回想 §11-2 證明 Heine-Borel（11.3）時的處境：covering 保證 K 的每一點「各自」有 open set 收留，但各點的餘裕天差地遠——住在集合深處的點怎麼走都安全，貼著邊緣的點一步就踏出去。Lebesgue Covering 定理把這種逐點的、不均勻的保證，升級成一把全體共用的尺：只要 K 是 compact，任何 covering 都藏著一個正數 λ——兩點距離小於 λ，就必有 covering 中同一個集合同時收留兩者。結伴而行的兩點只要靠得夠近，永遠不必分開。
11.5 LEBESGUE COVERING THEOREM
Let 𝒢 = {Gα} be a covering of a compact set K ⊆ ℝᵖ. Then some positive number λ has this property: whenever x, y ∈ K and |x − y| < λ, a single set of 𝒢 contains both x and y.
Proof. Every u ∈ K lies in some set Gα(u) of the covering; because Gα(u) is open, there is a radius δ(u) > 0 so that the ball about u of radius 2δ(u) fits inside Gα(u).
第一步替每個點量私人餘裕：K 的每個點 u 都被 covering 的某個 Gα(u) 收留，而因為 Gα(u) 是 open，u 周圍有一顆整顆留在裡面的球——把它的半徑記成 2δ(u)。逐點看：住在集合深處的 u 配到大半徑，貼近邊緣的 u 只配得到小半徑——但「每一點」都配得到正數。半徑故意寫成 2δ(u) 而不是 δ(u)，是為了下一步把半徑減半時，把另一半留作緩衝。
Now shrink each radius by half: for every point u of K, let S(u) be the ball about u of radius δ(u) — one ball per point, with u itself at the centre. These balls are open sets, and they cover K, since each u lies in its own S(u). By Definition 11.1, the compactness of K lets finitely many of them — S(u₁), …, S(uₙ) — already contain K.
接著自製一族新 covering，三件事分開講清楚。其一，這族球是「K 的每一點各發一顆、球心就是自己」——K 有多少點就有多少顆（K 無限時就是無限族），而「合起來蓋住 K」是自動的：每個 u 就站在自己那顆 S(u) 的圓心上，自己蓋自己。麻煩在：就算每顆的半徑都是正數，整族的半徑也未必有正的最小值——這正是需要裁剪的原因。其二，每顆 S(u) 是 open ball，而 open ball 是 open set（§9-1 例 7）——這族因此夠格當 covering（covering 的定義只收 open sets）。其三，compact 的上工處：定義 11.1 管的是「每一個」covering——包括我們自製的這族，不限於原來給定的 𝒢，所以照裁不誤：留下有限顆 S(u₁), …, S(uₙ) 就蓋住全體——餘裕在這一步變成「有限份」，正的最小值從此取得出來，整個定理的關卡就此打通。
階段二的畫面：裁之前這族球是「每點一顆」——K 無限時就是無限多顆、半徑未必有正的最小值（圖上畫不下，只能想像整個 K 密密麻麻都是球心）；compact 把它裁成有限顆——圖中畫的正是裁完的結局，五顆就蓋住全部 K，正的最小半徑 λ 從此取得出來。「無限多份餘裕」到此變成「有限份」，正數的最小值 λ 從此取得出來。
Set λ = min{δ(u₁), …, δ(uₙ)}; as the minimum of finitely many positive numbers, λ > 0.
Take x, y ∈ K with |x − y| < λ. Then x falls in some S(uⱼ), so |x − uⱼ| < δ(uⱼ); consequently |y − uⱼ| ≤ |y − x| + |x − uⱼ| < λ + δ(uⱼ) ≤ 2δ(uⱼ). The double-radius ball about uⱼ lies inside Gα(uⱼ), so this one set holds both x and y.
收尾驗收 λ 合格：任取 K 中距離小於 λ 的兩點 x、y。因為半徑減半的球族蓋住 K，x 落在某顆 S(uⱼ) 裡，即 |x − uⱼ| < δ(uⱼ)；而 y 距 x 不到 λ ≤ δ(uⱼ)，兩段相加，y 距 uⱼ 不到 δ(uⱼ) + δ(uⱼ) = 2δ(uⱼ)——半徑減半時留下的那一半緩衝，正是在這裡派上用場。而半徑 2δ(uⱼ) 的大球按第一步的取法整顆住在 Gα(uⱼ) 裡，所以這一個集合同時收留 x 與 y——安全距離兌現。
階段三的畫面——λ 為什麼夠用：x 住在 uⱼ 的半徑減半小球（內圈）裡，隊友 y 距 x 不到 λ ≤ δ(uⱼ)，恰好被留下的緩衝帶（內外圈之間）接住——兩人同在 2δ 大球內，而大球整顆住在 Gα(uⱼ) 裡。
每一個 covering 都藏著正數 λ——距離小於 λ 的兩點，永遠有共用的 open set。∎
最近點：Nearest Point（11.6）
「x 到 F 的距離」總可以定義成所有 |x − z|（z 走遍 F）的 inf——但 inf 只是個數字，「有沒有人真的站在那個距離上」是另一回事：F = (1, 2] 對 x = 0 的 inf 距離是 1，卻沒有任何點實現它。Nearest Point 定理屬於「直覺上顯然，證明卻繞不開 compactness」的類型。它說的是——只要 F 是 closed，最近點必定存在。
11.6 NEAREST POINT THEOREM
Let F ⊆ ℝᵖ be closed and non-empty, and let x lie outside F. Then F contains at least one point y nearest to x — that is, |z − x| ≥ |y − x| for every z ∈ F.
