§25-4  函數的上極限

極限不存在時，還有沒有什麼量是永遠算得出來的？如果先在一個半徑之內取最大值，再讓半徑縮小，會得到什麼——而它憑什麼叫作極限？

極限不存在時還剩下什麼

盤中的股價上下跳動，沒有「收斂到某個數字」這回事。可是「這一小時之內的最高價」永遠問得出來，而且時段取得越短，這個最高價只會更低或持平。把時段一路縮短，那些最高價自己會收攏到一個數——即使價格本身從未收斂。

函數在一點附近的行為也是一樣。§18-1 已經對數列做過這件事；本篇把它搬到函數上。作法完全平行：先看半徑 r 之內的所有值的 sup，再讓 r 縮小。

本篇沿用全節的設定：f 的定義域是 D ⊆ ℝᵖ，而 c 仍然是 D 的 cluster point——這一條不可省，否則半徑再小的球裡都可能一個定義域的點也沒有，下面第一層的 sup 就取在空集上。此外本篇只談實數值的情形（q = 1），因為要取 sup 就得有順序。與 25.1 一樣有 deleted 與 non-deleted 兩個版本；而與 25.1 不同的是，只要 f 在 c 附近有界，它們就一定存在——這正是它們的價值所在。

25.7  DEFINITION
Suppose f is bounded on the neighborhood {x : ‖x − c‖ < r₀} of c. For 0 < r ≤ r₀ put
  φ(r) = sup {f(x) : 0 < ‖x − c‖ < r, x ∈ D},
  Φ(r) = sup {f(x) : ‖x − c‖ < r, x ∈ D},
and define
  limsup_c f = inf {φ(r) : 0 < r ≤ r₀},
  Limsup_c f = inf {Φ(r) : 0 < r ≤ r₀}.
These are the deleted and non-deleted upper limit of f at c.
兩層取極值：先在一個半徑之內取 sup（往上收），再讓半徑縮小取 inf（往下收）。半徑必須限制在有界的那個範圍 r₀ 以內——超出去 f 可能無界而第一層的 sup 根本不是實數。結果與 r₀ 的選法無關：φ 遞增，換一個更小的 r₀ 只是砍掉幾個較大的值，不影響 inf。下極限把兩個 sup／inf 全部對調即可，本篇不另立敘述。
正例：f(x) = sin(1/x) 於 x ≠ 0、c = 0。每個容許的 r 都有 φ(r) = 1（半徑再小也含有讓 sin 取到 1 的點），所以 limsup_0 f = 1，而 lim_0 f 根本不存在。反例：有界這個條件少不得——f(x) = 1/x 在 c = 0 附近無界，每個 φ(r) 都不是實數，定義失效。
25.8  LEMMA
With φ, Φ as above,
  limsup_c f = lim_{r→0+} φ(r),  Limsup_c f = lim_{r→0+} Φ(r).
這條引理是替名字辯護的：定義寫成 inf，看不太出來哪裡「極限」。答案是 φ 對 r 遞增，所以它的 inf 恰好就是 r 趨向零時的極限——半徑縮小時最高價只降不升，降到不能再降的那個值就是 inf。
正例：上面那個 sin(1/x) 的 φ 恆為 1，遞增（不嚴格）也收斂到 1，兩者一致。反例：若換成不遞增的函數，inf 與極限就未必相同——取 ψ(r) = 1（r 為有理數）、ψ(r) = 0（其餘），則 inf ψ = 0，而 r 趨向零時 ψ(r) 根本不收斂。這裡靠的正是 φ 的遞增。
PROOF

記 L = limsup_c f = inf {φ(r) : 0 < r ≤ r₀}。要證的是 r 趨向零時 φ(r) 趨向 L。

證明計畫 · 由所求想起
所求是兩側的夾擊。下側白送：L 是 inf，所以每個 φ(r) 都不小於它。上側靠 inf 的左測：任給 ε，必有某個 φ(r_ε) 小於 L + ε；而 φ 遞增，所以比 r_ε 更小的半徑對應的值只會更小。兩側合起來就把 φ(r) 關進 L 附近的 ε 帶裡。

