§14-3  唯一性、有界性與逐座標

一個數列有沒有可能收斂到兩個不同的值？收斂的數列會不會跑到無限遠？而 ℝᵖ 的收斂，能不能整個化約成 p 個實數列的收斂？

定義立好之後的三筆紅利

新工具剛磨好的時候，值得先問三個最基本的問題，因為它們的答案會被後面每一節反覆使用：極限會不會有兩個？收斂的數列會不會跑到無限遠？高維的收斂能不能拆成一維來看？三個問題的答案分別是不會、不會、可以，而三份證明用到的工具不出三樣：收斂的定義（§14-2 的 14.4 或它的鄰域原形 14.3）、三角不等式，以及 §8 的分量-範數換算。

極限至多一個（14.5）

§14-2 末尾用了「那個極限」這種寫法，還有 x = lim X 這個等號——兩者都預設了極限不會有第二個。這筆帳現在還。

14.5  UNIQUENESS OF LIMITS
A sequence in ℝᵖ has at most one limit.
ℝᵖ 中的數列至多只有一個極限——可能一個都沒有（發散），但絕不會有兩個。
正例：((n + 1)/n) 的極限是 1，而且只能是 1——換成 1.001 就會有無限多項落在 ε = 0.0005 的範圍外。反例：((−1)ⁿ) 一個極限都沒有——「至多一個」不保證「至少一個」，這兩件事要分開記。
PROOF

反證。設 x′ 與 x″ 都是 X = (xₙ) 的極限，且 x′ ≠ x″。

證明計畫 · 由所求想起
要證：兩個相異的極限不可能並存。
⇢ 兩點相異就有一段正的距離，把這段距離對半分，各畫一顆球——兩顆球碰不到。
⇢ 兩個極限各自保證「某項之後全在自己那顆球裡」；取比兩個起算點都大的一項。
⇢ 這一項同時在兩顆碰不到的球裡，矛盾。
Proof.  Write r = ‖x′ − x″‖ / 2, a strictly positive number because x′ ≠ x″. Let V′ and V″ be the open balls of radius r centred at x′ and at x″. These two balls share no point: were y in both, the Triangle Inequality would give ‖x′ − x″‖ ≤ ‖x′ − y‖ + ‖y − x″‖ < r + r = ‖x′ − x″‖, which is absurd.
第一步造出兩個互不相交的 neighborhood。所求：一個能把 x′ 與 x″ 徹底隔開的裝置；既然它們相異，兩者的距離 ‖x′ − x″‖ 是個正數，把它對半分就是現成的隔離半徑。取 r 為距離的一半，各畫一顆半徑 r 的 open ball。為什麼兩顆碰不到？因為一個同時屬於兩顆球的點 y，會讓 x′ 到 x″ 的距離被兩段各短於 r 的路徑接起來（§8-2 的 8.7 給的三角不等式），總長嚴格小於 2r，也就是嚴格小於它自己。具體：x′ = 0、x″ = 1 時 r = 1/2，兩顆球是 (−1/2, 1/2) 與 (1/2, 3/2)，確實不相交。
Since x′ is a limit, Definition 14.3 supplies K′ with xₙ ∈ V′ for all n ≥ K′; since x″ is a limit, it supplies K″ with xₙ ∈ V″ for all n ≥ K″. Take K to be the larger of K′ and K″. Then x_K lies in V′ and in V″ at once, contradicting the fact that the two balls share no point. Hence x′ = x″.
第二步讓兩份保證撞在一起。因為 x′ 是極限，14.3（每個 neighborhood 都有一個起算點，之後全數在內）對 V′ 交出 K′；同理對 V″ 交出 K″。兩個起算點各管各的，取兩者中較大的 K，第 K 項就同時受兩份保證管轄——它非在 V′ 裡不可，也非在 V″ 裡不可。可是第一步剛證了兩顆球連一個共同點都沒有。矛盾的源頭只有「x′ ≠ x″」這個假設，所以兩個極限其實是同一個。手法與 §14-2 例 4（((−1)ⁿ) 發散）同源：那裡是兩項對撞，這裡是兩個候選極限對撞。
極限至多一個，於是 lim X 這個記號指得明確，x = lim X 的等號也名正言順。∎
x′ x″ V′：半徑 r V″：半徑 r ‖x′ − x″‖ ＝ 2r 兩塊恰好在中點接壤、互不重疊——x_K 進不了兩邊

這張圖在證 14.5 的矛盾機制（本證明走反證，畫的是假想兩個極限時的崩塌）：把 x′ 與 x″ 的距離對半分，各取半徑 r，兩塊在中點接壤而不重疊。可是兩個極限各自要求「夠後面的項全在自己這邊」，取起算點較大的那個，第 K 項就得同時站在兩邊。

