§15-3 極限的四則運算

兩條收斂數列的和、內積、純量倍與商，極限能不能直接由各自的極限組合出來？估計「兩個因子同時在變」的差，要用什麼手法拆開？而商為什麼還需要一個額外的條件？

組合起來的極限算得出來嗎

§14-1 的 14.2 給了數列的逐項四則，同篇例 2 卻留下一個警告：X = (2n) 衝向無窮、Y = (1/n) 掉向零，內積 X · Y 卻恆等於 2——兩條數列各自的走向，決定不了組合後的走向。

但那個例子裡的 X 本來就不收斂。如果兩條都收斂呢？這時答案好得出乎意料：組合後的極限就是極限的組合，該加的加、該乘的乘。這一條定理是往後所有極限計算的主力——有了它，§14-4 那種一例一巧思的日子就結束了。

證明的共通手法只有一個，值得先看清楚：加減同一項。要估 ‖AB − ab‖ 這種「兩個東西都在動」的差，先硬插一個中間項 Ab，把它拆成 ‖A(B − b)‖ + ‖(A − a)b‖。這樣拆的好處不是「只剩一個東西在動」——A 在第一段裡仍然隨 n 變動——而是每一段都只含一個趨於零的誤差因子（B − b 或 A − a），另一個因子退居係數。誤差因子由收斂假設直接管住；係數雖然還在動，只要替它找到一個上界就壓得下去。這也正是為什麼下面的證明非用「收斂必有界」不可。

15.6 THEOREM

(a) Let X and Y be sequences in ℝᵖ converging to x and y. Then X + Y, X − Y and X · Y converge to x + y, x − y and x · y.
(b) Let X = (xₙ) in ℝᵖ converge to x and let A = (aₙ) in ℝ converge to a. Then (aₙxₙ) converges to ax.
(c) Let X = (xₙ) in ℝᵖ converge to x, and let B = (bₙ) be a sequence of non-zero reals converging to a non-zero b. Then (bₙ⁻¹xₙ) converges to b⁻¹x.

(a) 兩條收斂的 ℝᵖ 數列，其和、差、內積分別收斂到極限的和、差、內積。(b) 一條收斂的實數列乘一條收斂的 ℝᵖ 數列，收斂到兩個極限的乘積。(c) 若分母數列每項非零且極限也非零，則商收斂到極限的商。

正例：(1/n) → 0 與 ((n+1)/n) → 1，由 (a) 得兩者之和 (1/n + (n+1)/n) → 0 + 1 = 1。反例：(c) 的「極限也非零」少不得——xₙ = 1、bₙ = 1/n 時每項 bₙ 都非零，但 b = 0，而 (xₙ/bₙ) = (n) 根本不收斂。分母的極限一旦是零，定理什麼都不保證。

PROOF · (a) 和、差與內積

設 xₙ → x、yₙ → y，並設 ε > 0。三角不等式取自 §8-2 的 8.7，絕對值版的 Schwarz 不等式取自 8.8——內積可能是負的，要蓋住兩側就得用絕對值那一版。

證明計畫 · 由所求想起
⇢ 和：誤差拆成兩段，各自要求做到 ε/2，加起來剛好 ε。
⇢ 內積：兩個因子都在動，先加減同一項把它拆成「只有一個在動」的兩段。
⇢ 拆完之後每段都帶著一個沒在動的因子當係數，得先替它們找一個共同的上界 M——這一步靠 14.6。

Proof. (a) For the sum, the Triangle Inequality gives ‖(xₙ + yₙ) − (x + y)‖ = ‖(xₙ − x) + (yₙ − y)‖ ≤ ‖xₙ − x‖ + ‖yₙ − y‖. Choose K₁ with ‖xₙ − x‖ < ε/2 for n ≥ K₁ and K₂ with ‖yₙ − y‖ < ε/2 for n ≥ K₂; for n beyond both, the sum of the two estimates is below ε. The difference is handled by the identical argument.

