Proof. Applying the contraction condition to the recursion gives ‖x_{n+1} − xₙ‖ = ‖f(xₙ) − f(x_{n−1})‖ ≤ C‖xₙ − x_{n−1}‖, and hence, by induction, ‖x_{n+1} − xₙ‖ ≤ C^{n−1}‖x₂ − x₁‖ for every n.
If m > n, inserting the intermediate terms and summing the estimates gives ‖x_m − x_n‖ ≤ (C^{n−1} + ⋯ + C^{m−2})‖x₂ − x₁‖, and since 0 < C < 1 the bracket is at most C^{n−1}/(1 − C). Hence ‖x_m − x_n‖ ≤ [C^{n−1}/(1 − C)] ‖x₂ − x₁‖.
這一步的所求：把「相鄰項靠近」升級成「任意兩項靠近」，這是 Cauchy 定義要的形狀。做法是把 x_m 到 x_n 的路程拆成一段一段相鄰的跳躍，用三角不等式相加；而右邊那串等比和不管加多少項都不超過 C^{n−1}/(1 − C)——上界只跟起點編號 n 有關，與 m 無關，這一點是下一步的關鍵。
Because 0 < C < 1, the sequence (C^{n−1}) converges to 0; so given ε > 0 the right-hand side is smaller than ε for all large n. Thus (xₙ) is a Cauchy sequence and, by 16.10, converges to some u ∈ ℝᵖ.
這一步兌現完備性。Cauchy 判準在這裡不可替代——我們手上根本沒有極限的候選人，所以任何需要先寫出極限的判準都用不上，而 §16-5 的 16.10 恰好不需要。上一步「上界與 m 無關」在這裡見效：Cauchy 的定義要求編號都夠大的任意兩項靠近，而我們的上界只看較小的那個編號。
Finally, a contraction is continuous (it satisfies a Lipschitz condition), so letting n → ∞ in x_{n+1} = f(xₙ) and using 20.2(c) gives u = f(u).
Proof. Suppose u and v are both fixed points. Then ‖u − v‖ = ‖f(u) − f(v)‖ ≤ C‖u − v‖. If u ≠ v then ‖u − v‖ > 0 and dividing by it gives 1 ≤ C, contrary to C < 1. Hence u = v.
這一步的所求：讓兩個不動點自相矛盾。左邊那個等號是全部的機關——不動點讓 u 與 f(u) 是同一個東西，於是「兩點的距離」與「兩個像的距離」變成同一個數，而 contraction 說後者嚴格小於前者（距離不為零時）。一個正數不可能小於自己，所以距離只能是零。這裡看得出 C = 1 為什麼不行：那時不等式變成 ‖u − v‖ ≤ ‖u − v‖，永遠成立，什麼都推不出來。
倍率嚴格小於 1 同時買下存在與唯一。∎
這張圖在說 23.5 的建構：從任意一點 x₁ 出發反覆代入，相鄰兩步的跨距每次乘上同一個小於 1 的倍率，於是路徑的總長有限，點列被迫聚攏。圖上的路線可以繞、可以來回，收斂與方向無關——真正起作用的只有跨距的等比崩塌。終點 u 不隨出發點改變，因為第二段證明排除了第二個不動點。
23.6 COROLLARY
With f, C and (xₙ) as above, the sequence converges to the unique fixed point u with the estimate ‖u − xₙ‖ ≤ [C^{n−1}/(1 − C)] ‖x₂ − x₁‖.
走到第 n 步時離答案還有多遠，只看兩樣東西：倍率 C 與第一步的長度，完全不必知道答案是什麼。這正是這條定理在實際計算裡的價值——它自帶一份誤差保證，可以拿來決定要迭代幾輪。
Proof. Fix n and let m → ∞ in the inequality ‖x_m − xₙ‖ ≤ [C^{n−1}/(1 − C)] ‖x₂ − x₁‖. The left side tends to ‖u − xₙ‖ and the right side does not depend on m, so 15.8 gives the stated estimate.