A sequence (fₙ) of functions on D ⊆ ℝᵖ to ℝ^qconverges uniformly on D₀ ⊆ D to f when, to each ε > 0, there corresponds a natural number K(ε) — depending on ε but not on x — such that ‖fₙ(x) − f(x)‖ < ε holds for every n ≥ K(ε) and every x ∈ D₀.
由定義立刻看出：均勻收斂 ⟹ 逐點收斂（把「對每個 x 都用同一個 K」讀成「每個 x 各有一個 K」，當然成立）。反過來不成立——上一篇的例 1、例 2、例 3 都是現成的反例，下面會逐一驗明。
這張圖在說 17.4 的畫面：沿著極限函數 f 上下各撐開 ε，得到一條寬度固定的帶（紅虛線之間）。均勻收斂的意思是——從某個 K(ε) 起，整條 f_k 曲線從頭到尾都待在帶子裡，沒有任何一段跑出去。逐點收斂只要求每個 x 最終進帶，不要求大家同時進。
怎麼證明「不均勻」（17.5）
把 17.4 的量詞逐個翻面，就得到否定的形式；再包裝一次，會變成一個很好用的判準。
17.5 LEMMA
A sequence (fₙ) fails to converge uniformly on D₀ to f if and only if, for some ε₀ > 0, there exist a subsequence (f_{nₖ}) of (fₙ) and a sequence (xₖ) of points of D₀ with ‖f_{nₖ}(xₖ) − f(xₖ)‖ ≥ ε₀ for every k ∈ ℕ.
(fₙ) 在 D₀ 上不均勻收斂到 f 的充要條件：存在某個 ε₀ > 0、某條子數列 (f_{nₖ})、以及 D₀ 中的某串點 (xₖ)，使每個 k 都有 ‖f_{nₖ}(xₖ) − f(xₖ)‖ ≥ ε₀。
證明計畫 · 由所求想起
⇢ 翻量詞：17.4 說「對每個 ε，存在 K，對每個 n ≥ K 與每個 x⋯」；否定成「存在某個 ε₀，對每個 K，存在某個 n ≥ K 與某個 x，誤差不小於 ε₀」。
⇢ 兌現：把 K 依序取成 1, n₁ + 1, n₂ + 1, ⋯，每次換回一組 (nₖ, xₖ)，編號自動嚴格遞增。
⇢ 反方向：有這樣一組，就永遠找不到通用的 K。
Proof. Suppose uniform convergence fails. Negating Definition 17.4 gives an ε₀ > 0 such that no natural number serves as K(ε₀): for every K there are n ≥ K and x ∈ D₀ with ‖fₙ(x) − f(x)‖ ≥ ε₀. Apply this with K = 1 to obtain n₁ and x₁; having obtained n_{k−1}, apply it with K = n_{k−1} + 1 to obtain n_k > n_{k−1} and x_k. The indices increase strictly, so (f_{n_k}) is a subsequence, and ‖f_{n_k}(x_k) − f(x_k)‖ ≥ ε₀ for every k.
Conversely, suppose such ε₀, (f_{n_k}) and (x_k) exist, and let any natural number K be proposed as K(ε₀). Since n_k ≥ k, choosing k ≥ K gives an index n_k ≥ K together with a point x_k ∈ D₀ at which the error is at least ε₀. So no K works for this ε₀, and the convergence is not uniform.
反方向是直接檢查。要否決均勻收斂，只需說明「對 ε₀ 而言沒有任何 K 管用」；而手上這串資料恰好對每個候選的 K 都準備好了一個反例——取 k ≥ K，由 §15-1 證過的 n_k ≥ k 得 n_k ≥ K，而在點 x_k 上誤差不小於 ε₀，違反 17.4 的要求。