§14-2  收斂的定義

「愈來愈靠近某個值」要怎麼寫，才擋得住「碰巧路過」與「進去又跑掉」這兩種假象？用 neighborhood 寫下的定義，和用 norm 與 ε 寫下的判準，是不是同一句話？

「愈來愈靠近」要寫成什麼樣子

導航一路報距離：還有 500 公尺、300 公尺、120 公尺、40 公尺⋯⋯什麼時候可以說「到了」？嚴格講永遠沒到——報出來的數字始終是正的。可是換個問法就有答案了：你要多近？說 50 公尺以內，過一會兒就達標；說 1 公尺以內，再等一下也達標。不論把標準訂得多苛，總有一個時刻起，之後全程都在標準內。

「愈來愈靠近某個值」的精確意思就是這個：不是某一項終於碰到目標，而是任何精度要求都滿足得了，而且從某一項起永遠滿足。定義要抓的是這句話，抓不好就會漏掉兩個陷阱——只有一項達標不算（碰巧路過不叫靠近），達標之後又跑掉也不算。

「多近」這件事，§9-3 的 neighborhood（9.7）已經有現成的語言：x 的 neighborhood 就是「含著某個裝著 x 的 open set」的集合，要多小有多小。先用它把定義寫下來。

官方定義：limit 與 convergent（14.3）

14.3  DEFINITION
Let X = (xₙ) be a sequence in ℝᵖ. Call an element x of ℝᵖ a limit of X when every neighborhood V of x admits a natural number K_V past which the sequence never leaves V: that is, xₙ ∈ V holds for every n ≥ K_V.
In that case X is said to converge to x. A sequence owning a limit is convergent; one owning none is divergent.
x 是數列 X = (xₙ) 的 limit（極限），意思是：對 x 的每一個 neighborhood V，都找得到一個自然數 K_V，使得從第 K_V 項起所有的 xₙ 都落在 V 裡。此時說 X converges（收斂）到 x；有極限的數列稱 convergent，沒有的稱 divergent（發散）。
正例：xₙ = 1/n 收斂到 0——任給 0 的一個 neighborhood，它含著某個 (−r, r)，而 n 夠大時 1/n < r，之後全數在內。反例：xₙ = (−1)ⁿ 沒有極限——不論候選人是誰，取夠小的 neighborhood，總有無限多項在外面（例 4 會逐步驗）。
前面幾項愛跑哪跑哪，K 之後一律在 V 內 V x x₁x₂x₃x₄ x_K K 之前：不受約束 K 之後：全部在 V 內

這張圖在說 14.3 的兩個陷阱怎麼被擋掉：定義不要求任何一項等於 x（紅點只是目標，藍點永遠可以離它有段距離），也不允許「進去又跑掉」——K_V 之後是全部，一項例外都不行。至於 K_V 之前的項，定義完全不管。

下標 V 是提醒：K 是跟著 V 走的，不是一個固定的數。V 收得越緊，通常就得等越久——這件事例 3 會用具體數字演一次。

換成 norm 的說法（14.4）

用 neighborhood 寫定義的好處是它不依賴任何度量，壞處是不好算。ℝᵖ 手上有 norm，可以把同一句話翻譯成一條能動手驗算的判準。

14.4  THEOREM
Let X = (xₙ) be a sequence in ℝᵖ and let x ∈ ℝᵖ. Then x is a limit of X precisely when, to every ε > 0, there corresponds a natural number K(ε) such that ‖xₙ − x‖ < ε for all n ≥ K(ε).
x 是 X = (xₙ) 的極限的充要條件：對每個 ε > 0，都存在自然數 K(ε)，使得 n ≥ K(ε) 時 ‖xₙ − x‖ < ε。
正例：xₙ = 1/n、x = 0 時判準可以真的動手驗——給 ε = 0.01 取 K = 101，此後 |1/n − 0| = 1/n ≤ 1/101 < 0.01。反例：判準裡的 ε 不准「只驗一個」——xₙ = (−1)ⁿ 與 x = 0 在 ε = 3 時每一項都過關（|xₙ| = 1 < 3），可是 ε = 1/2 一來就全數失守。「對每個 ε」的每個字都不能省。
PROOF

