Proof. Let S be non-empty and bounded below, and reflect it: S₁ = {−s : s ∈ S}. If w is a lower bound of S, then for every s ∈ S we have w ≤ s, so −s ≤ −w by 5.6(c′): the number −w is an upper bound of S₁. Since S₁ is non-empty and bounded above, the Supremum Property 6.4 provides u = sup S₁.
We claim −u = inf S. First, −u is a lower bound: every s ∈ S gives −s ≤ u, hence −u ≤ s — again by the flip. Second, no lower bound beats it: if w is a lower bound of S, then −w is an upper bound of S₁, so u ≤ −w because u is the least upper bound; flipping once more gives w ≤ −u. Hence −u is the greatest lower bound.
補上常被省略的驗收，兩件事各翻一次面。其一，−u 是下界：成員的鏡像都壓在 u 之下，翻回來就是成員都站在 −u 之上。其二，−u 最大：任何下界 w 的鏡像 −w 是 S₁ 的上界，被最小上界 u 壓住（u ≤ −w），翻回來得 w ≤ −u。「下界裡最大」與「上界裡最小」在鏡子兩側是同一件事——例行搬運，但兩測都要真的走完。
inf 的存在由 sup 公理免費供應——往後遇到「下有界」，鏡射一次即可。∎
這張圖在證 6.5 的機制：把 S 沿 0 鏡射成 S₁，左端問題變右端問題——S₁ 的 sup 由公理 6.4 供應，鏡射回來正是 S 的 inf。
例 2inf P = 0——最大下界可以是「圈外人」
正數集 P 沒有最小元素（§5 例 2 用砍半送走了應徵者），可是它的 inf 好端端存在——而且是個不在 P 裡的數。
用「下界兩測」（6.3 的鏡像版）驗證 inf P = 0。
左測——0 是下界：P 的成員個個嚴格正，沒有誰低於 0。
右測——任何 w > 0 都不是下界：因為 w 自己是正數，砍半得 ½w ∈ P 而 ½w < w（5.7 取 b = 0）——有成員跌破 w，w 失格。於是下界全體 ≤ 0，最大的就是 0。
inf P = 0 ∉ P：沒有最小元素的集合照樣可以有 inf——inf 與 sup 一樣，是對「界」的描述，不是對成員的點名。