§9-2 閉集判準

closed 的定義為什麼發在補集上？它的試金石與 open 的七個試金石有什麼對應？「任意交集、有限聯集」這條存續規則，又是怎麼從 open 那邊鏡射過來的？

為什麼是 closed

拿一張紙，沿著鉛筆稿剪下一個圖形。刀刃只走了一條線，紙卻從此分成兩片——圖形一片、背景一片。這裡藏著一個容易被忽略的歸屬問題：假設刀工完美，輪廓線上的每一絲紙纖維都得選邊站——線不會平分，它整條跟著其中一片走。拿到線的那片，邊緣完完整整；沒拿到的那片，邊緣永遠「少一圈」。

數學裡這場分家分得更乾淨。把 ℝ 沿著 0 與 1 兩點剪開：[0, 1] 把兩個端點都收進口袋，補集 {x < 0} ∪ {x > 1} 一個端點也沒分到。而「沒分到線」的那一片長什麼樣，§9-1 已經驗過了：邊緣少一圈的集合，每一點都配得到整圈留在集合內的空間——那正是 open 的長相（§9-1 定義 9.1 的緩衝圈）。

closed 的定義就從這裡下手，而且下手的方向很特別：它不描述集合自己，它看外面。要驗一個集合是不是 closed，步驟只有一道——把它的補集寫出來，拿去過 §9-1 定義 9.1 那一關——這正是 §9-1 篇末預告過的翻面動作：

9.4 DEFINITION

Call a set F ⊆ ℝᵖ closed in ℝᵖ whenever the complement 𝒞(F) = ℝᵖ ∖ F is an open set of ℝᵖ. Equivalently: every point lying outside F owns an open ball around itself that avoids F entirely.

集合 F ⊆ ℝᵖ 為 closed，意思是它的補集 𝒞(F) = ℝᵖ ∖ F 在 ℝᵖ 中是 open——換句話說，F 外面的每一點，都配得到一顆完全避開 F 的 open ball。

正例：[0, 1] 是 closed——補集是兩條 open 射線的聯集（例 3）。反例：[0, 1) 不是 closed——補集收著 1，而 1 的任何圈都伸進 [0, 1)（篇中補記細看）。

把定義逐句對回剪紙：

定義片語	白話
the complement 𝒞(F) = ℝᵖ ∖ F	身分證不發給 F 自己，發給它外面那一整片
is an open set of ℝᵖ	外面那片「少一圈」：每一點離刀口都還有正距離（§9-1 定義 9.1）
equivalently⋯avoids F entirely	站在外面的每個人，都有一顆整顆留在外面的球——刀口全歸 F

補集是相對於空間的：在 ℝ 裡談 [0, 1] 的補集，與把它放進 ℝ² 再談補集，是兩個不同的集合。closed 與 open 一樣，是「相對於所在空間」的身分——§9-1 例 4 的教訓，在鏡子這一側同樣成立。

六個試金石（9.5）

六個例子六次驗補集。前兩局是 §9-1 頭尾兩例（例 1 與例 6）的鏡像，帳單早已付清；中段看區間、圓盤與直線怎麼在補集那一側過關；最後一局替 closed ball 的名字驗明正身。