Proof.  If 0 < r < s, the set defining φ(r) is contained in the one defining φ(s), so L ≤ φ(r) ≤ φ(s): the function φ is increasing, and L is a lower bound for its values.
這一格是例行核對，可是「遞增」這件事是整條引理的支點。半徑縮小時，取 sup 的那個集合只會變小，而在較小的集合上取 sup 只會更小或持平——這與股價的比方一致：時段縮短，區間內的最高價不會上升。L 是這些值的 inf，所以它在下面托著。
Given ε > 0, since L is the infimum there is an admissible r_ε with φ(r_ε) < L + ε. For 0 < r < r_ε monotonicity gives L ≤ φ(r) ≤ φ(r_ε) < L + ε, so |φ(r) − L| < ε. Hence φ(r) → L as r → 0+. The proof for Φ is the same.
這一步的所求：把 inf 的存在性換成一句關於「小半徑」的敘述。用的是 inf 的左測（6.3 的鏡射版）：比 inf 大的數當不成下界，所以必有一個成員鑽到它底下。之後遞增性把那一個 r_ε 的好消息往下傳給所有更小的半徑——若沒有遞增，只知道某一個 r_ε 合格，推不出一整段都合格。
「先取 sup 再讓半徑縮小」與「取所有 sup 的 inf」是同一件事。∎
上極限 半徑越小，區間內的最高值只降不升 φ(r)

這張圖在說 25.8 的機制：三條水平線分別是三個半徑之下區間內的最高值。區間越窄，最高值只會更低或持平，所以這些值排成一條遞增的（以 r 為變數的）函數，而它們的 inf 恰好就是半徑趨向零時的極限。虛線是最後收攏到的那個高度，也就是上極限——即使曲線本身一路震盪而沒有極限，這條虛線始終存在。

25.9  LEMMA
(a) If M > limsup_c f, then there is a neighborhood U of c with f(x) < M for all x ∈ D ∩ U with x ≠ c.
(b) If M > Limsup_c f, then there is a neighborhood U of c with f(x) < M for all x ∈ D ∩ U.
上極限是一道局部的天花板：任何比它高的數，在 c 的某個 neighborhood 內就真的壓得住函數值。這是上極限最常被使用的方式——它把一個抽象的兩層極值，換成一句「某個範圍內值都小於 M」。
正例：sin(1/x) 的上極限是 1，取 M = 1.5，則整條數線上都有 f(x) < 1.5，任何 U 都行。反例：M 必須嚴格大於上極限——取 M = 1（恰好等於）就失效：任何 U 內都有點使 sin(1/x) = 1，壓不住。
PROOF
Proof.  (a) Since inf {φ(r) : 0 < r ≤ r₀} < M, the number M is not a lower bound, so φ(r_M) < M for some r_M with 0 < r_M ≤ r₀. Take U = {x : ‖x − c‖ < r_M}; for x ∈ D ∩ U with x ≠ c we have f(x) ≤ φ(r_M) < M. Part (b) is the same with Φ in place of φ.
這一格短，可是把上極限的兩層結構用得很乾淨。第一層（inf）交出一個具體的半徑 r_M，第二層（sup）保證那個半徑之內每一個值都不超過 φ(r_M)——所以「抽象的 inf」與「具體的一個範圍」之間只隔一次 inf 的左測。這裡也看得出 M 為什麼要嚴格大於：等於的時候 M 仍然是下界，找不到那個鑽到底下的 φ(r_M)。
比上極限高一點的數，在 c 附近就是一道真的天花板。∎
25.10  LEMMA
Let f and g be bounded on a neighborhood of c, which is a cluster point of D(f + g). Then
  limsup_c (f + g) ≤ limsup_c f + limsup_c g,
and the same holds for the non-deleted upper limits.
只有不等號，而且它真的可能是嚴格的：兩個函數各自的最高點若出現在不同的位置，加起來的最高點就達不到兩個最高點之和。這與 §18-3 對數列上極限說的是同一件事。
正例：f = g = sin(1/x)，兩邊都是 1 + 1 = 2 而 f + g = 2sin(1/x) 的上極限恰是 2，等號成立。反例：取 g = −f（仍是 sin(1/x) 那一個），則 limsup f = limsup g = 1 而 f + g 恆為 0，上極限是 0 < 2。差距可以很大。
PROOF

