§2-3  普查詞彙與集合的像

surjective 與 bijective 補上普查的哪一半？函數把集合往前推、往回拉，哪個方向與交、聯、差相處得更好？

人口普查的另一半：surjective 與 bijective（2.8、2.9）

injective 管「來源不撞」，普查還缺另一半：輸出那邊有沒有漏接？§2-1 埋的伏筆——range 住在 B 裡但不必填滿 B——現在收線。

2.8  DEFINITION
A function f with domain D(f) ⊆ A and range R(f) ⊆ B is surjective onto B (or maps onto B) when R(f) = B. A surjective function is called a surjection.
surjective（映成）：值域恰好填滿整個 B——B 的每個成員都被至少一支箭頭接到，無人漏接。注意這個詞永遠是「對某個 B」說的：先指定輸出住在哪個集合，才談得上填不填得滿。
正例：f(x) = 2x 把 ℝ 映成 ℝ——任給 y，x = y/2 接住它。反例：同一個 f(x) = x²（全域），對 B = ℝ 不 surjective（負數全體漏接），對 B = R(f) 卻自動 surjective——surjective 是函數與目標集合的合照，不是函數單人照。
2.9  DEFINITION
A function f is bijective when it is both injective and surjective onto B. A bijective function is called a bijection, or a 1-1 correspondence between D(f) and B.
bijective（對射）＝injective ＋ surjective：來源不撞、無人漏接——兩邊人口一一配對，一個蘿蔔一個坑。別名 1-1 correspondence（一一對應），正是 §3 定義 3.1 拿去清點集合人口的那個詞：denumerable 的正式內容就是「與整個 ℕ 之間有一個 bijection」。
正例：f(x) = 2x 是 ℝ 到 ℝ 的 bijection——§3 例 2 用的正是它的親戚（n ↦ 2n）把 ℕ 與偶數集配對。反例：f(x) = 2x 視為「ℝ 到 ℝ 的函數」是 bijection，但同一條公式限制在 ℕ 上、目標仍取 ℕ，就只剩 injective——奇數全體漏接；injective 與 surjective 是兩張獨立的檢核表。
injective：不撞 surjective：不漏 bijective：兩者兼備 中間漏接 右下撞款 一個蘿蔔一個坑 §3 清點人口用的 1-1 correspondence，就是右邊這款

這張圖在對照三種身分：左圖箭頭不撞但有人漏接（injective 而不 surjective）；中圖無人漏接但有撞款（surjective 而不 injective）；右圖兩全——bijection，兩邊人口就此配對完畢。

把集合往前推：direct image（2.10、2.11）

函數天生是「一次搬一個點」的機制，但很多場合要一次搬一整批。給 E ⊆ A，把 E 裡（落在定義域內的）每個點的輸出收攏起來，就是 E 的推送影像。

2.10  DEFINITION
If E is a subset of A, the direct image of E under f is the subset
f(E) = {f(x) : x ∈ E ∩ D(f)}.
direct image（正像）f(E)：E 中進得了機器的成員，其輸出全體。E 與定義域不相交時 f(E) = ∅；E 只含一點 p ∈ D(f) 時 f(E) = {f(p)}。
正例：f(x) = x²、E = {x : 0 ≤ x ≤ 1}——f(E) = {y : 0 ≤ y ≤ 1}⋯⋯嚴格說是「E 中各數的平方全體」；它填滿整段 [0, 1] 這件事同樣要等 §6 的完備性背書，此處按直觀先記。反例：記號 f(E) 與 f(x) 撞衫但身分不同——括號裡放點是「一個輸出」，放集合是「一批輸出」；f({2}) = {4} 是單元素集，不是數 4。
2.11  THEOREM
Let f be a function and let E, F be subsets of A.
(a) If E ⊆ F, then f(E) ⊆ f(F).
(b) f(E ∩ F) ⊆ f(E) ∩ f(F).
(c) f(E ∪ F) = f(E) ∪ f(F).
(d) f(E ∖ F) ⊆ f(E).
推送保持包含（a）、對聯集給完整等號（c）；但對交集與差集只保單向包含（b、d）——正像是「半等號」的世界，例 4 給出等號真的會破的現場。
正例：(c) 的等號拿數字驗一次——f(x) = x²、E = {1}、F = {2}：左端 f({1, 2}) = {1, 4}、右端 {1} ∪ {4}，吻合。反例：(b) 取等號會破——例 4 的 x² 現場：兩集合交集為空、交集的正像因此也空，兩個正像的交集卻不空。
PROOF

