§8-1  向量空間

把「能相加、能伸縮」寫成公理，需要幾條規則？ℝᵖ 之外，還有哪些集合也悄悄持有向量空間的證照？

位移可以相加，也可以伸縮

操控一台無人機：先「東 3、北 4」，再「東 1、北 −2」，合起來就是「東 4、北 2」——兩段位移相加，分量各自相加。想飛同方向一倍半遠？「東 3、北 4」放大成「東 4.5、北 6」——位移伸縮，分量各自伸縮。位移不是一個數，卻天生會兩件事：彼此相加、被實數伸縮。而且這兩件事守的規矩眼熟得很——加法交換、結合、有零位移（原地不動）、有反位移（原路折返）。

上一章對 ℝ 做過同樣的事：不問「是什麼」，只把「怎麼運算」立成公理（§4 的 field）。本章開幕如法炮製：凡是「能相加、能被實數伸縮、且守住那批規矩」的集合，統一發一張證照——vector space。發照的好處跟 §4 一樣：規矩推出來的每條定理，持照者全體通用，不必一家一家重證。

官方定義：vector space（8.1）

8.1  DEFINITION
A vector space is a set V (its elements are called vectors) equipped with two operations.
Vector addition assigns to x, y ∈ V an element x + y ∈ V, and obeys:
(A1) x + y = y + x;
(A2) (x + y) + z = x + (y + z);
(A3) some element 0 ∈ V satisfies x + 0 = x and 0 + x = x for every x;
(A4) to each x ∈ V corresponds −x ∈ V with x + (−x) = 0 = (−x) + x.
Scalar multiplication assigns to a ∈ ℝ and x ∈ V an element ax ∈ V, and obeys:
(M1) 1x = x for every x ∈ V;
(M2) a(bx) = (ab)x for all a, b ∈ ℝ, x ∈ V;
(D) a(x + y) = ax + ay and (a + b)x = ax + bx for all a, b ∈ ℝ, x, y ∈ V.
vector space（向量空間）＝一個集合配兩種運算：向量加法守 §4 加法組原封不動的四條（交換、結合、零向量、反向量）；scalar multiplication（純量乘法）則是「外人來乘」——乘數是 ℝ 的實數、被乘的是向量，守三條：1 乘不動（M1）、連乘可併（M2）、對兩種加法都分配（D）。注意 8.1 的 (M1)(M2)(D) 是純量乘法專屬編號，與 4.1 的同名條目不同人——引用時掛「8.1 的」前綴。
正例：ℝ 自己——把普通乘法當純量乘法，九條規矩全數照舊（field 順便是 vector space）。反例：整數格點 ℤ × ℤ——加法四條全過，卻被伸縮出賣：0.5 · (1, 0) = (0.5, 0) 跌出格點外，純量乘法連「不出界」的資格都沒有。
x y x + y 相加＝位移接力 x 2x 伸縮＝同方向放大縮小

這張圖在畫 8.1 的兩種運算：加法是位移接力（頭接尾，合位移是對角線），純量乘法是沿原方向的伸縮。公理清單做的事，就是把這兩張畫面的規矩寫成白紙黑字。

清單刻意寫得眼熟：加法四條 (A1)–(A4) 與 4.1 的加法組一字不差——所以 §4-2 用純加法公理證出的紅利（零向量唯一、反向量唯一、a + x = b 恰有一解）在任何 vector space 原封成立，證明搬字過紙即可。乘法這邊換了戲路：field 的乘法是「自己人互乘」，這裡是「外面的實數來乘」，所以沒有交換可談（xa 根本不另立記號）、沒有倒數可談，只剩伸縮該守的三條。

持照名單（8.2）

發照之後先點名。頭兩位毫無懸念：ℝ 本人（普通加法與乘法），以及平面 ℝ² = ℝ × ℝ（§1 的笛卡兒積）配上「分量各自運算」。真正的主角是一般的 p 維版本，連同一位出乎意料的持照者——函數。

