§6-3 Archimedean Property

「總有自然數比 x 大」需要完備性才證得動？「1/n 可以任意小」是直覺還是定理？

一句「廢話」的證明（6.6）

「隨便給一個實數，總有自然數比它大。」這句話聽起來理所當然——可是回想 §6-1 的教訓：P 無上界一行就能證，因為 u + 1 還是正數；同一招用在 ℕ 卻卡住——u + 1 憑什麼是自然數？要越過一個實數，派出去的必須是 ℕ 自己的成員。事實上，光靠 §4 與 §5 的公理，這句話真的證不出來；讓它成立的是剛買下的完備性。這條定理以 Archimedes 為名——傳說中那句「給我一根夠長的槓桿」的主人。

6.6 ARCHIMEDEAN PROPERTY

For each x ∈ ℝ there is a natural number n_x ∈ ℕ with x < n_x.

任給實數 x，都有自然數嚴格超過它——換句話說，ℕ 在 ℝ 中無上界，一步一步走總能跨過任何門檻。

正例：x = 3.7 被 4 超過；x = 10⁶ + 0.5 被 10⁶ + 1 超過——具體的 x 看起來都顯然。反例：這句話不是所有順序 field 的通則——存在通過 §4、§5 全部公理、卻讓某個元素大過所有自然數的數系（「無窮大」元素在籍的 non-Archimedean 體系）；把它們排除掉的正是完備性。

PROOF

反證。設某個 x 攔得住全體自然數，則 ℕ 上有界——完備性交出 sup ℕ，而 6.3 的左測會在 sup 身邊挖出矛盾。

證明計畫 · 由所求想起
要證：每個實數都被某個自然數超過。
⇢ 反證：若有 x 攔住全體，ℕ 就上有界，公理 6.4 發下 u = sup ℕ。
⇢ 用 6.3 的左測探 u 的左鄰：u − 1 底下必有自然數探頭。
⇢ 探頭的那位加 1 還是自然數，卻爬過了 u——與 u 是上界對撞。

Proof. Suppose the conclusion fails for some x: no natural number exceeds x. Then x is an upper bound of ℕ, so ℕ — non-empty and bounded above — has a supremum u by the Supremum Property 6.4.

反證開場：若 x 攔得住全體自然數，那 ℕ 就是一個非空、上有界的集合——完備性公理 6.4（非空、上有界必有最小上界）在此兌現，交出 u = sup ℕ。注意這一步是全證明唯一動用完備性的地方，也是無可替代的一步：沒有 6.4，「ℕ 上有界」推不出任何具體的數可供檢驗。

Since u − 1 < u, test (ii) of Lemma 6.3 yields a natural number n₁ with u − 1 < n₁. Adding 1 gives u < n₁ + 1. But n₁ + 1 is again a natural number — so a member of ℕ exceeds its own supremum, an impossibility.

下手的工具是 6.3 的左測：u − 1 比 sup 低，攔不住成員，必有自然數 n₁ 越過它。致命的一步在「加 1」：n₁ + 1 仍是自然數——ℕ 對「加 1」封閉，而 sup 的右測說不准任何成員越過 u。u < n₁ + 1 正面違反右測，反證閉合。數字感受：若 u = sup ℕ 真存在，u − 1 底下探頭的 n₁ 一加 1 就爬過 u——sup 被自家人踩過頭頂。

攔住全體自然數的實數不存在——ℕ 無上界。∎

這張圖在證矛盾怎麼發生（反證現場，u 是假想的 sup ℕ）：6.3 左測保證 u − 1 之上有自然數 n₁，而 ℕ 對加 1 封閉——n₁ + 1 跳過 u，右測崩潰。

三件日常換算（6.7）

Archimedean Property 很少以原始形式出場，實戰用的是三個換算款——尤其 (b)：「1/n 可以小過任何正門檻」，它是日後所有「取 n 夠大」論證的許可證。

6.7 COROLLARY

Take y and z to be strictly positive reals.
(a) Some natural number n satisfies ny > z.
(b) Some natural number n satisfies 0 < 1/n < z.
(c) Some natural number n satisfies n − 1 ≤ y < n.

