§23-1  均勻連續

逐點連續交出的半徑，除了跟著誤差走，還跟著點的位置走。把後面那個依賴拿掉，會是什麼樣的條件？而要證明某個函數辦不到，該從哪裡下手？

δ 能不能忘掉自己在哪裡

汽車的煞車距離跟路況有關：乾燥的柏油路上二十公尺就停得住，結冰的下坡可能要一百公尺。要訂一條全國通用的跟車規定，只能取最保守的那個數字——前提是那個最保守的數字存在。要是有某種路況爛到煞車距離可以無限長，通用的規定就訂不出來。

§20-2 的 20.2(b) 那個 δ 一直有一件事沒說破：它不只跟著 ε 走，也跟著點的位置走。記號寫成 δ(ε) 是簡寫，完整寫法是 δ(ε, u)。有些函數的 δ 換個位置就得重挑，有些則不必。

先算一個具體的。取 g(x) = 1/x（x > 0），固定一點 u > 0。若 |x − u| ≤ δ 而 0 < δ < u，則
  |g(x) − g(u)| = |u − x| / (ux) ≤ δ / (u(u − δ))。
要讓右邊等於 ε，解出來的 δ 是能用的最大值：
  δ(ε, u) = εu² / (1 + εu)。
取 ε = 0.1 代三個位置：u = 1 時 δ ≈ 0.0909，u = 0.1 時 δ ≈ 0.00099，u = 0.01 時 δ ≈ 0.00001。越靠近零，可用的半徑縮得越快，而且沒有正的下限——它們的 inf 就是 0。所以在 (0, ∞) 上找不到一個對每個位置都通用的 δ。

可是把定義域縮小一點，情況就變了。取 a > 0，只看 x ≥ a 的部分。上面那條公式對 u 是遞增的，所以這些 δ(ε, u) 的 inf 落在 u = a 上，等於 εa²/(1 + εa)——一個正數。它對 x ≥ a 的每一點都夠用。同一個函數，換一個定義域，答案就不同。這件事值得一個名字。

23.1  DEFINITION
Let f have domain D(f) ⊆ ℝᵖ and values in ℝ^q, and let A ⊆ D(f).
f is uniformly continuous on A in case for each ε > 0 there is a δ(ε) > 0, depending on ε alone, such that ‖f(x) − f(u)‖ < ε holds whenever x, u ∈ A and ‖x − u‖ < δ(ε).
與逐點連續的差別只有一個字：δ 只准跟著 ε 走，不准跟著位置走。所以這裡的 x 與 u 是對等的兩個變動點，不像 20.2(b) 那樣一個固定、一個變動。均勻連續蘊涵在 A 的每一點連續，反過來一般不成立。
正例：f(x) = 2x 在 ℝ 上均勻連續——|f(x) − f(u)| = 2|x − u|，取 δ(ε) = ε/2 對每一對點都成立。反例：g(x) = 1/x 在 (0, ∞) 上不均勻連續，儘管它在每一點都連續——上面算出的 δ(ε, u) 的 inf 是 0，挑不出通用的正數。
窄 寬 同樣高的誤差要求 陡的地方 δ 小，平緩的地方 δ 大

這張圖在說 δ 為什麼會跟著位置走：兩個方框的高度相同（同一個 ε），可是要讓曲線在框內走完，陡的地方框必須畫得窄，平緩的地方可以畫得寬。均勻連續問的是：把所有位置該用的寬度收在一起，最窄的那個還是不是正數。可用的寬度若沒有正的下限，答案就是否定的——要留意「陡度沒有上限」本身還不夠，§23-3 例 5 的開根號在原點就陡得沒有上限，卻仍然均勻連續。

