§5-3 中點與乘積的符號
任兩個不同的數之間一定還有別的數嗎？有沒有最小的嚴格正數？看到乘積的符號，能反推兩個因子的符號嗎？
兩數之間必有第三者（5.7）
直覺上實數擠得密不透風：任兩個不同的數之間，總還塞得下別的數。這個直覺現在可以定理化了，而且塞的人選很具體——中點。
5.7 THEOREM
If a > b, then a > ½(a + b) > b.
只要 a > b，中點 ½(a + b) 就嚴格夾在兩者之間——任兩個不同的實數之間至少還有一個實數。
正例：5 > 3 的中點是 4，而 5 > 4 > 3。反例：這條性質不是所有順序結構的通則——在整數 ℤ 裡 3 > 2 之間就塞不進任何整數；中點論證之所以走得通，靠的是 ℝ 裡 ½ 在籍。
PROOF
兩步：先用同加把 a > b 變出 2a > a + b 與 a + b > 2b，再同乘 ½ 收尾——乘之前得先驗 ½ > 0。
Proof. Apply 5.6(a) to a > b twice: adding a gives 2a > a + b, and adding b gives a + b > 2b.
同一條假設同加兩次，各得一半戰果：加 a 得 2a > a + b（左端 a + a 按 §4-3 的冪次公約寫作 2a），加 b 得 a + b > 2b。數字對照：5 > 3 給出 10 > 8 與 8 > 6。例行操作。
Since 2 > 0 by 5.5(c), Theorem 5.6(d) makes ½ = 1/2 strictly positive. Multiplying both inequalities by ½ — allowed by 5.6(c) — yields a > ½(a + b) and ½(a + b) > b.
收尾前有一項前提檢查不能省：同乘 ½ 之所以不翻面，必須先知道 ½ > 0——由 2 > 0（5.5(c) 的自然數戶籍）與「倒數不換戶口」（5.6(d)）擔保。之後 5.6(c) 兩邊各乘一次，10 > 8 > 6 縮回 5 > 4 > 3，遞移串起 a > ½(a + b) > b。
中點永遠擠得進去——不同的兩個實數之間沒有「相鄰」這回事。∎
例 2沒有最小的嚴格正數
把 5.7 的 b 設成 0，一條看似無害的特例立刻變成一句重要的斷言——想找「最小正數」的人永遠空手而回。
證明：對每個 a > 0，都存在嚴格正數比 a 更小——於是「最小的嚴格正數」不存在。
- 取 b = 0 代入 5.7：因為 a > 0，所以 a > ½a > 0——候選人 ½a 嚴格正、又嚴格小於 a。
- 誰來應徵「最小正數」都適用：0.01 輸給 0.005，10⁻⁹ 輸給 5 × 10⁻¹⁰——砍半永遠有效，而且砍出來的數仍在 P 裡。
正數可以任意小，卻沒有最小的一個。這件事日後會是整門分析的日常：凡是「對每個正數 ε 都成立」的敘述，都在跟這條無底的下坡打交道。
這張圖在證例 2 的機制：從任何 a > 0 出發，½a、¼a、⋯ 一路向 0 靠近，每一級都由 5.7 保證「嚴格正且更小」。應徵最小正數的人選永遠會被自己的一半淘汰。
從乘積反推符號（5.8、5.9）
5.1(ii) 與例 1 合起來說：同號相乘得正。反過來問——看到 ab > 0，能斷言 a、b 同號嗎？能，而且異號版也一併成立。
5.8 THEOREM
If ab > 0, then either a > 0 and b > 0, or else a < 0 and b < 0.
乘積嚴格正，兩個因子必同號——同為嚴格正，或同為嚴格負，二者必居其一。
正例：ab = 6 > 0 的實況兩款——(2, 3) 同正、(−2, −3) 同負。反例：結論不能加強成「都正」——(−2)(−3) = 6 就是活生生的同負款；定理給的是二選一，不是指定答案。
PROOF
先排除任一因子為零，再按 a 的戶口分兩案，各自用倒數把 b 的符號逼出來。
Proof. First, a ≠ 0 and b ≠ 0: were either zero, the product would be 0 by 4.5(a), while trichotomy forbids ab > 0 and ab = 0 together.
開場補上被一筆帶過的小步：為什麼因子不會是零？因為只要有一個是零，乘零歸零（4.5(a)）就把 ab 壓成 0——可是三分律不許 ab 同時「嚴格正」又「等於零」。兩個因子都被迫非零，於是各自只剩正、負兩個戶口可住。
Suppose a > 0. Then 1/a > 0 by 5.6(d), and 5.6(c) — multiplying ab > 0 by the strictly positive 1/a — gives b = (1/a)(ab) > (1/a)·0 = 0. Suppose instead a < 0. Then 1/a < 0 by 5.6(d′), and 5.6(c′) flips the inequality: b = (1/a)(ab) < 0.
b 的符號是用倒數「除出來」的：a 若正，倒數也正（5.6(d)），同乘不翻面，b 承接 ab 的正號；a 若負，倒數也負（5.6(d′)），同乘負數翻面——b 被翻到負側，恰好與 a 同戶。兩案合起來正是「同正或同負」。數字對照：ab = 6、a = −2：b = 6/(−2) = −3 < 0。
乘積的正號是兩個因子「同戶」的完整證據。∎
5.9 COROLLARY
If ab < 0, then either a > 0 and b < 0, or else a < 0 and b > 0.
乘積嚴格負，兩個因子必異號——一正一負，誰正誰負則有兩種可能。
PROOF
這條的路線與 5.8 同款，走一遍補齊。
Proof. As before, neither factor vanishes. If a > 0, then 1/a > 0, and multiplying ab < 0 by it — 5.6(c) keeps the direction — gives b < 0. If a < 0, then 1/a < 0, and 5.6(c′) flips: b > 0.
與 5.8 唯一的差別是進場的乘積帶負號，於是「不翻面」與「翻面」的產出對調：a 正推得 b 負、a 負推得 b 正——異號。歸零的排除同前（乘零歸零撞三分律），例行核對。
正積同戶、負積異戶、零積必有人歸零——乘積符號的三案全數結清。∎
這張圖在總結 5.8 與 5.9：四種戶口組合各給出唯一的乘積符號；反過來，看到乘積符號就能鎖定「對角線」或「反對角線」——恰好兩格，所以結論都是二選一。
—— 第三階段到此結束 ——
中點定理擠爆了「相鄰實數」的想像（5.7），砍半論證送走了「最小正數」的應徵者（例 2），乘積符號的反查表也結案（5.8、5.9）。下一篇 §5-4 收壓軸：把「離 0 多遠」做成一個函數——絕對值——並證明整門分析用得最兇的一條不等式。先閉眼休息半分鐘、揉揉肩頸再回來。