§2-2  合成與反函數

兩個函數接力，定義域怎麼算？什麼樣的函數可以反著讀？反著讀出來的東西，憑什麼還是函數？

兩部機器接力：composition（2.2、2.3）

兩個函數可以串成生產線：先讓 f 加工，再把成品餵給 g。唯一要小心的是接口——f 的輸出未必都是 g 收得下的輸入，收不下的原料只能整批退回。把這件事寫進定義：

2.2  DEFINITION
Let f have domain D(f) in A and range R(f) in B, and let g have domain D(g) in B and range R(g) in C. The composition g∘f (note the order!) is the set
g∘f = {(a, c) ∈ A × C : there exists b ∈ B with (a, b) ∈ f and (b, c) ∈ g}.
合成 g∘f 收「經 f 到 b、再經 g 到 c」走得通的頭尾對 (a, c)。注意次序：g∘f 是先 f 後 g——記號從右往左讀，跟穿衣服一樣，先穿的寫在裡面。
正例：f(x) = 2x、g(x) = 3x² − 1——g∘f(x) = 3(2x)² − 1 = 12x² − 1，先加倍再進二次式。反例：同一對函數反著串，f∘g(x) = 2(3x² − 1) = 6x² − 2——12x² − 1 ≠ 6x² − 2（代 x = 1：11 ≠ 4），合成不交換，次序是實質資訊。
2.3  THEOREM
For any functions f and g, the composition g∘f is a function, with
D(g∘f) = {x ∈ D(f) : f(x) ∈ D(g)},
R(g∘f) = {g(f(x)) : x ∈ D(g∘f)}.
合成必是函數，而且帳目分明：定義域是「f 收得下、且加工品 g 也收得下」的輸入全體；值域是這些輸入一路加工到底的成品全體。
正例：f(x) = x − 1（全域）、g(x) = 1/x（定義域 x ≠ 0）——D(g∘f) = {x : x ≠ 1}，在 x = 1 處 f 的成品 0 被 g 退貨。反例：接口可以全空——例 2 的第二筆帳給出一對處處接不上的函數，合成是「空函數」。
PROOF

「g∘f 真是函數」這一步常被略過，此處補齊；兩條帳目由定義直讀。

Proof.  First, g∘f obeys the function condition. Suppose (a, c) and (a, c′) both belong to g∘f: some b gives (a, b) ∈ f, (b, c) ∈ g, and some b′ gives (a, b′) ∈ f, (b′, c′) ∈ g. Because f is a function, b = b′; and because g is a function, c = c′.
這一步的所求：驗證接力線守販賣機條款。同一個起點 a 若走出兩條路，先看中繼站——f 是函數，所以 a 的加工品只有一個，b = b′；中繼站既然相同，再看終點——g 是函數，同一個 b 的輸出只有一個，c = c′。兩關的唯一性一棒傳一棒，合成的唯一性就是這麼繼承來的。
Next the bookkeeping. An input x admits a completed chain exactly when x ∈ D(f) and the intermediate product f(x) lies in D(g) — this is the stated domain. For such x the chain ends at g(f(x)), so the outputs are precisely the values g(f(x)) — the stated range.
帳目是定義的白話翻譯：(a, c) 入籍需要一條走得通的鏈，而鏈走得通恰好等於「a 過得了第一關、半成品過得了第二關」。數字對照：f(x) = x − 1、g(x) = 1/x——輸入 3 的鏈是 3 → 2 → 1/2 走得通；輸入 1 的鏈在 1 → 0 → 處斷頭，1 ∉ D(g∘f)。例行核對。
接力線永遠是合格的函數，定義域由兩道關卡共同裁定。∎
A B C f g g 收不下：鏈斷頭 g∘f 只收整條走得通的鏈——斷頭的輸入被踢出定義域