(a) 步長 y 再小，走 n 步總能超過 z；(b) 1/n 可以擠進 0 與任何正數 z 之間；(c) 每個正數都被某對相鄰自然數夾住——它「落在第 n 格」。

正例：z = 0.003 時取 n = 334——1/334 ≈ 0.002994 < 0.003，(b) 兌現；y = 3.7 落在 3 ≤ 3.7 < 4 的格子裡，(c) 兌現。反例：(c) 的夾法對 y ≤ 0 不適用（y = −0.5 沒有自然數格子可落）——「嚴格正」是三款共同的入場條件。

PROOF

三款都是 6.6 換個變數：拿對的比值去討一個自然數，再把不等式整理回來；(c) 額外動用 §3 的良序性挑「第一個跨過去的」。

Proof. (a) The ratio x = z/y is strictly positive, and 6.6 provides n ∈ ℕ with z/y < n. Multiplying by the strictly positive y — 5.6(c) keeps the direction — gives z < ny.

「小步走遠路」的帳：要走多少步，先算距離除以步長 z/y（正數除正數仍正，5.6(d)、5.1(ii)），6.6 給一個超過這個比值的 n，兩邊同乘 y（正倍率不翻面）就是 ny > z。數字對照：步長 0.01、目標 7——比值 700，取 n = 701。

(b) Apply 6.6 to 1/z: some n satisfies 0 < 1/z < n. Taking reciprocals — order reverses for strictly positive numbers, since 1/z < n gives 1/n < z upon multiplying by the positive number z/n — we get 0 < 1/n < z.

(b) 是 (a) 的倒影：門檻 z 越小，倒數 1/z 越大，先用 6.6 跨過 1/z，再把不等式倒回來——「正數取倒數會換邊」這一步自己驗：1/z < n 兩邊同乘正數 z/n（5.6(c)：左端得 1/n、右端得 z），即 1/n < z。這一條就是「1/n 任意小」的官方版本——§5 例 2 說正數沒有最小，如今更強：光是 1/n 這一款就已經探底。

(c) By 6.6 the set {m ∈ ℕ : y < m} is non-empty; the Well-Ordering Property of ℕ picks its least element n. Then y < n, while minimality leaves n − 1 outside the set: either n = 1 — and then n − 1 = 0 ≤ y because y is positive — or n − 1 ∈ ℕ with n − 1 ≤ y. Both ways, n − 1 ≤ y < n.

(c) 要的是「第一個跨過 y 的自然數」：6.6 保證跨過去的人選非空，§3-1 的良序性（ℕ 的非空子集必有最小元素）把最小的那位挑出來叫 n。「最小」的意思是 n − 1 沒跨過——邊界簿記分兩下：n = 1 時 n − 1 = 0，被 y > 0 壓住；n > 1 時 n − 1 是自然數而未入集，即 n − 1 ≤ y。兩案合寫成 n − 1 ≤ y < n：y 落進第 n 格。

三件換算備妥：小步走遠路（a）、1/n 探底（b）、每個正數有自己的格子（c）——§6-4 的兩個主結果都踩在它們上面。∎

這張圖在畫 6.7 的兩件換算：上排——不管 z 多貼近 0，總有 1/n 擠得進去；下排——每個正數被相鄰自然數 n − 1 與 n 夾住，落在自己的格子裡。下一篇的稠密性論證就踩著這副格子走。

—— 第三階段到此結束 ——

「自然數無上界」原來不是廢話：它是完備性的第一筆利息（6.6），而三件換算——小步走遠路、1/n 探底、正數各有格子——把它變成順手的工具（6.7）。下一篇 §6-4 收兩場大戲：√2 正式在 ℝ 落戶，以及有理數與無理數雙雙稠密。起身走一圈、給眼睛放個假。臨走前一則：Archimedes 說給他一個支點能撬動地球——完備性只給了一個 sup，他就撬翻了「ℕ 有上界」。