§17-1  逐點收斂

數列的每一項換成函數之後，收斂該怎麼定義才回得到已知的地盤？如果每個 fₙ 都連續，極限函數一定也連續嗎？而定義裡那個起算點，依賴哪些東西？

數列的每一項換成一個函數

影像處理裡有個常見的動作：把一張模糊的照片一輪一輪地銳化，第 1 輪、第 2 輪、第 3 輪⋯⋯每一輪的結果都是一張完整的照片，不是一個數。問「這串照片會不會收斂」，跟問「一串數會不會收斂」是不同層次的問題——因為照片有無限多個像素，每個像素都有自己的一串數。

把「照片」換成「函數」，這就是本節的題目。給定 D ⊆ ℝᵖ，對每個自然數 n 有一個函數 fₙ，定義域是 D、值落在 ℝ^q；這樣一串 f₁, f₂, f₃, ⋯ 稱為 D 上的函數列。

要問它收不收斂，最自然的辦法是回到已知的地盤：固定一個點 x ∈ D，把每個函數在這一點的值取出來，就得到 ℝ^q 裡的一條普通數列 (fₙ(x))——前三節的全部工具立刻適用。有些 x 這條數列會收斂，有些可能發散；把所有收斂的 x 收集起來，並在每一點記下它的極限值，就得到一個新的函數。

官方定義：函數列的收斂（17.1）

17.1  DEFINITION
Let (fₙ) be a sequence of functions from D ⊆ ℝᵖ into ℝ^q, let D₀ ⊆ D, and let f be a function whose domain contains D₀ and whose values lie in ℝ^q. Say that (fₙ) converges on D₀ to f when, for every single x ∈ D₀, the sequence (fₙ(x)) converges in ℝ^q to f(x). The function f is then called the limit of (fₙ) on D₀.
函數列 (fₙ) 在 D₀ 上收斂到 f，意思是：對每一個 x ∈ D₀，數列 (fₙ(x)) 都在 ℝ^q 中收斂到 f(x)。此時稱 f 為 (fₙ) 在 D₀ 上的極限函數，記作 f = lim (fₙ) 或 fₙ → f。
正例：fₙ(x) = x/n 在 ℝ 上收斂到零函數——固定任何 x，數列 (x/n) 收斂到 0（例 1 會驗）。反例：收斂與否因點而異——fₙ(x) = xⁿ 在 x = 2 這一點給出 (2, 4, 8, ⋯)，根本不收斂；所以定義域要縮到 D₀（那些真的收斂的點）才談得下去。

極限函數唯一嗎？在每一點上，§14-3 的 14.5（極限至多一個）已經替我們決定了 f(x) 的值，所以除了「定義域取多大」這種選擇之外，極限函數是唯一的。慣例是把 D₀ 取成最大的那個——所有讓 (fₙ(x)) 收斂的 x。

以下四個例子一律取 p = q = 1，也就是實數到實數的函數。第四個例子會用到正弦函數，但只用到一件事：|sin y| ≤ 1 對每個實數 y 成立——正弦函數的嚴格定義本節不需要，也還沒建立。

四個例子（17.2）

例 1fₙ(x) = x/n 在 ℝ 上收斂到零函數
最簡單的一族：一群過原點、斜率一次比一次平的直線。
對每個固定的 x，判定數列 (x/n) 的極限。
  1. 固定 x ∈ ℝ。數列 (x/n) 是常數 x 乘上 (1/n)。
  2. 由 §14-4 例 5（lim (1/n) = 0）與 §15-3 的 15.6(b)（常數倍可以進出極限），得 lim (x/n) = x · 0 = 0。
  3. 這對每一個 x 都成立，所以 (fₙ) 在整個 ℝ 上收斂到 f(x) = 0。
極限函數是零函數。要留意所需的 n 有多大：要讓 |x/n| < ε，得取 n > |x|/ε——x 越遠，需要等越久。這件事在下一篇會變成主角。
f₁ f₂ f₄ f ＝ 0 固定這個 x，往下讀就是一條數列

這張圖在說 17.1 的定義怎麼運作：函數列是一族曲線（這裡是斜率 1/n 的直線），可是收斂的判定是沿著垂直虛線做的——固定一個 x，把各條曲線在那裡的高度讀出來，得到一條普通數列，再問它收不收斂。

例 2fₙ(x) = xⁿ 在 [0, 1] 上的極限函數不連續
每個 fₙ 都是漂亮的連續函數，極限卻在端點斷開——這是本節最重要的一個警訊。
在 D = [0, 1] 上逐點求極限。
  1. x = 1 時 fₙ(1) = 1ⁿ = 1 對每個 n 成立，是常數數列，極限為 1。
  2. 0 ≤ x < 1 時：x = 0 給出常數數列 0；0 < x < 1 時由 §14-4 例 7（0 < b < 1 時 lim (bⁿ) = 0）得極限為 0。
  3. 於是極限函數是 f(x) = 0（0 ≤ x < 1）、f(1) = 1。
每一個 fₙ 都連續，極限函數卻在 x = 1 跳了一下。逐點收斂不保證連續性會被繼承——這是整節要處理的核心問題。順帶一提，若把定義域放大到 x > 1，(xⁿ) 根本不收斂（無界），所以 D₀ 到 [0, 1] 為止。
0 1 1 f₁ f₃ f₁₀ f(1) ＝ 1 極限函數（紅）在 x ＝ 1 斷開，每個 fₙ 卻都連續

這張圖在說例 2 的警訊：藍灰各條 xⁿ 都是連續曲線，全部通過右上角的 (1, 1)；n 越大，曲線越貼著底部再猛然拉起。極限函數（紅）卻是一條貼地的線加上一個孤立的點——連續性沒有被繼承。