F 為非空的 closed set，x 在 F 之外，則 F 中至少有一點 y 離 x 最近——F 的每一點 z 到 x 的距離都不小於 |y − x|。
這張圖在證定理保證什麼：從 x 量到 F 的所有距離之中，紅色那段是最短的——最近點 y 真的站在那裡，其他任何 z（虛線）只會更遠。closed 是關鍵：F 的邊界點全數在籍，最短距離才有人認領。
PROOF
設 F ⊆ ℝᵖ 為非空 closed set，x ∉ F，以下證明存在 y ∈ F 實現 x 到 F 的最短距離。
證明計畫 · 由所求想起
要證：inf 距離 d 有人實現。
⇢ 先量「x 到 F 的距離」d（所有 |x − z| 的下限）；因為 F 是 closed，d > 0——x 周圍有一顆整顆避開 F 的小球。
⇢ 候選圈 Fₖ＝「距離不超過 d + 1/k 的 F-點」：非空、closed、bounded、遞減。
⇢ §11-2 的 Cantor 11.4 交出全程留下的點 y，夾擠出 |x − y| = d。紅利生紅利。
Proof. Write d = inf{ |x − z| : z ∈ F } for the distance between x and F. The set F is closed and x sits outside it, so some ball about x misses F entirely and d > 0.
第一步先把「x 到 F 的距離」記成 d（所有 |x − z| 的 inf），並證 d > 0——這是 closed 的兌現：因為 F 是 closed 而 x 住在補集裡，open 的補集給 x 一顆半徑 r、整顆避開 F 的小球——於是 F 的每一點距 x 至少 r，inf 也就至少 r > 0。反例：F = (0, 1]、x = 0——x 貼著缺席的端點，d = 0，證明第一步就走不動；因為 F 是 closed，這種貼臉的情況才被排除。
For k ∈ ℕ put Fₖ = { z ∈ F : |x − z| ≤ d + 1/k }. Each Fₖ is closed, F₁ is bounded, and the sets shrink: F₁ ⊇ F₂ ⊇ ⋯.
這一步造候選圈：Fₖ 收「F 裡距 x 不超過 d + 1/k」的點。三個條件逐一查驗：Fₖ 是 F 與閉球 {z : |x − z| ≤ d + 1/k} 的交集——閉球是 closed（§9-2 例 6），而 closed sets 的交集仍 closed（9.6(c)）；F₁ 整個裝在以 x 為心、半徑 d + 1 的球裡，bounded；門檻 d + 1/k 隨 k 遞減，所以 Fₖ 一個套一個地遞減。逐 k 看（F = [1, 2]、x = 0 為例）：F₁ = [1, 2]、F₃ = [1, 4/3]、F₁₀₀ = [1, 1.01]——圈子一層層縮向 1。
No Fₖ is empty: d + 1/k sits above the infimum, so some point of F comes within d + 1/k of x. The Cantor Intersection Theorem 11.4 now delivers a point y lying in every Fₖ.
每個候選圈都非空，這是 inf 的另一面（§6-1 的 6.2 與 6.5）：inf 是「最大的下界」，任何比它高的門檻（哪怕只高 1/k）都有 F 的點鑽得進來——否則那個門檻就成了更大的下界。至此 §11-2 的 Cantor 交集定理 11.4（遞減的非空 closed sets、第一個 bounded，必有共同點）要的四個條件——非空、closed、bounded、遞減——全數到齊，於是交出同時住在每一個候選圈裡的點 y。
For this y we have d ≤ |x − y| ≤ d + 1/k; since the bound holds for every k, we get |x − y| = d. Because y ∈ F, it is the promised nearest point.
夾擠收尾：因為 y 屬於 F，|x − y| 不小於 inf 距離 d；又因為 y 住在每個候選圈 Fₖ 裡，|x − y| 不超過每個門檻 d + 1/k。一個數被夾在 d 與 d + 1/k 之間、而且對每個 k 都成立，唯一的活路是恰好等於 d。y 站的位置，正是 inf 宣稱的那個距離——最近點真的有人實現。
最近點存在：y ∈ F 實現 |x − y| = d——inf 不再只是數字，真的有 F 的點站在那個距離上。∎
這張圖在證最近點從哪裡來：第 k 個候選圈 Fₖ 是 F 裡距 x 不超過 d + 1/k 的那一小片，一圈比一圈薄，卻圈圈非空——§11-2 的 Cantor 11.4 保證縮到最後仍留得住一點 y，而它到 x 的距離被夾成恰好 d。