例 1證明整個空間 ℝᵖ 是 closed

最大的集合先上場——它的補集最小。這一例沒有圖：補集是空集，沒有可畫的點。

寫出 𝒞(ℝᵖ)，驗它 open。

𝒞(ℝᵖ) = ∅——空間之外一無所有。
由於 ∅ 是 open（§9-1 例 6 驗過的空泛成立），於是補集 open，ℝᵖ 是 closed。

ℝᵖ 是 closed——而 §9-1 例 1 才驗過它是 open。雙重身分的第一位，先記下。

例 2證明空集 ∅ 是 closed

最小的集合跟上——它的補集最大。同樣無圖：沒有成員，也沒有邊界。

寫出 𝒞(∅)，驗它 open。

𝒞(∅) = ℝᵖ——什麼都不收的集合，外面就是一切。
因為 ℝᵖ 是 open（§9-1 例 1），所以補集 open，∅ 是 closed。

∅ 是 closed——雙重身分的第二位。open 與 closed 顯然不是反義詞，這筆帳在例 6 之後一次算清。

例 3證明 F = [0, 1] 在 ℝ 中是 closed

同一個 [0, 1]，§9-1 例 2 驗出「不 open」——現在換一張考卷。

寫出補集，驗它 open。

𝒞(F) = {x < 0} ∪ {x > 1}——左右兩條射線，端點 0 與 1 都不在內。
每條射線各自 open：x = −2 離端點 0 有距離 2，配得到 r = 2 的圈；x = 1.05 只離 1 有 0.05，圈縮到 r = 0.05。由於射線上每一點與端點之間都有正距離，於是每點都配得到整圈留在射線內的圈。
因為兩條射線都是 open，而任意 open sets 的聯集是 open（§9-1 定理 9.3(c)），所以補集 open，F 是 closed。同一套流程也驗得動半直線 {x ≥ 0}：它的補集 {x < 0} 就是一條 open 射線。

這張圖在證 [0, 1] 為什麼 closed：身分證發在補集上——左右兩條藍色射線的每一點，不論離端點多近，都留有整圈在射線內的空間。0 與 1 這兩個在 §9-1 例 2 讓 [0, 1] 考砸 open 的端點，如今整條「刀口」歸 F，補集反而乾淨。

[0, 1] 是 closed。同一個集合、兩張考卷：open 那張它不及格，closed 這張它滿分——兩科考的是不同側。

例 4證明閉圓盤 F = {(ξ, η) ∈ ℝ² : ξ² + η² ≤ 1} 是 closed

§9-1 例 3 的閉圓盤在 open 的考卷上不及格——換考卷重考。本例不另附圖：它是例 6 取「球心 = 原點、半徑 = 1」的特例，圖留到那裡一起畫。

寫出補集 {ξ² + η² > 1}，給其中每一點配一顆避開圓盤的圈。

任取補集裡的點 z，設它與原點的距離為 d。因為「嚴格大於 1」是補集的入場券，所以 d > 1，就取 r = d − 1。
任取與 z 距離小於 r 的點 w。由三角不等式，w 與原點的距離至少 d − (d − 1) = 1 以上——精確地說 |w| ≥ |z| − |z − w| > d − r = 1，於是 w 仍在補集內。
額度隨位置伸縮：d = 1.5 的點配到 r = 0.5；d = 1.01 的點只配到 r = 0.01——貼著圓周的點圈小，但正。

閉圓盤是 closed。§9-1 例 3 的口訣補全下半句：「<」造 open，「≤」造 closed。

例 5在 ℝ³ 檢驗：半空間 H = {ξ ≥ 0} 與對角線 F = {ξ = η = ζ} 都是 closed

§9-1 例 5 才判定這條對角線不 open——它的真實身分現在揭曉。

分別寫出補集，驗 open。

H 的補集是 {ξ < 0}。因為第一座標為 −c（c > 0）的點配上半徑 c 的球之後，球內每點的第一座標仍是負的（§9-1 例 5 的同款算術），所以補集 open，H 是 closed。
對角線 F：線外任取一點 z，把它垂直投影到直線上，量得最短距離 d。由於 d = 0 意味著 z 就在線上，而 z 在線外，因此 d > 0。
取半徑 d 的球。球內任一點 w 與 z 的距離小於 d，而 z 到線上任何點的距離都不小於 d；由三角不等式，w 到直線的距離仍大於 d − d = 0——整顆球留在線外，補集 open，F 是 closed。

這張圖在證對角線為什麼 closed——三維入畫困難，畫的是同機制的二維剖面：線外的點 z 與直線之間的最短距離 d 是正數，半徑 d 的球（藍）整顆留在線外。對照 §9-1 例 5 的紅圈：同一條線，那邊畫的是「球裡全是線外的點」（否定 open），這邊畫的是「球整顆躲開線」（肯定 closed）。