四小題全是「追一個點的下落」：任取右邊或左邊的成員，問它是誰的輸出。為省筆墨，以下把「x ∈ E ∩ D(f)」簡寫成「x 是 E 的可用成員」。

Proof.  (a) A member of f(E) has the form f(x) for some usable x ∈ E; since E ⊆ F, this same x is a usable member of F, so f(x) ∈ f(F).
單調性一句話：範圍變大，輸出的收藏只增不減——同一個見證人 x 換一本更大的名冊照樣作證。例行核對。
(b) Since E ∩ F ⊆ E and E ∩ F ⊆ F, part (a) gives f(E ∩ F) ⊆ f(E) and f(E ∩ F) ⊆ f(F); hence f(E ∩ F) ⊆ f(E) ∩ f(F). (d) Likewise E ∖ F ⊆ E, so f(E ∖ F) ⊆ f(E).
(b) 與 (d) 都是 (a) 的順水推舟：交集與差集都是 E 的子集，推送後自然被 f(E) 收容。注意 (b) 只推到單向——反向要求「f(E) 與 f(F) 的共同輸出必來自共同輸入」，而輸出相同不代表輸入相同：這正是撞款（不 injective）留下的縫，例 4 會把縫撐開給你看。
(c) One direction is part (a) twice: E and F both sit inside E ∪ F, so f(E) ∪ f(F) ⊆ f(E ∪ F). Conversely, a member of f(E ∪ F) is f(x) for some usable x ∈ E ∪ F; this x lies in E or in F, so f(x) lies in f(E) or in f(F).
聯集拿得到完整等號，理由藏在量詞裡：聯集的成員資格是「存在一邊收留」，而「存在」與「取輸出」兩個動作可以交換次序——見證人住哪一邊，輸出就進哪一邊的正像。交集拿不到等號正因為「所有」與「取輸出」不能這樣交換。例行核對，機制記這一句就夠。
推送：包含與聯集全保，交集與差集只保半邊——「半等號」的帳往後用時要記得核對方向。∎
例 4交集的等號真的會破：x² 的現場
2.11(b) 只給單向包含不是筆力不夠，是事實如此——用平方函數把反向包含正面撞破。
取 f(x) = x²、E = {x : −1 ≤ x < 0}、F = {x : 0 < x ≤ 1}，算出 (b) 的兩邊。
  1. 左邊：E ∩ F = ∅（一邊全負、一邊全正），所以 f(E ∩ F) = ∅。
  2. 右邊：E 的成員平方後與 F 的成員平方後撞出同一批數——f(E) 與 f(F) 都是「(0, 1] 中平方數」那一批（含 1 = (±1)²），於是 f(E) ∩ f(F) = f(E) ≠ ∅。
  3. 對帳：∅ ⊊ f(E) ∩ f(F)——(b) 的反向包含破裂。破口的機制正是撞款：−1/2 與 1/2 是不同來源、同一輸出，右邊看得到這個輸出，左邊卻因為兩個來源分居兩集合而收不到。
正像對交集失守的元兇是「不 injective」——事實上 f 若 injective，(b) 就升格為等號（同一輸出只有一個來源，右邊的見證人被迫住在交集裡）。半等號不是定理寫保守了，是世界本來如此。
E F 0 E ∩ F = ∅ f(E) = f(F)：同一段 兩段分居 0 的兩側，平方後疊成同一段——交集的等號在此陣亡

這張圖在證例 4 的破口：E（藍）與 F（紅）互不相交，但平方把兩段摺到同一段（灰）——左邊 f(E ∩ F) = ∅、右邊 f(E) ∩ f(F) 是整段，2.11(b) 的反向包含被撞款正面擊破。