兩個方向都要證。關鍵的橋是 §8-3 的 open ball（8.9）：以 x 為心、ε 為半徑的 V(ε) = {y ∈ ℝᵖ : ‖y − x‖ < ε}，一邊是 neighborhood 的一種，另一邊就是 ‖xₙ − x‖ < ε 這個條件本身。

證明計畫 · 由所求想起
要證兩句話等價。
⇢ 「定義 ⟹ 判準」：任給 ε，拿半徑 ε 的球當 neighborhood 去用定義，直接讀出 K。
⇢ 「判準 ⟹ 定義」：任給 neighborhood V，先從它裡面挖出一顆以 x 為心的球，再把球的半徑當成 ε 餵給判準。
Proof.  Suppose first that x is a limit in the sense of Definition 14.3, and let ε > 0 be given. The open ball V(ε) = {y ∈ ℝᵖ : ‖y − x‖ < ε} is one of the neighborhoods of x, so the definition supplies a natural number K with xₙ ∈ V(ε) for every n ≥ K. Membership in V(ε) says exactly that ‖xₙ − x‖ < ε, which is the asserted property.
第一個方向幾乎是翻譯。所求：從「每個 neighborhood 都辦得到」擠出「每個 ε 都辦得到」；辦法是只挑那些長得像球的 neighborhood 來用。任給 ε > 0，以 x 為心、ε 為半徑的 open ball V(ε) 是 open set 且含著 x，所以它是 x 的一個 neighborhood（9.7：含著某個裝著 x 的 open set 的集合）。因為 14.3 對每一個 neighborhood 都保證有 K，它對這一個當然也有。而「xₙ 落在 V(ε) 裡」與「‖xₙ − x‖ < ε」是同一句話寫兩次——判準到手。
Conversely, assume the ε-condition holds and let V be any neighborhood of x. By the definition of neighborhood, V contains an open set holding x, and therefore contains an open ball V(ε) of some radius ε > 0 centred at x. Feed that particular ε to the hypothesis: it returns K(ε) with ‖xₙ − x‖ < ε for all n ≥ K(ε), that is, xₙ ∈ V(ε) ⊆ V. So Definition 14.3 is met with K_V = K(ε).
反方向多一個步驟：V 是任意的 neighborhood，形狀可以很怪，不能直接拿來當球用。所求：在怪形狀的 V 裡面找出一顆球——這正是 §9-3 例 1 早就辦好的事：V 是 x 的 neighborhood ⟺ 有一顆以 x 為心的 open ball 整顆住進 V。取出那顆球的半徑當作 ε 餵給假設，換回一個 K(ε)；此後每一項都落在球裡，而球又整個躺在 V 裡，於是每一項也都在 V 裡。14.3 要的 K_V 就取這個 K(ε)。具體：V 是邊長 0.2 的正方形時，內接的球半徑 ε = 0.1，拿 0.1 去問判準即可。
兩個方向合攏：neighborhood 版與 ε-K 版說的是同一件事。往後要驗算就用 14.4，要推理（尤其是與拓撲概念接軌時）就用 14.3。∎
記號約定：當 X = (xₙ) 有極限 x 時，寫成 x = lim X、x = limₙ (xₙ)，或 xₙ → x。這裡用了定冠詞式的寫法「那個極限」——它預設極限至多只有一個，這件事還沒證，§14-3 的 14.5 會補上。
例 3K 跟著 ε 走：拿 xₙ = (n + 1)/n 排一張表
定義裡最容易讀漏的是 K 對 ε 的依賴。用具體數字排一次，就知道那個下標不是裝飾。
對 xₙ = (n + 1)/n 與候選極限 x = 1，針對幾個 ε 各算出一個可用的 K(ε)。
  1. 先算距離：|xₙ − 1| = |(n + 1)/n − 1| = 1/n。所求變成「1/n < ε 從第幾項起成立」。
  2. 因為 1/n 隨 n 遞減，只要找到一個 K 使 1/K < ε，往後就全數成立。§6-3 的 6.7(b)（任給正數 z，有自然數 n 使 0 < 1/n < z）保證這個 K 找得到——這一步是 Archimedean 性質在出力，不是「顯然」。
  3. 排表：ε = 0.1 取 K = 11；ε = 0.01 取 K = 101；ε = 0.001 取 K = 1001。標準每嚴 10 倍，起算點就往後推約 10 倍。
  4. 反過來檢查「只驗一個 ε」有多不夠：ε = 0.1 時 K = 11 確實有效，但這完全不能保證 ε = 0.001 也有 K——要所有 ε 都交得出 K，才叫收斂。
lim ((n + 1)/n) = 1。表格說的是：K 沒有上限，可以要多大有多大，但對每一個給定的 ε，它是個確確實實存在的自然數。收斂要求的是「永遠交得出來」，不是「交得出一個很小的」。
1 K(ε₁) K(ε₂) 寬帶 ε₁ 窄帶 ε₂ ＜ ε₁ 帶子收窄，起算點就往右移——K 是 ε 的函數