H 與 F 都是 closed。低維物件在高維空間裡拿不到 open——卻往往拿得到 closed：「=」畫出的物件，補集用「≠」寫，天生鬆動。

例 6證明每顆 closed ball 本身是 closed set

名字裡帶 closed，一樣要排隊受檢——§9-1 例 7 替 open ball 正名，這一局輪到 closed ball。

設 B 是以 x 為心、半徑 r > 0 的 closed ball（收容所有 |y − x| ≤ r 的點）。對補集的每一點 z，造一顆完全避開 B 的球。

z ∉ B 的意思是 d = |z − x| > r——z 比球面多站出去 d − r，這段超出量是正數，就取 s = d − r。
任取與 z 距離小於 s 的點 w。因為 |w − x| ≥ |z − x| − |z − w| > d − s = r，所以 w ∉ B——整顆小球落在補集內。
超出量隨位置伸縮：d = 1.5r 的點配到 s = 0.5r；d = 1.01r 的點只配到 s = 0.01r——但只要人在球外，超出量就是正的。

這張圖在證半徑怎麼選：z 距球心 d，超出球面的部分 d − r 全歸 z 使用——小球（藍）內任何點到球心的距離仍大於 r，一步都跨不進 B。與 §9-1 例 7 對照：那邊站在球內、量的是還沒用完的 a − d；這邊站在球外、量的是多出來的 d − r——同一把三角不等式，兩側各揮一次。

每顆 closed ball 都是 closed set——這個名字從此也名副其實，與 §9-1 例 7 湊成一對。

open 與 closed 不是反義詞：用在門窗上，「開」「關」二選一；用在集合上不是。∅ 與 ℝᵖ 雙料在籍（例 1、例 2）——而且 ℝᵖ 的子集裡兩者兼得的只有這兩位——這句話現在只能先掛著，證明要等連通性上場（§12 的 12.5 會把它升格成定理）。另一頭，A = [0, 1) 兩頭落空：它收了 0，而 0 的任何圈都伸進負數，所以 A 不 open（§9-1 例 2 的同款破綻）；它的補集收著 1，而 1 的任何圈都伸進 A，於是補集不 open，A 也不 closed。多數子集其實都是這種兩不沾。單點集 {0} 則是「closed 而不 open」：補集 (−∞, 0) ∪ (0, ∞) 是兩條 open 射線的聯集——§9-1 篇末反例的主角，身分在這裡補發。

── 小憩 ──

六面鏡子照到這裡告一段落。接下來的存續規則不花新力氣——全程過橋，De Morgan 代勞。先伸展一下手臂，再慢慢上橋。

closed 的存續規則（9.6）

三條規則，與 §9-1 定理 9.3 逐條鏡射——每一條都是把那邊的規則取補集搬過來，量詞在搬運中互換：

open（9.3）	closed（9.6）
∅ 與 ℝᵖ 是 open	∅ 與 ℝᵖ 是 closed
交集——兩個（有限）	聯集——兩個（有限）
聯集——任意多個	交集——任意多個

9.6 CLOSED SET PROPERTIES

(a) Both ∅ and the full space ℝᵖ are closed. (b) Whenever two sets are closed, so is their union. (c) The intersection of an arbitrary family of closed sets — finite, countable, or beyond — remains closed.