23.2  LEMMA
f fails to be uniformly continuous on A ⊆ D(f) if and only if there exist ε₀ > 0 and two sequences X = (xₙ), Y = (yₙ) in A such that for every n ∈ ℕ
  ‖xₙ − yₙ‖ < 1/n  and  ‖f(xₙ) − f(yₙ)‖ ≥ ε₀.
要證明一個函數不均勻連續，不必檢查所有的 δ——只要交出一個固定的誤差 ε₀，以及兩條越靠越近、像卻始終分得開的數列。這是 23.1 的否定形式，把「對每個 δ 都失敗」換成一次交出所有反例。
正例：g(x) = 1/x 在 (0, ∞) 上取 xₙ = 1/(2n)、yₙ = 1/n，則距離小於 1/n，而像差是 2n − n = n ≥ 1，取 ε₀ = 1 即可。反例：兩條數列光是「越靠越近」不夠——f(x) = 2x 的任何兩條靠近的數列，像也跟著靠近，怎麼挑都交不出這樣的 ε₀。
PROOF

兩個方向都只是把 23.1 的定義逐字翻面，唯一需要外援的是「挑得到一個小於任意正數的 1/n」。

證明計畫 · 由所求想起
逆向（有這樣的兩條數列就不均勻）所求是：對每個候選的 δ 都指出它失敗。把 δ 換成一個編號——挑 n 使 1/n 比 δ 小，第 n 對點就是現成的反例。
正向所求是造出兩條數列。不均勻的意思是某個 ε₀ 沒有任何 δ 配得上，於是把 δ = 1/n 逐一送進去，每一次失敗都吐出一對點，收集起來就是兩條數列。

Proof.  Suppose such ε₀ and sequences exist, and let δ > 0 be given. By 6.7(b) choose n with 1/n < δ. Then ‖xₙ − yₙ‖ < δ while ‖f(xₙ) − f(yₙ)‖ ≥ ε₀, so this δ does not serve for ε₀. As δ was arbitrary, f is not uniformly continuous on A.
這一步的所求：把「兩條數列」翻譯成「每個 δ 都失敗」。橋樑是 §6-3 的 6.7(b)（任給正數都有某個 1/n 比它小，源自 Archimedean 性質）——它讓「用編號逼近」與「用任意正數逼近」變成同一件事。若把條件裡的 1/n 換成某個固定的正數，這一步立刻失效：小於那個定值的 δ 就再也找不到反例。
Conversely, suppose f is not uniformly continuous on A. Then some ε₀ > 0 admits no admissible δ. In particular δ = 1/n fails for each n, which means there are points xₙ, yₙ ∈ A with ‖xₙ − yₙ‖ < 1/n and ‖f(xₙ) − f(yₙ)‖ ≥ ε₀. These points form the required sequences.
這一步的所求：把否定敘述兌現成具體的點。要留意 ε₀ 是先選定再固定的——不均勻的定義說「存在一個 ε 使得每個 δ 都失敗」，這個 ε 從頭到尾同一個，所以兩條數列共用同一個門檻。若 ε 隨 n 改變，收集到的就不是一個反例而是一堆各說各話的東西。每個 n 各取一對點，取法不唯一，任取一組即可。
不均勻連續有了可以直接動筆的判準：交出一個門檻與兩條數列。∎
越靠越近 xₙ yₙ 像的距離始終不低於 ε₀ 一組門檻加兩條數列，就是一份不均勻的證物

這張圖在說 23.2 的證物長什麼樣：上排兩條數列的對應點一路貼近，下排它們的像卻始終隔著同一段距離。有了這幅畫面就不必再對每個 δ 逐一交代——任給一個 δ，往上排走到夠後面的編號就撞見反例。要留意兩條數列本身不必收斂，只要對應點的距離趨向零。