這張圖在證例 3 那張表的意思：以 1 為中心畫兩條寬度不同的帶。寬帶 ε₁ 從 K(ε₁) 起就收得住所有點；換成窄帶 ε₂，前面幾點被擠了出去，起算點只好往右退到 K(ε₂)。收斂要的是每一條帶都有這樣一個起算點。

例 4((−1)ⁿ) 發散：把所有候選人一次刷掉
證明「收斂」只要交出一個 x 與一套 K(ε)；證明「發散」卻要否決每一個候選人。這是量詞翻面的第一次練習。
證明沒有任何 x ∈ ℝ 是 xₙ = (−1)ⁿ 的極限。
  1. 反證：設某個 x 是極限。取 ε = 1，由 14.4 得到 K，使 n ≥ K 時 |xₙ − x| < 1。
  2. K 之後既有偶數項也有奇數項——取一個偶數 m ≥ K 與一個奇數 m′ ≥ K，則 x_m = 1、x_{m′} = −1，兩者都得滿足那個不等式：|1 − x| < 1 且 |−1 − x| < 1。
  3. 可是由 §5-4 的三角不等式（5.12），2 = |1 − (−1)| = |(1 − x) + (x − (−1))| ≤ |1 − x| + |x + 1| < 1 + 1 = 2——推出 2 < 2，矛盾。
((−1)ⁿ) 是 divergent。刷掉候選人的手法值得記住：兩個相距 2 的值都得擠進同一條寬度 2 的帶裡，而帶子裝不下。這個「拿兩項互相對撞」的招數，§14-3 的 14.5 會原封再用一次，用來證極限唯一。
1 −1 任何候選 x 的 ε＝1 帶 帶寬只有 2，而兩排點的落差正好是 2 兩排都要進來——不可能

這張圖在證例 4 的矛盾機制（本例走反證，圖畫的是假想極限的破綻）：不論把 ε = 1 的帶放在哪個高度，它的總寬度是 2，開區間裝不下相距恰為 2 的兩個值。而 K 之後奇項偶項都還有無限多個，兩排非進來不可。

—— 第二階段到此結束 ——

收斂有了兩個等價的說法：neighborhood 版（14.3）好推理，ε-K 版（14.4）好驗算，而它們是同一句話。定義的兩個關鍵字也點清楚了——「每一個 ε」不准只驗一個，「K 之後全部」不准有例外。例 4 順手示範了發散怎麼證：否決所有候選人，靠的是兩項對撞。下一篇 §14-3 用這副新工具收三筆紅利：極限唯一、收斂必有界、高維收斂可以拆成逐座標收斂。站起來走一走，讓 ε 沉澱一下。