這張圖在畫 2.2 與 2.3 的機制：合成是兩段接力，上排的鏈全程走通、頭尾對 (a, g(f(a))) 入籍；下排的半成品被 g 退貨，整條鏈作廢——定義域的縮水就是這樣發生的。

例 2定義域的縮水帳，以及縮到全空的合成
合成的定義域可以比兩個原料函數都小——極端情形甚至空無一人。兩筆帳各算一次。
對指定的函數對，算出 D(g∘f)，並確認極端案例。
  1. 縮水帳：f(x) = x − 1（全域）接 g(x) = 1/x（x ≠ 0）。按 2.3 的帳目，D(g∘f) = {x ∈ ℝ : x − 1 ≠ 0} = {x : x ≠ 1}，而 g∘f(x) = 1/(x − 1)——兩個原料函數各自只缺一個點或不缺點，合成卻在 1 處新開了一個洞。
  2. 全空帳：G(x) = −x² − 1（全域），F 取 1/x 在 {x : x > 0} 上的 restriction。因為 x² ≥ 0（平方非負是高中熟知的事實，公理版到 5.5 立案），G 的每個輸出都 ≤ −1，一個也進不了 F 的定義域——D(F∘G) = ∅。合成是空函數：一個合法但沒有任何有序對的函數（空集合本身乖乖滿足販賣機條款）。
合成的定義域由接口裁定，與兩個原料函數各自的「大小」無關——會全空、會新開洞，動手前先把 2.3 的帳算清楚。

反著讀的資格：injective（2.5）

函數是「輸入定輸出」的機制，自然想問：能不能反過來，由輸出查回輸入？販賣機條款只保證正著讀唯一，反著讀就未必——兩顆按鈕吐同一款飲料時，看著飲料猜按鈕就有兩個答案。要反著讀，得先排除「撞款」。

2.5  DEFINITION
A function f is injective (or one-one) when: whenever (a, b) and (a′, b) belong to f, then a = a′. An injective function is called an injection.
Equivalently: a ≠ a′ in D(f) forces f(a) ≠ f(a′).
injective（一對一，又稱 one-one／one-to-one）：同一個輸出不得有兩個來源——販賣機條款的鏡像。等價說法：不同輸入必得不同輸出。§3 定義 3.1 從頭到尾說的「one-to-one 函數」，正式戶籍在此。
正例：f(x) = 2x——輸出除以 2 就查回唯一輸入，絕不撞款。反例：F(x) = x²（全域）——(2, 4) 與 (−2, 4) 都在籍，輸出 4 有兩個來源；例 3 會動手修剪它。

反函數（2.6）

injective 一旦到手，反著讀的機制可以一句話造出來：把每個有序對的前後分量對調。對調出來的集合憑什麼還是函數？這正是 injective 買下的保障——證明附在定義卡後。

2.6  DEFINITION
Let f be an injection with domain D(f) in A and range R(f) in B. The set
g = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f}
is an injection with D(g) = R(f) and R(g) = D(f); it is called the function inverse to f, written f⁻¹.
Thus b = f(a) if and only if a = f⁻¹(b).
反函數 f⁻¹＝把 f 的每個有序對前後對調。定義域與值域跟著對調：D(f⁻¹) = R(f)、R(f⁻¹) = D(f)；讀法對調：b = f(a) ⟺ a = f⁻¹(b)。只有 injection 有反函數——資格審查在前，對調才合法。
正例：f = {(1, 4), (2, 6), (3, 8)} 對調得 f⁻¹ = {(4, 1), (6, 2), (8, 3)}——好端端的函數。反例：不 injective 的 F(x) = x² 硬對調——(4, 2) 與 (4, −2) 同時出現，對調品當場違反販賣機條款，「F⁻¹」不存在。
PROOF