和的證明是全節最短的一個，卻定下了往後每一段的節奏。所求是把總誤差壓到 ε 以下，而誤差自然分成兩段——關鍵動作是把 ε 的額度預先分帳，兩段各領 ε/2。分帳合法的理由是 ε/2 仍是正數，拿它去問 14.4（每個正的標準都換得到一個起算點）完全合規。兩條數列各自交出的起算點未必相同，取兩者中較大的，之後兩份估計才同時有效——與 §14-3 的 14.7 統一起算點是同一個動作。具體：ε = 0.1 時兩邊各做到 0.05。

By Lemma 14.6 the convergent sequence (xₙ) is bounded, so there is M > 0 exceeding every ‖xₙ‖ and also ‖y‖. Choose K₁ with ‖yₙ − y‖ < ε/2M and K₂ with ‖xₙ − x‖ < ε/2M; then for n beyond both, |xₙ · yₙ − x · y| < M · (ε/2M) + (ε/2M) · M = ε.

最後一步處理拆出來的那兩個係數。‖xₙ‖ 隨 n 變動，不能當常數用——這就是 §14-3 的 14.6（收斂的數列必定有界）派上用場的地方：它保證所有 ‖xₙ‖ 有一個統一的上界，再把固定的 ‖y‖ 一併納入，取一個大於全部的 M > 0。係數的上界是 M，所以兩段的標準要預先除以 2M——除以 2 是分帳、除以 M 是抵掉係數。這正是 §14-4 的 14.9 那個「標準預先除以常數」的動作，只是這裡做兩次。

和、差、內積三項都算得出來。∎

這張圖在說內積證明的關鍵動作：原本的差有兩個因子同時在變，估不動；加一次再減一次 xₙ · y 之後拆成兩段，每段都只剩一個因子在變，而那正是收斂假設管得住的量。代價是每段多了一個係數，得替它們找上界。

PROOF · (b) 純量倍

設 xₙ → x（在 ℝᵖ）、aₙ → a（在 ℝ），並設 ε > 0。

Proof. Insert the term aₙx: ‖aₙxₙ − ax‖ = ‖aₙ(xₙ − x) + (aₙ − a)x‖ ≤ |aₙ| ‖xₙ − x‖ + |aₙ − a| ‖x‖, the last step using the homogeneity of the norm. By Lemma 14.6 the convergent sequence (aₙ) is bounded, so pick M > 0 exceeding every |aₙ| and also ‖x‖. Choosing K₁, K₂ so that ‖xₙ − x‖ < ε/2M and |aₙ − a| < ε/2M beyond them, we get ‖aₙxₙ − ax‖ < M · (ε/2M) + (ε/2M) · M = ε for n past both.

(b) 與內積那一段是同一份證明換一套記號，值得逐項對照著讀：插的中間項改成 aₙx，拆出來的兩段是「純量沒動、向量在動」與「向量沒動、純量在動」。把兩段各自化成長度相乘時，用的不是 Schwarz 而是 §8-2 的 8.5 裡 norm 的一次齊次性（‖a x‖ = |a| ‖x‖）——純量倍的長度就是倍率的絕對值乘上原長度。要有界的這次換成 (aₙ)，因為它才是那個「當係數又在動」的東西；‖x‖ 是固定的常數，順手一起納入 M。往後兩段的分帳與抵係數，與 (a) 逐字相同。

純量倍也算得出來。∎

PROOF · (c) 除以收斂到非零的數列

設 xₙ → x、bₙ → b，每個 bₙ ≠ 0 且 b ≠ 0。

證明計畫 · 由所求想起
⇢ 老樣子先加減同一項，把誤差拆成「分母在動」與「分子在動」兩段。
⇢ 新問題：分母那段的係數含 1/|bₙ|，若 bₙ 靠近零它會爆掉——必須先證明 bₙ 從某項起與零保持一段安全距離。
⇢ 安全距離由 b ≠ 0 提供：bₙ 既然收斂到一個非零的數，就不可能一直往零貼。
⇢ 有了下界，係數才有上界，剩下的就是照舊分帳。

Proof. Insert the term (1/b)xₙ: ‖(1/bₙ)xₙ − (1/b)x‖ ≤ |1/bₙ − 1/b| ‖xₙ‖ + (1/|b|) ‖xₙ − x‖, and since 1/bₙ − 1/b = (b − bₙ)/(bₙ b), the first summand equals (|b − bₙ| / (|bₙ| |b|)) ‖xₙ‖.

