戶可歸。往後每一條不等式的證明，最後都會落到「查某個數的戶口」這一步。

記號的全套配件（5.2、5.3）

5.2  DEFINITION
When a ∈ P, call a strictly positive and write a > 0.
When a ∈ P or a = 0, call a positive and write a ≥ 0.
When −a ∈ P, call a strictly negative and write a < 0.
When −a ∈ P or a = 0, call a negative and write a ≤ 0.
a ∈ P 稱 strictly positive（嚴格正），記 a > 0；a 屬於 P 或等於 0 稱 positive（正，含零），記 a ≥ 0；負方兩款鏡像照辦。注意這套詞裡「positive」是寬鬆款——日常說的「正數」對應的是 strictly positive。
正例：3 既 strictly positive 也 positive——嚴格款蘊涵寬鬆款。反例：0 不是 strictly positive，卻同時是 positive 又是 negative——全數線唯一的雙重戶籍者，下方 trap 專門備案。
0 的雙重戶籍：按 5.2 的用語，0 是 positive 也是 negative（兩款寬鬆定義都收它），但不是 strictly positive 也不是 strictly negative。這套術語乍看彆扭，換來的是日後敘述的省字：「a ≥ 0」一律唸 positive，不必每次補「或零」。讀不等式時只認符號不認中文：> 是嚴格款、≥ 是寬鬆款，永不混淆。
5.3  DEFINITION
For real numbers a, b:
write a > b when a − b ∈ P;
write a < b when −(a − b) ∈ P;
write a ≥ b when a − b ∈ P ∪ {0}, and a ≤ b when −(a − b) ∈ P ∪ {0}.
Chains abbreviate simultaneous relations: a < b < c means a < b and b < c.
「a > b」的官方定義就一句：差額 a − b 是嚴格正數。「a < b」是差額反號屬 P，≥、≤ 各自放寬到允許差額為零；a < b < c 這種鏈是「兩條同時成立」的縮寫。從此每一條不等式都是一句戶口查詢。
正例：3 > 2，因為差額 3 − 2 = 1 屬於 P（1 的戶籍由下一篇 5.5(b) 正式核發）。反例：−1 > 0 不成立——差額是 −1，戶口在對岸：−(−1) = 1 ∈ P，所以正確的寫法是 −1 < 0。
b a a − b 差額 ∈ P？——是，則 a > b；反號在 P，則 a < b

這張圖在說 5.3 的化約：比較 a 與 b 不必分別打量兩人，把差額 a − b 送去 5.1 的戶口簿查一次就結案。之後所有不等式定理的證明，全是這一步的排列組合。

例 1用三條公理直接算：a < 0 且 b < 0，則 ab > 0
負負得正在 §4 是代數等式（4.6(c)），現在補上順序版：兩個嚴格負數的乘積是嚴格正數——順便示範「一切化約成 P 的戶口」怎麼操作。
從 a < 0、b < 0 出發，只准引用 5.1 的三條與 §4 的代數，推出 ab ∈ P。
  1. 翻譯假設：a < 0 按 5.3 就是 −(a − 0) = −a ∈ P；同樣 −b ∈ P。
  2. 公理 5.1(ii) 說正數相乘不出戶：(−a)(−b) ∈ P。而 4.6(c) 的代數帳說 (−a)(−b) = ab——同一個數，換個寫法。
  3. 所以 ab ∈ P，按 5.3 讀回不等式：ab > 0。數字對照：a = −2、b = −3，(−2)(−3) = 6 ∈ P。
三行結案，而且每行都只動用「翻譯、查戶口、代數換寫法」三種動作——這就是本節所有證明的完整戲路，後面只是角色越換越多。
—— 第一階段到此結束 ——

比大小的地基三件套到手：正數集 P 與三條公理（5.1）、正負的稱謂（5.2）、以及化約的樞紐——a > b 就是差額 a − b 屬於 P（5.3）。下一篇 §5-2 開始量產：遞移律、1 > 0 的正式證明、以及「不等式兩邊同加同乘」的完整文法——包括乘負數為什麼非翻面不可。先起身活動一下，倒杯溫水再回來。