「對調品是函數、而且也 injective」確實是個好試金石，此處補齊。全程只有兩條規矩在對打：販賣機條款與 injective，而對調恰好把它們互換。

Proof.  Write g = {(b, a) : (a, b) ∈ f}. First, g is a function: if (b, a) and (b, a′) belong to g, then (a, b) and (a′, b) belong to f, and injectivity of f forces a = a′. Second, g is injective: if (b, a) and (b′, a) belong to g, then (a, b) and (a, b′) belong to f, and the function condition on f forces b = b′.
整場證明是一次漂亮的角色互換：對調前後分量之後，「f 是 injective」翻譯過來恰好是「g 守販賣機條款」，而「f 守販賣機條款」翻譯過來恰好是「g 是 injective」——兩條規矩各自換到鏡子的另一側，一條不多一條不少。這也解釋了為什麼 injective 是反函數的充要門檻：缺了它，對調品的函數資格立刻破產（inst 的 x² 反例）。定義域與值域的對調（D(g) = R(f)、R(g) = D(f)）是分量對調的直接後果，例行核對。
injection 的對調品是合格的 injection——反函數從此於法有據。∎
例 3x² 的修剪術：不能反讀的函數，剪一刀就能反讀
全域的平方函數撞款撞得一塌糊塗，可是它的「壞」全集中在左右互撞——restriction 一刀下去，反函數應聲而出，順便替一位大明星辦出生登記。
驗證：F(x) = x²（全域）不 injective；限制到 {x : x ≥ 0} 之後 injective，並描述其反函數。
  1. 全域版：(2, 4) 與 (−2, 4) 同屬 F——不 injective，反函數免談。
  2. 修剪：取 f = F | {x : x ≥ 0}。驗 injective——設 x, y ≥ 0 且 x² = y²，補上一句常被跳過的「why」：移項得 x² − y² = (x − y)(x + y) = 0（平方差是高中代數；展開靠的分配律與「乘積為零必有因子為零」都在 §4 立案，先記帳），於是 x = y 或 x + y = 0；後者配上兩人皆 ≥ 0 只剩 x = y = 0（「兩個非負數相加得零則兩者皆零」屬 §5 的順序工具——若 x > 0 則 x + y > 0——同樣先記帳）。兩案都是 x = y——不同的非負數平方必不同。
  3. 由 2.6，f⁻¹ 存在，D(f⁻¹) = R(f)、讀法 y = x² ⟺ x = f⁻¹(y)——它就是日後的正平方根函數 √。有一筆帳要誠實記下：R(f) 是「非負數的平方」全體，而「每個非負實數都躺在 R(f) 裡」（亦即人人有平方根）眼下還證不動——那正是 §6 完備性（6.8）的工作。本篇只登記機制：只要 y 真是某個非負數的平方，f⁻¹(y) 就唯一地交出那個數。
「不能反讀」往往不是絕症，是定義域太貪心——修剪到 injective，反函數就位。左半 {x ≤ 0} 同法可得負平方根函數；三角函數的反函數（日後正式登場）走的也是同一套修剪術。
水平線戳中兩點：反讀有歧義 f = x²|₊ f⁻¹ 右半支：沿對角線翻轉即反函數

這張圖在畫例 3 的修剪術：全域拋物線（左）被水平線戳中兩點——同一輸出兩個來源；剪到右半支（右）之後每條水平線至多命中一次，把圖形沿對角線翻轉（前後分量對調的幾何版）就是反函數的圖形。

—— 第二階段到此結束 ——

函數動起來了：合成永遠是函數、定義域由接口裁定（2.2、2.3），injective 是反著讀的門票、反函數靠前後對調一步到位（2.5、2.6），連 x² 這種撞款大戶都能修剪出平方根。下一篇 §2-3 收官：surjective 與 bijective 補齊人口普查的詞彙，再看函數怎麼推送與拉回整個集合——其中一個方向的表現會好得出奇。先起身伸展一下肩頸。臨走前一則：x² 問 2x 為什麼自己沒有反函數——「因為你老是給兩個人發同一張號碼牌。」