§15-1 子數列

按原順序跳著取出無限多項，這個動作要怎麼精確定義？取出來的那條數列會繼承原來的收斂嗎？而丟掉開頭有限多項，極限會不會改變？

從一條數列裡挑出一條

氣象站每天記一次氣溫，一年下來是一串 365 個數。如果只看每個月 1 號那幾天，就得到另一串 12 個數——順序沒有打亂，只是跳著取。健身房每天量體重，只看每週一的；股價每分鐘一筆，只看每小時整點的。這種「按原順序跳著取」的動作，做在無限長的數列上，得到的還是一條無限長的數列。

這件事之所以值得單獨立一個名字，是因為挑出來的那條會繼承原來那條的很多性質——而且反過來，想證明原來那條不收斂時，挑出一條不聽話的往往是最省事的辦法。§14-2 例 4 證 ((−1)ⁿ) 發散時，其實已經偷偷用了這個想法：奇數項與偶數項各自成一條，往兩個地方去。

「跳著取」要精確化，關鍵是選取的規則本身也是一條數列——選第幾項的那些編號，必須嚴格遞增，才不會回頭、也不會原地踏步。

官方定義：subsequence（15.1）

15.1 DEFINITION

Let X = (xₙ) be a sequence in ℝᵖ and let r₁ < r₂ < ⋯ < rₙ < ⋯ be a strictly increasing sequence of natural numbers. The sequence X′ = (x_{r₁}, x_{r₂}, ⋯, x_{rₙ}, ⋯) in ℝᵖ is then called a subsequence of X.

取一串嚴格遞增的自然數 r₁ < r₂ < ⋯ 當作編號，照這串編號從 X = (xₙ) 抽出對應的項，排成 X′ = (x_{r₁}, x_{r₂}, ⋯)，就稱 X′ 是 X 的一個 subsequence（子數列）。

正例：X = (1, 2, 3, 4, ⋯) 取 rₙ = 2n，得子數列 (2, 4, 6, ⋯)——編號 2 < 4 < 6 < ⋯ 嚴格遞增。反例：(x₃, x₁, x₂, x₄, ⋯) 不是子數列——編號 3, 1, 2, 4 沒有遞增，順序被打亂了；(x₁, x₁, x₂, x₂, ⋯) 也不是——編號原地踏步，不是嚴格遞增。

這張圖在說 15.1 挑的是什麼：上排是原數列，藍色的四項被選中，依原順序落成下排的子數列。選取規則只有一條硬性要求——編號必須嚴格遞增，所以既不會漏掉順序，也不會重複取同一項。

換個角度看，子數列就是函數的複合。取一個定義域與值域都在 ℕ 裡、且嚴格遞增的函數 g（n < m 時 g(n) < g(m)），把它接在 X 前面，得到 X ∘ g = (x_{g(n)} : n ∈ ℕ)——正是一個子數列。反過來，每個子數列都是某個這樣的 g 複合出來的（g(n) 就取成 rₙ）。既然 §14-1 的 14.1 把數列定義成函數，這個看法不是類比，是字面上的事實。

子數列繼承極限（15.2）

第一條性質，也是往後最常用的一條。

15.2 LEMMA

If a sequence X in ℝᵖ converges to x, then every subsequence of X converges to x as well.

若 X 收斂到 x，則 X 的每一個子數列也都收斂到同一個 x。

正例：(1/n) → 0，於是子數列 (1/2, 1/4, 1/6, ⋯) 與 (1/1, 1/10, 1/100, ⋯) 也都 → 0。反例：逆命題不成立——((−1)ⁿ) 的子數列 (x₂, x₄, x₆, ⋯) = (1, 1, 1, ⋯) 收斂到 1，但原數列發散；某一個子數列收斂，推不出原數列收斂。

PROOF

設 X = (xₙ) 收斂到 x，X′ = (x_{rₙ}) 為其子數列，編號 r₁ < r₂ < ⋯ 嚴格遞增。

證明計畫 · 由所求想起
⇢ 要證：任給 x 的 neighborhood，子數列從某項起全在裡面。
⇢ 原數列已經交出一個起算點；問題是子數列的第 n 項，在原數列裡排第幾？
⇢ 只要證明編號跑得不比 n 慢（rₙ ≥ n），原數列的起算點就原封可用。

Proof. First observe that rₙ ≥ n for every n, by induction: r₁ is a natural number, so r₁ ≥ 1; and if rₙ ≥ n, then r_{n+1} > rₙ ≥ n forces r_{n+1} ≥ n + 1, since r_{n+1} is a natural number exceeding n.