收斂的數列跑不遠（14.6）

第二筆紅利要先立一個詞。

DEFINITION · bounded sequence
A sequence X = (xₙ) in ℝᵖ is called bounded when some M > 0 satisfies ‖xₙ‖ ≤ M for every n ∈ ℕ.
數列 X = (xₙ) 為 bounded（有界），意思是存在一個 M > 0，使每一項都滿足 ‖xₙ‖ ≤ M——整條數列裝得進以原點為心、半徑 M 的球。這等於說它的值集合是 §10-1 意義下的 bounded 集合（10.1）。
正例：((−1)ⁿ) 是 bounded——取 M = 1，每一項的絕對值都恰好是 1。它發散，卻有界；有界推不出收斂。反例：(2n) 不是 bounded——不論 M 取多大，§6-3 的 Archimedean 性質（6.6）都交得出一個 n 使 2n > M。
14.6  LEMMA
Every convergent sequence in ℝᵖ is bounded.
ℝᵖ 中收斂的數列必定 bounded。
正例：(1/n) 收斂到 0，也確實有界（M = 1 就夠）。反例：逆命題不成立——((−1)ⁿ) 有界卻發散。這條引理只有單向，把它讀成雙向是常見的誤用。
PROOF

設 x = lim (xₙ)。要造出一個 M 罩住所有項。

證明計畫 · 由所求想起
⇢ 把數列切成兩段：「夠後面的」與「前面有限多項」。
⇢ 後段離 x 不遠——用 14.4 取 ε = 1，再由三角不等式換算成離原點不遠。
⇢ 前段只有有限多項，取其中最大的那個長度即可。
⇢ 兩段各有上界，取較大者當 M。
Proof.  Apply Theorem 14.4 with ε = 1: there is a natural number K such that ‖xₙ − x‖ < 1 whenever n ≥ K. For those n the Triangle Inequality gives ‖xₙ‖ = ‖(xₙ − x) + x‖ ≤ ‖xₙ − x‖ + ‖x‖ < ‖x‖ + 1.
先處理後段。所求：一個管得住「第 K 項以後全部」的界；收斂本來就只保證後段的事，所以後段是免費的。把 ε = 1 餵給 14.4（每個 ε 都換得到一個起算點）——ε 取 1 沒有特別理由，取 0.5 或 7 都行，只要固定一個就好。得到的 K 保證此後每項離 x 不到 1。可是我們要的是離原點多遠，不是離 x 多遠，於是插一步三角不等式：xₙ 到原點的長度，不超過「xₙ 到 x」加上「x 到原點」，也就是不超過 ‖x‖ + 1。具體：x = 3 時後段全落在 (2, 4) 內，長度不超過 4。
The remaining terms x₁, ⋯, x_{K−1} are finitely many, so among the numbers ‖x₁‖, ⋯, ‖x_{K−1}‖ and ‖x‖ + 1 there is a largest; call it M. Then M > 0 and ‖xₙ‖ ≤ M for every n ∈ ℕ, so the sequence is bounded.
再處理前段，這一步靠的是有限。因為 K 是自然數，x₁ 到 x_{K−1} 只有有限多項，這有限多個長度裡挑得出最大的一個——有限集必有最大元素，不必動用 §6-2 的完備性公理（6.4）。把它與後段的界 ‖x‖ + 1 放在一起再取最大，得到的 M 兩段通吃。M 為正是因為它至少等於 ‖x‖ + 1 ≥ 1。這裡藏著本證明的全部關鍵：收斂只管得到後段，前段之所以不礙事，純粹是因為它只有有限多項——若前段有無限多項，這招立刻失效。
收斂的數列裝得進一顆固定的球。∎
x 後段：離 x 不到 1 x₁x₂x_{K−1} 前段：只有有限多項 半徑 M 兩段的界取最大 ⟹ 全部裝得下

這張圖在證 14.6 的分段策略：後段（紅）被收斂本身鎖在 x 附近寬度 2 的範圍內；前段（灰）雖然可能離得很遠，卻只有有限多項，逐一量長度再取最大即可。兩段的界一取最大，就是罩住整條數列的 M。

高維拆成一維（14.7）

第三筆紅利最實用。ℝᵖ 的收斂看起來比 ℝ 複雜，其實只是記號比較長：ℝᵖ 的一個數列可以拆成 p 條實數列（第一座標一條、第二座標一條⋯），而整條的收斂與這 p 條的收斂是同一件事。

先把記號攤開。ℝᵖ 的元素寫成 p 元組 x = (x₁, x₂, ⋯, x_p)，於是數列 (xₙ) 的第 n 項是 xₙ = (x₁ₙ, x₂ₙ, ⋯, x_{pn})，兩個下標分別是「第幾個座標」與「第幾項」。固定第一個下標讓第二個跑，就得到 p 條實數列 (x₁ₙ), (x₂ₙ), ⋯, (x_{pn})。

