§1-2  交、聯與代數律

交集與聯集把兩個集合變成一個。這兩種運算混在同一條式子裡時，括號能不能移動、順序能不能交換、交集能不能分配進聯集——依據是哪一條定理？

舊集合造新集合

訂餐廳的 app 上有兩個篩選鈕：「可訂位」與「有素食」。兩顆都按下去，出現的是同時滿足兩個條件的店家——清單變短。改成搜尋「壽司」再加一個關鍵字「拉麵」，出現的是滿足任一關鍵字的店家——清單變長。你每天都在做這兩種操作：拿舊清單疊出新清單，一種取「且」，一種取「或」。

本篇把這兩顆按鈕鑄成正式的集合運算，然後回答一個看似瑣碎、實則決定你能不能放心計算的問題：這些運算混在同一條式子裡的時候，遵守哪些規律？

這張圖在畫兩種運算各收哪些區域：左邊交集只收重疊的一塊（顏色最深處），右邊聯集把兩個橢圓整個收下——重疊區顏色更深，但深淺不影響歸屬，聯集裡沒有「屬於兩次」這回事。

定義交集時，我們默默做了一個假設：任何兩個集合「交」出來的東西仍然是集合。可是如果 A 與 B 根本沒有共同元素呢？為了讓交集運算永遠有答案，必須承認一個沒有任何成員的集合。

按鈕有了，接著立規矩。整數的加法與乘法之所以好用，靠的是一批可以閉著眼睛用的定律——交換、結合、分配。交集與聯集也有自己的一批，而且湊得更整齊：

這張圖在證分配律的另一條路：一個元素相對於 A、B、C 三個集合，處境恰有 2³ = 8 種——每個集合「在或不在」各二選一。逐塊核對：左邊 A ∩ (B ∪ C) 收的恰是紅色的 1、2、3 三塊，右邊 (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 收的也恰是這三塊。收的區域相同，集合就相等。

一族集合的交與聯

結合律 (c) 說括號可以移，於是三個以上的集合連著交、連著聯，括號乾脆不寫：A ∩ B ∩ C、A ∪ B ∪ C。對一列集合 A₁, A₂, ⋯, A_n，用數學歸納法可以證明：存在唯一的集合收「至少屬於一個 A_j」的一切元素，也存在唯一的集合收「屬於每一個 A_j」的一切元素。我們模仿連加的記號把它們寫成

⋃_j=1ⁿ A_j = A₁ ∪ A₂ ∪ ⋯ ∪ A_n，  ⋂_j=1ⁿ A_j = A₁ ∩ A₂ ∩ ⋯ ∩ A_n。

索引甚至不必是有限個、也不必是數字：對任何非空的索引集合 J，只要每個 j ∈ J 都配了一個集合 A_j，就能寫 ⋃{A_j : j ∈ J}（至少屬於一個）與 ⋂{A_j : j ∈ J}（屬於每一個）。（為什麼要求非空？J = ∅ 時「屬於每一個 A_j」對任何東西都空洞地成立，除非事先固定全域集合，「全部的交集」就沒有明確定義——所以本讀本談「任意交集」時索引族一律非空。聯集沒有這個顧慮：空族的聯集就是 ∅，安安穩穩——§3 的歸納證明會從這個起點出發。）無限次的交聯不是花拳繡腿——試一次就知道它的威力：對每個 n ∈ ℕ，取實數軸上的開區間 A_n = {x ∈ ℝ : −1/n < x < 1/n}。每一個 A_n 都含 0，所以 0 屬於全部的交集；而任何 x ≠ 0，只要 n 大到 1/n < |x|，x 就被 A_n 拒收。因此

⋂{A_n : n ∈ ℕ} = {0}——

無限多次交集，把一段段有寬度的區間磨成了一個點。有限次交集絕對做不到這件事（有限個 A_n 的交集就是編號最大那個區間，仍有寬度）。「有限做不到、無限做得到」的戲碼，之後會一再上演。