先辦一件看起來多餘、其實非辦不可的事：證明 rₙ ≥ n。直覺上「編號嚴格遞增所以跑得比 n 快」很明顯，但它是一條要證的敘述，而不是定義的一部分——定義只說了相鄰兩個編號一個比一個大。歸納法兩行結案：起點 r₁ 是自然數，最小就是 1，所以 r₁ ≥ 1；歸納步中，因為 r_{n+1} > rₙ 而 rₙ ≥ n，所以 r_{n+1} 是一個嚴格大於 n 的自然數，於是至少是 n + 1。具體：編號取 2, 3, 5, 7, ⋯ 時 r₃ = 5 ≥ 3，確實不落後。

Now let V be any neighborhood of x. Since X converges to x, Definition 14.3 supplies K_V such that xₘ ∈ V for every m ≥ K_V. If n ≥ K_V, then rₙ ≥ n ≥ K_V, so x_{rₙ} ∈ V. Hence the same K_V works for X′, and X′ converges to x.

主論證只有一步。任給 x 的 neighborhood V，14.3（每個 neighborhood 都有起算點，之後全數在內）替原數列交出 K_V。現在問子數列的第 n 項：它在原數列裡的編號是 rₙ，而 rₙ ≥ n，所以只要 n ≥ K_V，就有 rₙ ≥ K_V——這一項落在原數列已被保證的範圍內，因此在 V 裡。連新的起算點都不必找：原數列的 K_V 對子數列原封有效。

收斂會被完整繼承——挑出來的那條，去的還是同一個地方。∎

這張圖在證 15.2 那條容易被跳過的前提：編號 rₙ（藍點，這裡是 2, 3, 5, 7）永遠不低於虛線 rₙ = n。理由是每往前一項編號至少加 1，而起點 r₁ 已經至少是 1——正因為它追得上，原數列的起算點 K_V 才能原封拿給子數列用。

這條引理最常見的用法其實是反過來用：它說收斂的數列，所有子數列都往同一處去。於是只要找得出兩個子數列跑向不同的地方，原數列就不可能收斂——一次否決所有候選極限，不必像 §14-2 例 4 那樣逐個對付。§15-2 的 15.4 會把這個想法寫成正式判準。

丟掉開頭幾項不影響極限（15.3）

15.3 COROLLARY

If X = (xₙ) converges to x ∈ ℝᵖ and m is any natural number, then the sequence X′ = (x_{m+1}, x_{m+2}, ⋯) converges to x too.

若 X = (xₙ) 收斂到 x，則丟掉前 m 項之後剩下的 X′ = (x_{m+1}, x_{m+2}, ⋯) 也收斂到同一個 x。

正例：(1/n) 丟掉前 1000 項，剩下的仍收斂到 0——極限完全由「夠後面的項」決定。反例：丟掉的必須是有限多項——((−1)ⁿ) 若准許丟掉所有奇數項，剩下的 (1, 1, 1, ⋯) 就收斂了，可是那已經改變了問題。

PROOF

只需指出 X′ 是 X 的子數列。

Proof. Take rₙ = m + n for n ∈ ℕ. These natural numbers increase strictly, and x_{rₙ} = x_{m+n}, so X′ is a subsequence of X. Lemma 15.2 therefore gives the conclusion.

編號取 rₙ = m + n：這串自然數 m+1 < m+2 < ⋯ 嚴格遞增，抽出來的正是 X′，所以 X′ 合乎 15.1 的子數列身分。剩下的交給 15.2（收斂的數列，每個子數列都收斂到同一點）。這條推論本身沒有新內容，值得記住的是它的意思：收斂是一個只跟「尾巴」有關的性質，前面有限多項長什麼樣完全不影響——這與 §14-3 的 14.6 把數列切成有限前段與受控後段是同一個觀點。

開頭有限多項怎麼亂都無妨，極限只認尾巴。∎

—— 第一階段到此結束 ——

子數列立好了：按嚴格遞增的編號跳著取，本質是與一個嚴格遞增函數複合。它繼承收斂（15.2），而且證明的關鍵是一條容易被當成理所當然的小事——rₙ ≥ n，得用歸納法證。推論 15.3 把「極限只認尾巴」講清楚。下一篇 §15-2 把 15.2 反過來用：不收斂到底長什麼樣？三個等價的說法，加上三個具體的判例。起來走動一下，下一篇要處理量詞翻面，腦袋要清醒。