拆解與前兩段同型，只是中間項改成 (1/b)xₙ：第一段是「分母從 bₙ 換成 b」造成的誤差，第二段是「分子從 xₙ 換成 x」造成的誤差。把兩個倒數的差通分，1/bₙ − 1/b = (b − bₙ)/(bₙ b)——分子正是我們管得住的 |bₙ − b|，但分母冒出一個 |bₙ|，而 bₙ 可以要多小有多小，這個係數隨時可能失控。整段證明剩下的力氣全花在制伏它。

Choose M > 0 with 1/M < |b| and ‖x‖ < M — for instance one more than the larger of 1/|b| and ‖x‖. Because bₙ → b and |b| − 1/M > 0, some index onwards gives |bₙ − b| < |b| − 1/M, whence |bₙ| ≥ |b| − |bₙ − b| > 1/M. Because xₙ → x and M − ‖x‖ > 0, some index onwards likewise gives ‖xₙ‖ ≤ ‖x‖ + ‖xₙ − x‖ < M. Let K₀ be past both.

這一步是 (c) 唯一比 (a)、(b) 多做的事。所求：一個不隨 n 變動的正下界，把 |bₙ| 從零推開；本錢只有一個——b 自己不是零。先挑一個 M 同時滿足 1/M < |b| 與 ‖x‖ < M（取 1/|b| 與 ‖x‖ 中較大者再加 1 即可，這裡用到 b ≠ 0 才寫得出 1/|b|）。因為 |b| − 1/M 是正數，拿它當標準去問 bₙ → b，換回一個起算點；此後由三角不等式的反向估計（§5-4 的 5.12）得 |bₙ| ≥ |b| − |bₙ − b| > 1/M。同一招用在 xₙ 上得到 ‖xₙ‖ < M。具體：b = 2 時取 M = 3，則從某項起 |bₙ| > 1/3——這條線一劃下去，1/|bₙ| 就再也超不過 3。

For n ≥ K₀ the three bounds 1/|bₙ| < M, 1/|b| < M and ‖xₙ‖ < M turn the estimate into ‖(1/bₙ)xₙ − (1/b)x‖ ≤ M³ |bₙ − b| + M ‖xₙ − x‖. Given ε > 0, take K₁ with |bₙ − b| < ε/2M³ and K₂ with ‖xₙ − x‖ < ε/2M. For n past K₀, K₁, K₂ we obtain ‖(1/bₙ)xₙ − (1/b)x‖ < M³ (ε/2M³) + M (ε/2M) = ε.

收尾與 (a) 同構，只是係數換成 M³ 與 M。第一段的係數之所以是三次方，是因為它同時吃下三個 M：1/|bₙ| 一個、1/|b| 一個、‖xₙ‖ 一個。既然係數是 M³，分帳時那一段的標準就得預先除以 2M³；另一段除以 2M。最後取三個起算點中最大的——K₀ 也得算進去，因為前面那三個上界只在 n ≥ K₀ 之後才成立。

分母的極限非零時，商也算得出來。∎

這張圖在證 (c) 的關鍵一步：bₙ 收斂到非零的 b，所以從某個 K₀ 起它再也回不到淺色的危險區——恆有 |bₙ| > 1/M。有了這條線，1/|bₙ| 才有上界 M，估計才寫得下去。若 b = 0，這條線根本畫不出來，整個證明從這裡垮掉。

—— 第三階段到此結束 ——

極限的四則到手（15.6）：和、差、內積、純量倍、商，全部可以先各自取極限再組合，唯一的附加條件是商的分母極限不為零。三份證明共用同一套動作——加減同一項把「兩邊都在動」拆成「一邊在動」，用 14.6 替浮動的係數找上界，再把 ε 預先分帳並除掉係數。(c) 多一個步驟：先證 bₙ 與零保持安全距離，那條線的存在完全靠 b ≠ 0。下一篇 §15-4 把這條定理拿去用，並補上最後一塊——不等式怎麼過極限。這一篇的估計很密，起來走一走再繼續。