§6-1 上界與 sup

上界、最小上界是什麼？sup 跟集合的最大元素是同一回事嗎？當集合不含自己的 sup，那個數落在哪裡？

從一塊限高牌說起

橋下掛著「限高 3.8 公尺」的牌子。有趣的是，這塊牌子寫 4 公尺、寫 10 公尺也都「沒說錯」——比 3.8 大的數個個都是合法的上限，只是越寫越沒用。所有合法上限裡，真正值錢的是最緊的那一個：3.8。它可能恰好是某輛通過車輛的高度，也可能沒有任何一輛車真的頂到它——但它就是那條「再低一點就會說錯」的界線。

本節要把「上限」與「最緊的上限」做成正式概念——upper bound 與 supremum。前面兩節立的公理，§4 例 2 早就提醒過：ℚ 也全數通過，所以光靠它們分不出 ℝ 與 ℚ。整章鋪陳到這裡，就是為了本節的最後一條公理——而它的措辭，恰恰是用「最緊的上限存不存在」寫成的。先把語言備好。

上界與下界（6.1）

6.1 DEFINITION

Let S be a subset of ℝ.
(a) A number u ∈ ℝ is an upper bound of S when s ≤ u for every s ∈ S.
(b) A number w ∈ ℝ is a lower bound of S when w ≤ s for every s ∈ S.

u 是 S 的 upper bound（上界）：S 的每個成員都不超過 u。w 是 lower bound（下界）：每個成員都不低於 w。有上界稱 bounded above（上有界），有下界稱 bounded below（下有界），兩者兼備稱 bounded（有界），缺任一邊稱 unbounded（無界）。

正例：S = {x : 0 < x < 1}——1 是上界，7、100 也都是；上界一旦有一個，就有無限多個（u 合格則 u + n 全合格）。反例：P = {x : x > 0} 沒有任何上界——候選人 u 若 ≥ 0 就被成員 u + 1 超過，若 < 0 就被成員 1 超過——所以是 unbounded；注意它明明有下界 0，「無界」只要缺一邊就成立。

這張圖在說 6.1 的地形：上界不是一個數，是一整條射線的數；下界同樣。真正要追問的是——上界那條射線有沒有「最左端」、下界那條有沒有「最右端」？這正是下一張定義卡的主角。

空集合的怪帳：要證 u 不是 S 的上界，得交出一個超過 u 的成員——S = ∅ 時誰都交不出來，於是每個實數都是空集合的上界，也都是它的下界。聽起來荒唐，卻是定義的忠實後果，照單全收即可；它也預告了為什麼稍後的公理要寫明「非空」。

supremum：最緊的上界（6.2）

6.2 DEFINITION

Let S be a subset of ℝ.
(a) When S is bounded above, an upper bound of S is called a supremum (least upper bound) of S if it is smaller than every other upper bound of S.
(b) When S is bounded below, a lower bound of S is called an infimum (greatest lower bound) of S if it is greater than every other lower bound of S.

supremum（最小上界，記 sup S）＝上界裡最小的那一個：它自己是上界，而且比其他每個上界都小。infimum（最大下界，記 inf S）鏡像定義。同一個集合的 sup 至多一個——若 u₁、u₂ 都是，互相以「我是 sup、你是上界」壓過對方，得 u₁ ≤ u₂ 且 u₂ ≤ u₁，由 5.4(c) 兩人是同一個數。

正例：S₂ = {x : 0 ≤ x ≤ 1} 的 sup 是 1，而且 1 ∈ S₂——sup 剛好是成員時，它就是最大元素。反例：把「sup」與「最大元素」混為一談——S₁ = {x : 0 < x < 1} 根本沒有最大元素（例 1 驗收），sup 卻照樣是 1：sup 是對「上界射線」的描述，不必住在集合裡。