把集合往回拉：inverse image（2.12、2.13）

推送有個表現更好的雙胞胎：不問「這批輸入去了哪」，改問「哪些輸入會落進這批目標」。注意這個動作不需要 f 是 injective——查名單不必機器可逆。

2.12  DEFINITION
If H is a subset of B, the inverse image of H under f is the subset of D(f) given by
f⁻¹(H) = {x : f(x) ∈ H}.
inverse image（逆像）f⁻¹(H)：輸出落在 H 裡的輸入全體。記號借用了 f⁻¹，但不預設反函數存在——這裡的 f⁻¹(H) 是一個整體記號；當 f 真的 injective 時，它恰好等於 H 在反函數下的正像，兩種讀法對帳無誤。
正例：f(x) = x²、H = {4}——f⁻¹(H) = {2, −2}：不可逆的函數照樣拉得動集合，一次拉回兩個來源。反例：H = {y : y < 0}——f⁻¹(H) = ∅：目標集合再大，沒人打得進去就是空名單；逆像為空不代表 H 為空。
2.13  THEOREM
Let f be a function and let G, H be subsets of B.
(a) If G ⊆ H, then f⁻¹(G) ⊆ f⁻¹(H).
(b) f⁻¹(G ∩ H) = f⁻¹(G) ∩ f⁻¹(H).
(c) f⁻¹(G ∪ H) = f⁻¹(G) ∪ f⁻¹(H).
(d) f⁻¹(G ∖ H) = f⁻¹(G) ∖ f⁻¹(H).
拉回保持包含，而且對交、聯、差全部給等號——正像只拿半等號的地方，逆像一項不漏。這個對比日後有大用：拓撲學裡「用逆像敘述」幾乎總是比「用正像敘述」順風。
正例：f(x) = x²、G = {y : y ≥ 0}、H = {y : y ≤ 4}——(b) 兩邊都算出 {x : −2 ≤ x ≤ 2}，等號實測成立。反例：想在 (b)–(d) 找出像例 4 那樣的破口——找不到，這正是定理斷言的內容；撞款傷得了正像，傷不了逆像。
PROOF

四小題共用一把鑰匙：x ∈ f⁻¹(⋯) 按定義就是「f(x) 落在 ⋯ 裡」——成員資格一翻譯，全部化成 §1 的集合運算。

Proof.  (a) If x ∈ f⁻¹(G), then f(x) ∈ G ⊆ H, so x ∈ f⁻¹(H).
單調性：目標放寬，入選名單只增不減。例行翻譯。
(b) Membership translates directly: x ∈ f⁻¹(G ∩ H) means f(x) ∈ G ∩ H, that is f(x) ∈ G and f(x) ∈ H — which says precisely x ∈ f⁻¹(G) and x ∈ f⁻¹(H). (c) The same translation with "or" in place of "and" handles unions.
這一步值得放慢看清機制：逆像的成員資格只問「f(x) 在不在」這一件事，於是「且」「或」這些邏輯詞原封不動穿過 f⁻¹——不像正像那邊還要回頭追「輸出是誰的」，撞款的縫在這裡根本不存在。數字對照（(b)）：f(x) = x²、G = {y ≥ 0}、H = {y ≤ 4}——「平方非負且不超過 4」與「平方非負、且、平方不超過 4」是同一句話，兩邊都是 [−2, 2]。
(d) Again by translation: x ∈ f⁻¹(G ∖ H) means f(x) ∈ G and f(x) ∉ H — precisely x ∈ f⁻¹(G) and x ∉ f⁻¹(H), that is x ∈ f⁻¹(G) ∖ f⁻¹(H).
差集同一把鑰匙：「在 G 不在 H」逐字穿過 f⁻¹。注意「x ∉ f⁻¹(H)」與「f(x) ∉ H」等價用到 x ∈ D(f)——而 (d) 左端的成員本來就都在定義域裡，邊界簿記無虞。例行核對。
交、聯、差全數等號——逆像與集合運算完全同步。往回拉比往前推乖得多，這筆對比請放進長期記憶。∎
H f⁻¹(H)（可以是好幾段） 輸出軸（B） 輸入軸（D(f)）

這張圖在畫 2.12 的動作：指定目標 H（上排灰段），把「輸出落進 H」的輸入全數圈出（下排藍段，往往不止一段）。不必反函數、不怕撞款——這正是逆像在 2.13 拿滿等號的底氣。

—— 第三階段到此結束，整個 §2 收工 ——

回望一整節：函數＝守販賣機條款的有序對集合（2.1），合成與帳目（2.2、2.3），injective 與反函數（2.5、2.6），surjective 與 bijective 補齊普查詞彙（2.8、2.9），最後是推送的半等號與拉回的全等號（2.10–2.13）。導論章三件裝備——集合的語言（§1）、函數的機制（§2）、數數的革命（§3）——至此全數到位。整節收工，去外面透透氣。臨走前一則：正像問逆像為什麼人緣比較好——「因為你只顧把人推出去，我負責把人接回家。」

下一幕預告

裝備到手，立刻上工。§3 拿本篇的 bijection 去做一件顛覆直覺的事：重新定義「數數」——兩個集合能配成 1-1 correspondence 就算「一樣多」。這把尺一出手，偶數跟全體自然數一樣多、ℚ 也數得完，可是 ℝ 數不完——無限與無限之間，居然有大小之別。