14.7  THEOREM
Let (xₙ) be a sequence in ℝᵖ with xₙ = (x₁ₙ, ⋯, x_{pn}), and let y = (y₁, ⋯, y_p). Then (xₙ) converges to y if and only if each of the p real sequences (x₁ₙ), ⋯, (x_{pn}) converges to the corresponding y₁, ⋯, y_p.
ℝᵖ 的數列 (xₙ) 收斂到 y 的充要條件：p 條座標數列 (x₁ₙ), ⋯, (x_{pn}) 各自收斂到對應的 y₁, ⋯, y_p。
正例：ℝ² 中 xₙ = (1/n, (n + 1)/n) 收斂到 (0, 1)——因為 (1/n) → 0、((n + 1)/n) → 1，兩條都收斂。反例：xₙ = (1/n, (−1)ⁿ) 不收斂——第一座標乖乖收斂到 0，但第二座標發散，一條壞掉就全盤壞掉；充要條件是「每一條都要」。
PROOF

兩個方向都用 §8-3 的 8.10：|xᵢ| ≤ ‖x‖ ≤ √p · sup{|x₁|, ⋯, |x_p|}。左半把「整體小」壓成「分量小」，右半反過來。

證明計畫 · 由所求想起
⇢ 「整體收斂 ⟹ 逐座標收斂」：8.10 的左半——分量藏不進短向量，同一個 K 全體通用。
⇢ 「逐座標收斂 ⟹ 整體收斂」：8.10 的右半有個 √p 的換算率，所以要求每條座標數列先做到 ε/√p，再取 p 個起算點中最大的。
Proof.  Suppose xₙ → y and let ε > 0. Theorem 14.4 gives K(ε) with ‖xₙ − y‖ < ε for n ≥ K(ε). Since the j-th coordinate of xₙ − y is xⱼₙ − yⱼ, the left half of Theorem 8.10 yields |xⱼₙ − yⱼ| ≤ ‖xₙ − y‖ < ε for every j and every n ≥ K(ε). Hence each coordinate sequence converges to its yⱼ.
正方向不必費力。因為 xₙ → y，14.4 對給定的 ε 交出一個 K(ε)，此後整個向量離 y 不到 ε。而 8.10 的左半（每個分量的絕對值不超過整條向量的長度）說：向量短，它的每個分量就必定短——同一個 K(ε) 對 p 條座標數列全部通用，一個都不必另外找。具體：p = 2、‖xₙ − y‖ < 0.01 時，兩個座標各自的誤差都不超過 0.01。
Conversely, suppose each (xⱼₙ) converges to yⱼ, and let ε > 0. Applying Theorem 14.4 to the j-th coordinate sequence with the tolerance ε/√p produces Mⱼ such that |xⱼₙ − yⱼ| < ε/√p for n ≥ Mⱼ. Let M be the largest of M₁, ⋯, M_p. For n ≥ M all p estimates hold simultaneously, so the right half of Theorem 8.10 gives ‖xₙ − y‖ ≤ √p · sup_j |xⱼₙ − yⱼ| < √p · (ε/√p) = ε. Therefore xₙ → y.
反方向要多做兩件事，而且都不能省。第一件是預留換算率：8.10 的右半說整條長度可能是最大分量的 √p 倍，所以若只要求每條座標做到 ε，合起來只保證得到 √p · ε，超標。對策是先把標準收緊成 ε/√p，讓 √p 倍放大之後恰好回到 ε——√p 的來歷是畢氏定理跨 p 個座標。第二件是統一起算點：p 條座標數列各自交出的 Mⱼ 未必相同，取其中最大的 M，之後 p 條估計才同時有效——這一步靠的又是「只有有限多條」，與 14.6 取有限多個長度的最大值同一個道理。具體：p = 2、ε = 0.1 時，兩條座標各做到 0.1/√2 ≈ 0.0707，合起來的長度不超過 √2 × 0.0707 = 0.1。
ℝᵖ 的收斂問題就此化約成 p 個 ℝ 的收斂問題——高維並沒有帶來新的困難，只帶來比較長的下標。∎
y y₁ y₂ 第一座標的數列 → y₁ 第二座標的數列 → y₂

這張圖在說 14.7 的雙向都在看什麼：平面上的藍點列往 y 靠攏，兩條灰色投影就分別往 y₁ 與 y₂ 靠攏；反過來，兩條投影各自靠攏也逼得藍點列非靠攏不可——代價只是把每條座標的標準先收緊成 ε/√p。

—— 第三階段到此結束 ——

三筆紅利入帳：極限至多一個（14.5），所以 lim X 這個記號站得住；收斂必定有界（14.6），而反過來不成立；高維的收斂等於逐座標收斂（14.7），於是往後只要把一維做對，高維就跟著對。三份證明的共同結構值得記一下——都是「把無限多項切成有限的前段與受控的後段」。下一篇 §14-4 動手算：五個具體數列的極限，外加一條讓計算變輕鬆的比較定理。喝口水、伸展一下再繼續，接下來是本節最需要紙筆的一篇。