例 1倒數函數：換個定義域就恢復均勻
開頭算過 1/x 的 δ 會一路縮小。現在用 23.2 把它寫成一份正式的證物，再看看縮小的病灶到底在哪裡。
  1. 證不均勻：取 xₙ = 1/(2n)、yₙ = 1/n，兩者都落在 (0, ∞) 內。距離是
      |xₙ − yₙ| = 1/(2n) < 1/n，第一條過關。
  2. 像的距離是 |2n − n| = n ≥ 1，所以取 ε₀ = 1，第二條也過關。23.2 判定 g 在 (0, ∞) 上不均勻連續。要留意 g 在每一點都連續——不均勻不是某一點壞掉，是所有位置合起來湊不出一個通用的半徑。
  3. 換定義域：取 a = 0.5，只看 x ≥ 0.5。這時 δ(ε) = εa²/(1 + εa) = 0.25ε/(1 + 0.5ε)。ε = 0.1 時 δ ≈ 0.0238，對 x ≥ 0.5 的每一點都夠用。
  4. 拿最吃緊的位置驗一組：u = 0.5（新定義域的左端，也是最陡的地方），x = 0.5238，距離恰好貼著 δ ≈ 0.0238。誤差是
      |1/0.5238 − 2| ≈ 0.0909 < 0.1，
    過關而且沒剩多少餘地。換到平緩的 u = 3：同樣的 0.0238 位移只造成約 0.0026 的誤差，寬鬆得多。通用的 δ 就是被最陡的那個位置決定的。
  5. 第 1 步那兩條數列在新定義域裡消失了：1/(2n) 與 1/n 遲早跌破 0.5，不再是合法的取點。病灶就是那個被切掉的區域。
同一個公式，兩種答案。差別完全在定義域：(0, ∞) 讓函數可以無限陡，[0.5, ∞) 把陡度封了頂。「均勻連續」從來不是函數單獨的性質，是函數與定義域一起的性質——這也是 23.1 特地寫成「在集合 A 上均勻連續」的理由。
a u δ(ε, u) 越靠近零縮得越快 切在這裡就有正的下限

這張圖在說例 1 兩種答案的來源：橫軸是位置 u，縱軸是該位置可用的最大半徑。曲線在靠近零處貼著橫軸，所有半徑的 inf 因此是零，通用的 δ 不存在。把定義域從 a 往右切之後，可用的半徑全部不低於 a 那一點的值，而那是一個正數。切在哪裡決定下限有多大，可是只要切得掉靠近零的那一段就夠了。

例 2平方函數在整條數線上也不均勻
上一個例子的病灶是「靠近缺口時無限陡」。可是 x² 的定義域沒有缺口，它會不會就沒事了？
  1. 取 f(x) = x²，D(f) = ℝ。挑 xₙ = n + 1/(2n)、yₙ = n。距離是 1/(2n) < 1/n，第一條過關。
  2. 像的距離：
      xₙ² − yₙ² = 1 + 1/(4n²) > 1。
    取 ε₀ = 1，第二條過關。23.2 判定 f 在 ℝ 上不均勻連續。
  3. 機制與例 1 不同：這次不是靠近某個缺口，而是跑向無限遠。位置越遠，同樣的橫向位移造成的縱向變化越大，可用的 δ 因此一路縮小到沒有正的下限。
  4. 把定義域關進 [0, 3] 就不同了：|x² − u²| = |x + u||x − u| ≤ 6|x − u|，取 δ(ε) = ε/6 對這個區間上每一對點都成立。ε = 0.1 時 δ ≈ 0.0167。
兩個例子的病灶不同——一個是定義域有缺口，一個是定義域無界——可是治法一樣：把定義域關進一個 closed 且 bounded 的集合。這不是巧合，下一篇會證明它從來不是巧合。
—— 第一階段到此結束 ——

本篇把 δ 對位置的依賴攤開來看：1/x 在 (0, ∞) 上可用的半徑一路縮到零，均勻連續（23.1）要求的正是這件事不發生。23.2 給了否定方向的判準——一個固定的門檻加兩條越靠越近、像卻分得開的數列，比逐一檢查每個 δ 省事得多。例 1 與例 2 各示範一種病灶：定義域有缺口、定義域無界；兩者的治法卻是同一個。起來走走再回來，下一篇把那個治法寫成定理。