(a) 空集 ∅ 與整個空間 ℝᵖ 都是 closed；(b) 兩個 closed sets 的聯集是 closed；(c) 任意一族——不限多少個——closed sets 的交集是 closed。

正例：⋂ₙ [0, 1 + 1/n] = [0, 1]——無限多個 closed 區間的交集，仍是 closed。反例：聯集只保證有限個，⋃ₙ [1/n, 1] = (0, 1] 不 closed——證明之後細看。

與 §9-1 一樣，(b) 加數學歸納法把射程推到「有限個」closed sets 的聯集；(c) 的射程則是貨真價實的任意。注意這對量詞恰好是 §9-1 定理 9.3 那對的顛倒——不是巧合，證明會讓你看到它是「同一對量詞照鏡子」。

PROOF

(a) 由例 1 與例 2 證畢——ℝᵖ 與 ∅ 都驗過 closed。以下對 (b) 設 F₁, F₂ 為 closed sets，對 (c) 設 {F_λ} 為任意一族 closed sets。整段證明只有一個動作：過橋——把 closed 的主張翻成補集的 open 主張，引用 §9-1 定理 9.3，再把結論帶回來。

證明計畫 · 由所求想起
要證 (b)：F₁ ∪ F₂ 是 closed。
⇢ 等於：𝒞(F₁ ∪ F₂) 是 open。
⇢ De Morgan：聯集的補集＝補集的交集——「兩個 open sets 的交集」正是 9.3(b) 已證的情形。
要證 (c)：⋂ F_λ 是 closed。
⇢ 等於：𝒞(⋂ F_λ) 是 open。
⇢ De Morgan：交集的補集＝補集的聯集（1.8 正式證的是三個集合的版本，任意族的版本兩行自證：x 不在交集裡 ⟺ 它至少缺席某一個 F ⟺ 它屬於某一個補集——逐元素讀完就是 𝒞(⋂F) = ⋃𝒞(F)）——「任意 open sets 的聯集」，9.3(c) 一句話涵蓋。

這張圖在證整個證明只有一個動作：左側兩條待證的規則，取補集過橋之後，逐字變成右側 §9-1 已經證完的兩條——過橋時聯集換成交集、交集換成聯集，量詞的顛倒正是 De Morgan 的鏡射。

Proof of (b). Let F₁ and F₂ be closed. De Morgan's law rewrites the complement of their union: 𝒞(F₁ ∪ F₂) = 𝒞(F₁) ∩ 𝒞(F₂) — to sit outside the union is to sit outside both sets at once.

(b) 的第一步只是把 De Morgan 律攤開，還沒有推理發生：「不在 F₁ ∪ F₂ 裡」逐字讀就是「既不在 F₁、也不在 F₂」，所以聯集的補集恰好等於兩個補集的交集 𝒞(F₁) ∩ 𝒞(F₂)。拿 F₁ = [0, 1]、F₂ = [2, 3] 摸一下手感：點 1.5 同時躲開兩段，果然同時住在兩個補集裡；點 0.5 只躲開 F₂，它不在聯集的補集裡，也確實進不了右邊的交集。

Because F₁ and F₂ are closed, both 𝒞(F₁) and 𝒞(F₂) are open; hence their intersection is open by 9.3(b). The complement of F₁ ∪ F₂ is therefore open — and that is precisely what it means for F₁ ∪ F₂ to be closed.

推理在這一步發生：因為 F₁ 與 F₂ 都是 closed，按 closed 的定義（9.4：補集是 open），𝒞(F₁) 與 𝒞(F₂) 都是 open；於是 §9-1 定理 9.3(b)（兩個 open sets 的交集是 open——那邊用取 min 證過）直接接手，判定 𝒞(F₁) ∩ 𝒞(F₂) 是 open。而上一步剛算過這個交集就是 𝒞(F₁ ∪ F₂)——聯集的補集是 open，這正是「F₁ ∪ F₂ 是 closed」的定義本身。配上歸納法，任何有限個 closed sets 的聯集都 closed；「有限」從哪裡來？從 9.3(b) 那邊原樣繼承——鏡子不會自己多長出量詞。

Proof of (c). Now take an arbitrary family {F_λ} of closed sets and write F for the intersection. By De Morgan again, 𝒞(F) = ⋃ 𝒞(F_λ): escaping the intersection means escaping at least one member.

Since every 𝒞(F_λ) is open, their union is open by 9.3(c) — no matter how many sets the family holds, countable or not. So 𝒞(F) is open, and F is closed.