例 1ℝᵖ 領照：分量逐位繼承 §4 的公理
p 維空間 ℝᵖ＝全體 p 元組 (x₁, ⋯, x_p)。驗照要過 8.1 全部條款——工作量看似 p 倍，其實是一次繼承。
在 ℝᵖ 上定義 x + y = (x₁ + y₁, ⋯, x_p + y_p)、ax = (ax₁, ⋯, ax_p)，驗證 8.1 成立。
  1. 不出界：分量相加、分量伸縮都是實數運算，結果的每個分量仍是實數——p 元組進、p 元組出。
  2. 每條公理逐位檢查。以 (A1) 為例：x + y 的第 i 個分量是 xᵢ + yᵢ，而 §4 的 A1 說 xᵢ + yᵢ = yᵢ + xᵢ——每一位都相等，兩個 p 元組就相等。其餘各條同一招：把「向量的等式」拆成 p 條「實數的等式」，逐位引用 §4 的對應公理。
  3. 特定成員點名：零向量 0 = (0, ⋯, 0)、反向量 −x = (−x₁, ⋯, −x_p)——各分量取 §4 的零元與反元素。數字對照（p = 2）：(3, 4) + (1, −2) = (4, 2)、1.5(3, 4) = (4.5, 6)——開場無人機的兩筆帳。
ℝᵖ 是 vector space，而且驗照的分工與 §4 例 2 同款：等式類條款逐位繼承，只需點名零與反向量在籍。往後說「Cartesian space」，指的就是這個 ℝᵖ 再配上 §8-2 的內積——正式定調在 §8-3。
例 2函數也能相加：函數空間 ℝ^S 領照
最出乎意料的持照者：把「定義在 S 上的實值函數」全體收成一個集合，它也會加、也會伸縮——而且日後整門分析都住在這類空間裡。
設 S 是任意集合，ℝ^S 收所有 u : S → ℝ（§2 的函數，定義域整個 S）。定義 (u + v)(s) = u(s) + v(s)、(au)(s) = a·u(s)，驗證 8.1。
  1. 先看清定義在做什麼：u + v 是一個新函數——輸入 s，輸出兩個舊輸出之和。「函數相加」不是把圖形黏起來，是逐點相加。
  2. 驗照與例 1 同一招，「逐位」換成「逐點」：任取 s ∈ S，(u + v)(s) = u(s) + v(s) = v(s) + u(s) = (v + u)(s)——每一點都相等的兩個函數是同一個有序對集合，(A1) 成立；其餘條款照樣逐點引用 §4。
  3. 點名：零向量是「處處輸出 0」的常數函數，−u 是「處處輸出 −u(s)」的函數。數字對照：S = {1, 2, 3}、u 輸出 (2, 5, 1)、v 輸出 (1, −1, 4)——u + v 輸出 (3, 4, 5)。事實上取 S = {1, ⋯, p} 時，ℝ^S 根本就是 ℝᵖ 換個穿著：p 元組不過是「編號 1 到 p 各配一個實數」的函數。
函數空間 ℝ^S 是 vector space——S 無限時它比任何 ℝᵖ 都大。這位持照者是伏筆中的伏筆：日後「函數列的收斂」「函數的距離」全在這類空間開打。
s uvu + v 在每個輸入 s 處把兩個輸出疊起來——「函數相加」的全部內容

這張圖在畫例 2 的定義：u + v（虛線）在每個輸入 s 的高度，就是 u 與 v 兩條圖形在該處的高度之和。逐點運算讓函數全體照樣領到 vector space 的證照。

—— 第一階段到此結束 ——

「能相加、能伸縮」正式立照（8.1）：加法四條原封搬自 §4，純量乘法另立三條。持照名單初點：ℝ、ℝ²、主角 ℝᵖ（逐位繼承），以及最意外的函數空間 ℝ^S（逐點繼承）。下一篇 §8-2 給空間添量尺：內積、norm，以及整門分析引用率最高的估計——Schwarz 不等式。起身動一動，喝口水再回來。