例 3fₙ(x) = (x² + nx)/n 在 ℝ 上收斂到 f(x) = x
一族拋物線趨近一條直線。誤差的大小與 x 的關係，這一例看得最清楚。
化簡通項再逐點取極限。
  1. 拆開：fₙ(x) = x²/n + x。
  2. 固定 x，第一項是常數 x² 乘 (1/n)，由 §14-4 例 5 與 15.6(b) 收斂到 0；第二項是常數數列。由 15.6(a) 得 lim fₙ(x) = 0 + x = x。
極限函數是 f(x) = x。誤差是 |fₙ(x) − f(x)| = x²/n——它隨 |x| 增大而增大（x² 量的是離原點多遠，正負兩側對稱），所以觀察點離原點越遠，要壓到 ε 以下所需的 n 就越大，而且沒有上限。
f(x) ＝ x f₂ f₆ 誤差 x²/n 近處幾乎貼合 同一個 n，離原點越遠誤差張得越開——沒有上限

這張圖在說例 3 的誤差結構：固定 n，曲線在原點附近幾乎貼著直線 f(x) = x，可是往右走誤差 x²/n 一路張開。n 增大只是把整張圖的張開速度放慢，並不能替遠處設下一個共同的上限——這正是下一篇要正式處理的現象。

例 4fₙ(x) = (1/n) sin(nx + n) 在 ℝ 上收斂到零函數
前三例所需的 n 都跟著 x 跑，這一例不會——差別就在這裡。
估計誤差並找出所需的 n。
  1. 取 f(x) = 0。因為 |sin y| ≤ 1，對每一個 x 都有 |fₙ(x) − f(x)| = (1/n)|sin(nx + n)| ≤ 1/n。
  2. 任給 ε > 0，由 §6-3 的 6.7(b) 取 K(ε) 使 1/K(ε) < ε。當 n ≥ K(ε) 時 |fₙ(x) − f(x)| ≤ 1/n < ε。
  3. 關鍵在第二步的 K(ε) 完全沒有用到 x——同一個 K 對整條實數線上的每一點同時有效。
極限函數是零函數。這一例與前三例的差別不在「收不收斂」，而在「所需的 n 要不要看 x 臉色」——前三例要，這一例不要。下一篇會把這個差別正式命名。
f₁：振幅 1 f₄：振幅 1/4 振幅只看 n，不看 x——整條曲線一起進帶 同一個 K(ε) 對所有 x 同時有效

這張圖在說例 4 為什麼特別：振盪的快慢隨 n 改變，但振幅只由 1/n 決定，與 x 無關。於是整條曲線是一起進入 ε 帶的，不像例 1 與例 3 那樣「近處先進去、遠處還在外面」。

把定義改寫成 ε 的語言（17.3）

17.3  LEMMA
A sequence (fₙ) of functions on D ⊆ ℝᵖ to ℝ^q converges to f on D₀ ⊆ D if and only if for each ε > 0 and each x ∈ D₀ there is a natural number K(ε, x) such that ‖fₙ(x) − f(x)‖ < ε holds for all n ≥ K(ε, x).
(fₙ) 在 D₀ 上收斂到 f 的充要條件：對每個 ε > 0 與每個 x ∈ D₀，都存在自然數 K(ε, x)，使 n ≥ K(ε, x) 時 ‖fₙ(x) − f(x)‖ < ε。
正例：例 3 裡 |fₙ(x) − f(x)| = x²/n，取 K(ε, x) 為任何大於 x²/ε 的自然數即可——x = 10、ε = 0.1 時要 K > 1000。反例：不能把記號寫成 K(ε)——同一個 ε = 0.1，例 3 在 x = 100 需要 K > 100000，遠大於 x = 10 時的需求。兩個參數都在，一個都不能省。
PROOF

這只是把 17.1 攤開來寫，兩個方向都靠同一件事：17.1 談的是「每一點上的數列收斂」，而數列收斂本身有 14.4 的 ε-K 版本。

Proof.  Fix x ∈ D₀. By Definition 17.1 the sequence (fₙ) converges to f on D₀ exactly when, for each such x, the sequence (fₙ(x)) of points of ℝ^q converges to f(x). Theorem 14.4 restates that single convergence as: to every ε > 0 there is a natural number — depending on that ε and on the point x just fixed, hence written K(ε, x) — beyond which ‖fₙ(x) − f(x)‖ < ε. Ranging over all x ∈ D₀ gives the statement.
證明沒有新內容，重點在記號本身傳達的訊息。14.4 對一條數列交出的起算點只跟 ε 有關；可是這裡每一個 x 都是一條不同的數列，各自交出各自的起算點，所以那個自然數同時依賴 ε 與 x。把它寫成 K(ε, x) 是為了讓這個依賴看得見——例 1、例 3 的 K 確實會隨 x 漂移，而例 4 的不會。這個「會不會漂移」的差別，就是下一篇的全部內容。
17.1 與 ε-K 版本是同一句話；而那個 K 有兩個參數。∎
—— 第一階段到此結束 ——

函數列的收斂立好了（17.1）：它是逐點判定的——固定一個 x，就回到前三節的普通數列。四個例子各有各的教訓：例 2 的極限函數不連續，說明良好性質不會自動被繼承；例 3 的誤差隨 x 增大；例 4 則完全不受 x 影響。改寫成 ε 的語言之後（17.3），差別的所在也就看清楚了：起算點 K(ε, x) 有兩個參數，而它會不會真的依賴第二個，因例而異。下一篇 §17-2 把「不依賴 x」升格成一個正式的概念。起來走動一下——接下來那個定義只差一個量詞的位置，卻是分析學最容易讀漏的地方。