因為每個 F_λ 都是 closed，每個補集 𝒞(F_λ) 都是 open；而 §9-1 定理 9.3(c)（任意一族 open sets 的聯集是 open——那邊的「任意」本來就不限個數）判定它們的聯集是 open。於是 𝒞(F) 是 open，F 是 closed。(c) 的「任意」不是新本事，是 9.3(c) 的「任意」原封搬運；回頭對照 (b)：那邊繼承「有限」、這邊繼承「任意」，9.6 的量詞形狀完全由 §9-1 定理 9.3 那對量詞決定。

(a) 例已備、(b) 與 (c) 各過一次橋——三條規則全數成立。這段證明自己沒動過一顆球：所有硬工作 §9-1 都做完了，De Morgan 只負責搬運。∎

無限聯集的破口

9.6(b) 的「兩個」與 §9-1 定理 9.3(b) 的「兩個」是同一個量詞照進鏡子。§9-1 用 ⋂ₙ (−1/n, 1/n) = {0} 擋下「任意交集」的升級（§9-1 篇末）；鏡子這一側，同一型的反例長這樣：

Fₙ = [1/n, 1], n ∈ ℕ

每個 Fₙ 都是 closed 的閉區間（例 3 的同款驗法）。聯集收了誰？任何 0 < x ≤ 1 都進得來：因為 1/n 遲早跌破 x，所以 x 遲早被某個 Fₙ 收下——x = 0.3 在 F₄ = [1/4, 1] 就入列，x = 0.001 要等到 F₁₀₀₀。唯獨 0 永遠進不來：由於每個 Fₙ 都要求 x ≥ 1/n > 0，0 一關也過不了。於是 ⋃ₙ Fₙ = (0, 1]。

而 (0, 1] 不是 closed：補集收著 0，可是 0 的任何圈 (−r, r) 都撈得到 (0, 1] 裡的點——r/2 就是現成的一個。補集不 open，closed 身分在無限次聯集下蒸發。把補集寫出來看機制：0 在每個 𝒞(Fₙ) 裡的活動空間只有 1/n，每一關都過、額度卻一路縮水、貼向 0——與 §9-1 無限交集反例裂開的是同一條縫，De Morgan 只是把它照到鏡子這一側。9.6(b) 寫「兩個」而不寫「任意多個」，量詞同樣卡得分毫不差。

這張圖在證聯集為什麼恰好是 (0, 1]、又為什麼不 closed：藍色的 Fₙ 一層比一層往左，非零的點遲早被某一層收留，可 0 從不入列（空心圈）；而 0 的任何圈（紅虛線）都撈得到聯集裡的點——0 站在補集裡，卻連一圈乾淨的空間都分不到。

量詞鏡射：「任意交集、有限聯集」是 closed 的完整存續規則，與 §9-1 定理 9.3 的「任意聯集、有限交集」互為鏡像——兩套合起來，就是日後拓撲公理的雛形。誰想把 9.6(b) 升級成「任意聯集」，(0, 1] 這個反例原地回敬——擋路的不是證明技巧，是事實本身。

—— 第二階段到此結束 ——

你已經拿到 closed 的驗法——身分證發在補集上，驗 closed 就是驗補集 open——並在六個試金石上看到它與 §9-1 逐例互為表裡。存續規則 9.6 全程靠 De Morgan 過橋引用§9-1 定理 9.3，量詞鏡射成「任意交集、有限聯集」，⋃ₙ [1/n, 1] = (0, 1] 立在界線上作證。下一篇 §9-3 引入 neighborhood，把空間中的點對一個集合分成內、邊、外三類，給 open 與 closed 各配一套不必翻補集、直接驗自己的判準。到這裡先合上鏡子，起身活動一下肩膀——回來時兩條規則都還在原地。順帶一則：(0, 1] 抱怨自己差一點就是 closed——差的那一點，剛好是 0。