「說一個集合有 supremum」因此不承諾「集合含有它」——這個區分日後會一再上工——§12 的交界點論證就以它為樞紐。動手驗收一次。

例 1S₁ = (0, 1) 與 S₂ = [0, 1]：同一個 sup，兩種住法

兩個集合的上界射線一模一樣，sup 都是 1——差別只在 1 有沒有戶籍。順便補上一個常被一筆帶過的問題：為什麼小於 1 的數當不成 S₁ 的上界？

驗證：sup S₁ = sup S₂ = 1；1 ∈ S₂ 而 1 ∉ S₁；並證明任何 c < 1 都不是 S₁ 的上界。

1 是兩者的上界：定義直讀——兩個集合的成員都 ≤ 1。
任何 c < 1 都不是 S₁ 的上界。分兩案：若 c ≤ 0，成員 1/2 就超過它；若 0 < c < 1，5.7 的中點出手——(c + 1)/2 嚴格夾在 c 與 1 之間，是 S₁ 的成員又超過 c。所以上界只剩 ≥ 1 的數，1 是最小的：sup S₁ = 1。S₂ 同理。
戶籍核對：1 ∈ S₂（定義含端點），1 ∉ S₁（要求嚴格小於）。S₂ 的 sup 是自家最大元素；S₁ 沒有最大元素——任何成員都被自己與 1 的中點超車——但 sup 照樣存在。

sup 描述的是上界射線的最左端，與成員資格是兩回事。「有 supremum」永遠不保證「含 supremum」。

這張圖在對照例 1 的兩種住法：上排 S₁ 的 sup（空心端點）貼在門外，下排 S₂ 的 sup（實心端點）就是最大元素。上界射線完全相同，sup 也相同——差別只有戶籍。

sup 的工作判準（6.3）

定義 6.2 的措辭繞著「其他上界」轉，用起來不順手。下面的引理把它改寫成兩條可以直接開工的測試——一條顧右邊、一條顧左邊。

6.3 LEMMA

A number u ∈ ℝ is the supremum of a non-empty set S ⊆ ℝ if and only if:
(i) no element s ∈ S satisfies u < s;
(ii) whenever v < u, some element s_v ∈ S satisfies v < s_v.

u = sup S 的充要條件兩測：右測——u 的右邊沒有任何成員（u 是上界）；左測——任何比 u 低的 v 都會被某個成員超過（比 u 低就當不成上界）。一句話：成員爬不過 u，卻能貼著 u 要多近有多近。

正例：u = 1 對 S₁ = (0, 1)——右測：成員全 < 1；左測：v < 1 被中點 (max(v, 0) + 1)/2 超過（例 1 剛演過）。反例：u = 2 對同一集合——右測通過（2 確實是上界），左測失敗：v = 1.5 < 2 沒有任何成員超過它。兩測缺一不可。

PROOF

雙向翻譯。「⟸」：兩測合起來恰好是 6.2 的兩個要求；「⟹」：sup 的兩個身分各自兌現一測。

Proof. Suppose u passes both tests. Test (i) says no member exceeds u — so u is an upper bound of S. Test (ii) says every v < u is exceeded by some member — so no such v can be an upper bound. Hence every upper bound is at least u, and u is the least one.

「⟸」的兩步翻譯：右測直接說 u 是上界。左測負責「最小」——它把比 u 低的每個數一一淘汰出上界的行列：既然 v 被成員 s_v 超過，v 就攔不住全體成員。上界只能 ≥ u，而 u 自己在列，於是 u 是最小上界。

Conversely, let u = sup S. Being an upper bound, u passes test (i). And if v < u, then v is not an upper bound — the least one is u — so some member of S exceeds v: test (ii) holds.

「⟹」同樣兩步：sup 本人是上界，右測免費；比 sup 低的 v 若還是上界，會搶走「最小」的頭銜——所以 v 不是上界，也就是有成員超過它，左測成立。例行核對。

從此驗 sup 就跑這兩測：右邊無人、左邊貼身。下一篇的公理與 §6-3 的 Archimedean 論證都直接引用它。∎

這張圖在畫 6.3 的兩測：u 右側乾乾淨淨（右測），而 u 左側任何位置 v 都攔不住成員（左測）。「爬不過、又貼得緊」正是 sup 的完整人相。

—— 第一階段到此結束 ——

語言備齊：上界是一整條射線的數（6.1），supremum 是那條射線的最左端（6.2），而 6.3 把它改寫成右測＋左測的工作判準。到目前為止一切都只是定義——「上有界的集合一定有 sup 嗎？」這個問題還懸著。下一篇 §6-2 攤牌：這句話證不出來，得用公理買下——而它正是 ℝ 與 ℚ 分家的那一條。先起身裝杯水、望遠放鬆一下眼睛。