「⟸」是舊帳：開區間是 open（§9-1 例 2 的配球），可數多個 open sets 的聯集是 open（定理 9.3(c)，任意族都行、可數族當然行）。以下證「⟹」：任給非空的 open set G ⊆ ℝ，把它拆成可數多段開區間（G = ∅ 時取空族即可）。
證明計畫 · 由所求想起
要證：G 寫得成可數多個開區間的聯集。
⇢ 「可數多個」去哪找？找 G 裡的有理數當錨點——ℚ 可數（§3-2 例 4，依據定理 3.4），錨點至多可數多個。
⇢ 每個錨點配一段「以它為心、儘量收斂」的開區間，全部留在 G 內。
⇢ 驗收：G 的每個點都被某段錨點區間接住——靠有理數的稠密（6.10）。
Proof. List the rational numbers lying in G as r₁, r₂, r₃, ⋯ — a countable list, because ℚ is countable and subsets of countable sets are countable (Theorems 3.3, 3.4). For each n, let mₙ be the smallest natural number for which the interval Jₙ = (rₙ − 1/mₙ, rₙ + 1/mₙ) lies inside G; such an m exists because G is open and rₙ ∈ G. Then every Jₙ ⊆ G, hence ⋃ₙ Jₙ ⊆ G.
先架好可數的骨幹。G 裡的有理數是 ℚ 的子集，因為 ℚ 可數（§3-2 例 4，定理 3.4 的主秀）而可數集的子集仍可數（定理 3.3），這批錨點排得成一列 r₁, r₂, ⋯。接著替每個錨點配區間：因為 G 是 open，rₙ 配得到某顆留在 G 內的球，也就是「半徑 1/m 的區間 ⊆ G」這件事至少對某個 m 成立；良序性讓我們取最小的那個 m，記作 mₙ。取最小不是潔癖——待會的收尾正要靠「mₙ 不能再小」這句話反將一軍。每段 Jₙ 都在 G 內，聯集自然也在。
Conversely, take any x ∈ G. Since G is open, there is m ∈ ℕ with (x − 2/m, x + 2/m) ⊆ G. By the density of the rationals, some rational y lies in (x − 1/m, x + 1/m); then y ∈ G, so y = rₙ for some n.
反方向要證 G 的每個點都被某段 Jₙ 接住。任取 x ∈ G，先替它預留雙倍的空間：取 m 使 (x − 2/m, x + 2/m) ⊆ G——之所以拿 2/m 而不是 1/m，是替下一步「從錨點看世界」預付的裕度。再由有理數的稠密性（任兩個相異實數之間必有有理數——§6-4 的 6.10），在 x 的 1/m 範圍內撈到一個有理數 y——它落在 G 裡，所以它是錨點名單上的某個 rₙ。
We claim x ∈ Jₙ. If not, then 1/mₙ ≤ |x − rₙ| < 1/m, so m < mₙ. But the interval (rₙ − 1/m, rₙ + 1/m) lies inside (x − 2/m, x + 2/m) ⊆ G, because every point within 1/m of rₙ is within 1/m + 1/m = 2/m of x. Thus m already qualifies in the definition of mₙ — contradicting the minimality of mₙ. Hence x ∈ Jₙ, and G ⊆ ⋃ₙ Jₙ. The two inclusions give G = ⋃ₙ Jₙ: a union of countably many open intervals.∎
收尾用反證把 x 塞進 Jₙ。假設 x ∉ Jₙ，意思是 x 離錨點 rₙ 至少 1/mₙ；而 y = rₙ 是在 x 的 1/m 內撈到的，兩件事夾出 1/mₙ ≤ |x − rₙ| < 1/m，也就是 m < mₙ。可是從 rₙ 出發、半徑 1/m 的區間，整段都落在 x 的 2/m 範圍內（三角不等式：離 rₙ 不到 1/m、rₙ 又離 x 不到 1/m，兩段相加不到 2/m）——而那整片預留區都在 G 裡。於是「半徑 1/m 的區間 ⊆ G」對 rₙ 成立，比 mₙ 更小的 m 就合格了——與 mₙ 是最小的矛盾。所以 x ∈ Jₙ：每個 G 的點都被自己附近的錨點區間接住，雙向包含合攏，G 恰是可數多段開區間的聯集。