§7-1  Dedekind cut

把 ℝ 拆成滿足三條件的左右兩半，這樣的拆法都恰好由一個實數決定嗎？這件事跟完備性是什麼關係？

一刀下去，指向一個數

裁縫剪一匹無限長的布，只剪一刀。描述這一刀，有兩種方式：報出刀口的位置；或者——完全不提位置——把「左邊那半」與「右邊那半」各是哪些點交代清楚。第二種方式聽起來繞遠路，威力卻在於它不需要事先知道刀口是誰：先有左右兩半，再問「這一刀落在哪個數上」。

Dedekind 的洞見是：這個順序可以反過來當地基。上一節的完備性說「該存在的數真的存在」；本篇給它第二種面貌——每一種合法的拆法，都恰好由一個實數決定。這句話跟 sup 公理是同一枚硬幣的兩面，而且它還藏著一份工程藍圖：如果有一天你只有 ℚ、想親手把 ℝ 蓋出來，「拆法」本身就能當磚頭——本節結尾會回到這個念頭。

官方定義：cut（7.1）

7.1  DEFINITION
An ordered pair (A, B) of non-void subsets of ℝ forms a cut when:
A ∩ B = ∅;
A ∪ B = ℝ;
a < b for every a ∈ A and every b ∈ B.
一對非空集合 (A, B) 構成 ℝ 的一個 cut：兩者互不相交、聯集是整條數線、而且 A 的每個成員都嚴格小於 B 的每個成員——左右兩半不重疊、不遺漏、不交錯。
正例：A = {x : x ≤ 3}、B = {x : x > 3}——三條件全過，刀口在 3（例 1 逐條驗收）。反例：A = {x : x < 0}、B = {x : x > 0}——0 兩邊都不收，聯集缺一個點，第二條件破功；cut 不許有無主的點。
A B 刀口——7.2 要證：它恰好是一個實數

這張圖在說 7.1 的三條件合起來畫出的形狀：左右兩半不重疊（互斥）、不留無主點（聯集是 ℝ）、不互相交錯（A 全體壓在 B 全體左邊）。剩下的問題是：交界處坐著誰？

例 1每個實數給出恰好兩款刀法
從最標準的 cut 動手驗一遍三條件，順便發現一個小巧思：刀口自己歸左歸右，是兩種不同的 cut。
對固定的 ξ ∈ ℝ，驗證 A = {x : x ≤ ξ}、B = {x : x > ξ} 構成 cut；再看第二款 A′ = {x : x < ξ}、B′ = {x : x ≥ ξ}。
  1. 非空：ξ ∈ A、ξ + 1 ∈ B。互斥與聯集：三分律 5.4(b) 說每個 x 與 ξ 的關係恰是 ≤ 或 > 之一——不重不漏。交錯禁令：a ≤ ξ < b 由遞移律 5.4(a) 得 a < b。三條件全過。
  2. 第二款 (A′, B′) 把 ξ 改判給右半，驗法一字不差。兩款是不同的 cut（ξ 的戶籍不同），但刀口是同一個數——7.2 的「唯一」指的是刀口，不是拆法。
每個實數決定恰好這兩款 cut——刀口歸左或歸右。反過來的問題才是重點：每個 cut 都由某個實數決定嗎？會不會有一刀落在「兩個數之間的空隙」上？

Cut Property：每一刀都有主（7.2）

7.2  CUT PROPERTY
If (A, B) is a cut in ℝ, then there exists one and only one number ξ ∈ ℝ such that a ≤ ξ for every a ∈ A and ξ ≤ b for every b ∈ B.
任何一個 cut 都恰好由一個實數坐鎮刀口：它壓住左半全體、又被右半全體壓住。ℝ 裡的刀永遠不會落空——這是完備性的另一種說法。
正例：例 2 的「平方切法」——刀口由不等式描述，7.2 保證有數坐鎮，坐鎮的正是 √2。反例：把舞台換成 ℚ，同一款切法的刀口就沒有有理數可坐——ℚ 的刀會落空（例 2 收尾），Cut Property 是 ℝ 的特權。
PROOF