整條引理其實是「集合上的 sup」的一個基本性質，再讓半徑趨向零。

Proof.  For any set A we have sup {f + g} ≤ sup {f} + sup {g} over A, since each value f(x) + g(x) is at most the sum of the two suprema. Applying this to the sets used in 25.7 gives φ_{f+g}(r) ≤ φ_f(r) + φ_g(r) for every admissible r. Letting r → 0+ and using 25.8 on each of the three terms yields the stated inequality.
這一步的所求：把不等式從固定半徑推到極限。不等號之所以不能升級成等號，原因在第一句：f 的最高點與 g 的最高點可能出現在集合裡的不同位置，而左邊要求同一個 x 同時貢獻兩者。最後讓 r 趨向零時，三個 φ 各自的極限由 25.8 保證存在，非嚴格不等式過得了極限（同 15.8 的理由）。
上極限對相加只有單向的估計。∎
例 4四個上極限，四種情形
上極限的價值是「極限不存在時仍然存在」。實際算幾個，順便看兩個版本何時分家。
  1. 震盪型：f(x) = sin(1/x) 於 x ≠ 0，c = 0。任何容許的半徑之內都找得到 x 使 1/x = 2nπ + π/2，於是 φ(r) = 1 對每個 r 成立，limsup_0 f = 1。同理下極限是 −1。極限不存在，兩端卻都算得出來。
  2. 兩個版本分家：g(x) = 0（x ≠ 0）、g(0) = 1，c = 0。φ(r) = 0（略過原點後值恆為零），所以 limsup_0 g = 0；Φ(r) = 1（把原點算進來），所以 Limsup_0 g = 1。兩者相差 1。
  3. 連續型：h(x) = x²，c = 2。φ(r) = (2 + r)²，讓 r 趨向零得 4；Φ(r) 同樣趨向 4。三個量——上極限、下極限、極限——全部等於 h(2) = 4。連續的點上這些概念全部合而為一。
  4. 相加的嚴格不等：取第 1 步的 f 與 g = −f。limsup f = limsup g = 1，可是 f + g 恆為 0，上極限是 0。0 < 1 + 1，25.10 的不等號嚴格。
  5. 回頭看第 2 步：兩個版本的差別永遠是要不要把 f(c) 這個值算進 sup。所以 Limsup_c f 恆等於 limsup_c f 與 f(c) 兩者中較大的那一個（c ∈ D 時），而 c ∉ D 時兩者相同。
第 3 步與第 5 步合起來給出一個好用的心像：上極限量的是「c 附近的值最高衝到哪裡」，而 non-deleted 版多算一個 f(c)。連續的點上一切合而為一，所以這些概念真正發揮作用的場合都是不連續或極限不存在的地方。第 5 步那句話也預告了下一篇的主角——把「f(c) 至少不低於周圍的衝高」單獨拿出來當成一個條件。
上極限 1 下極限 −1 極限不存在，兩端仍然算得出來

這張圖在說例 4 第 1 步的畫面：曲線越靠近左端震盪得越快，任何一段以該端點為中心的區間內，值都衝到過 1 也掉到過 −1，所以每個半徑的 sup 都是 1、inf 都是 −1，兩條虛線分別是上極限與下極限。極限之所以不存在，正是因為這兩條線不重合——與 §18-4 的 18.4 對數列說的判準完全一致。

—— 第四階段到此結束 ——

本篇把上極限從數列搬到函數上：先在半徑 r 之內取 sup，再讓半徑縮小取 inf（25.7）。25.8 說這個 inf 就是 r 趨向零時的極限，理由是那些 sup 對 r 遞增。25.9 把抽象的兩層極值換成一句好用的話——比上極限高一點的數在 c 附近就是一道真的天花板。25.10 給出相加的單向估計，而例 4 示範它可以嚴格。最重要的是：只要函數在 c 附近有界，這些量就一定存在，即使極限根本不存在。伸展一下再回來，下一篇用它們立一個比連續寬鬆、卻仍然保住不少好性質的條件。