存在性：B 的成員全是 A 的上界，完備性交出 ξ = sup A，兩測各驗一邊。唯一性：兩位坐鎮者之間塞中點，中點兩邊都不是人。

Proof.  The sets A and B are non-void. Every b ∈ B is an upper bound of A — the cut condition gives a < b for all a ∈ A — so A is bounded above, and the Supremum Property 6.4 provides ξ = sup A. Being an upper bound, ξ satisfies a ≤ ξ for all a ∈ A; and since each b ∈ B is an upper bound of A while ξ is the least one, ξ ≤ b for all b ∈ B.
存在性的機制一句話：交錯禁令讓右半的每個成員都成了左半的上界，於是「刀口」就是左半的 sup——完備性 6.4（非空、上有界必有最小上界）保證它存在。驗收兩邊：壓住 A——sup 本來就是上界；被 B 壓住——B 的成員都是 A 的上界，而 ξ 是上界中最小的。數字對照：例 1 的 A = {x ≤ 3}——sup 是 3，果然壓住左半、又不超過右半任何成員。
For uniqueness, suppose η also satisfies both conditions, and — relabelling if necessary — assume ξ < η. Theorem 5.7 places the midpoint ζ = (ξ + η)/2 strictly between them: ξ < ζ < η. Now ζ must lie in A or in B. Were ζ ∈ A, the bound a ≤ ξ for members of A would force ζ ≤ ξ — against ξ < ζ. Were ζ ∈ B, the bound η ≤ b would force η ≤ ζ — against ζ < η. Thus ζ can belong to neither set, although the cut assigns every real number to one of them — a contradiction. Hence ξ = η.
唯一性走「中間人無處可住」：若真有兩位坐鎮者 ξ < η，中點定理 5.7 在他們之間塞進 ζ。ζ 若住左半，會被「左半全體 ≤ ξ」壓回 ξ 以下——與 ζ > ξ 對撞；住右半，會被「η ≤ 右半全體」抬到 η 以上——與 ζ < η 對撞。可是 cut 的聯集條件不許任何點無家可歸——矛盾，兩位坐鎮者只能是同一人。這一招日後還會上場：§12 的交界點論證正是同一族——完備性給的點，兩邊都容不下第二個。
每一刀恰有一位主人——ℝ 的數線切在哪裡，哪裡就坐著一個實數。∎
例 2平方切法：一刀切在 √2 上
刀口可以完全用不等式描述、不必報數——這正是 cut 的威力，也是 Dedekind 拿它造數的原因。
驗證 A = {x : x ≤ 0 或 x² ≤ 2}、B = {x : x > 0 且 x² > 2} 構成 cut，並找出坐鎮者。
  1. 非空：1 ∈ A、2 ∈ B。互斥與聯集：對每個 x——若 x ≤ 0 進 A；若 x > 0，三分律問 x² 與 2 的關係，≤ 進 A、> 進 B——不重不漏。
  2. 交錯禁令：取 a ∈ A、b ∈ B。b > 0，所以 a ≤ 0 的情形直接 a < b；a > 0 的情形有 a² ≤ 2 < b²，兩邊皆正、平方保序反著讀（若 a ≥ b 則 a² ≥ b²）得 a < b。三條件全過，(A, B) 是 cut。
  3. 坐鎮者：7.2 保證存在，而 6.8 的 √2 恰好兩邊都服貼——壓住 A（a ≤ 0 < √2 或 a² ≤ 2 = (√2)² 讀出 a ≤ √2）、被 B 壓住（b² > 2 同法讀出 b > √2）。刀口是 √2。
整刀的描述只用到「正負」與「平方跟 2 比大小」——句句是 ℚ 說得出的話，刀口卻是無理數。把同一刀切在 ℚ 的世界裡，兩捆照樣拆得出來，坐鎮者卻不存在（§6 例 3 驗過的空位）——Dedekind 的造數工程正是把「這一刀本身」宣告為一個新的數。
—— 第一階段到此結束 ——

cut 的三條件（7.1）與 Cut Property（7.2）到手：ℝ 裡每一刀都恰好坐著一個實數——完備性的第二張面孔，證明就是「sup ＋ 中點擠壓」兩招。下一篇 §7-2 清點區間全家福，然後兌現 §10 賒了一章的帳：閉區間套的公共點定理。先起來動一動、補個水。