§12-2 全空間與雙料名額
整個 ℝᵖ 拆得開嗎？如果拆不開，「既 open 又 closed」的集合還能有第三個嗎？一條線段怎麼把高維的拆法原封搬回 [0, 1]？
全空間是一整塊（12.4）
上一篇拿下了 [0, 1] 這個立足點，下一步出乎意料地遠：整個 ℝᵖ——不分維度——都是 connected。證明的巧思是把「高維的拆法」沿一條線段取樣，原封不動搬回 [0, 1]，讓 12.3 出面否決。
12.4 THEOREM
The whole space ℝᵖ is connected.
整個空間 ℝᵖ 是 connected。
正例：ℝ、ℝ²、ℝ³ 一體適用——全空間是一整塊。反例：全空間連通不代表挖洞後還連通——ℝ ∖ {0} 立刻斷成兩條射線（A = {x < 0}、B = {x > 0}）；ℝ² ∖ {(0, 0)} 卻仍是一整塊——平面上繞得過去（可用 §12-3 的 12.7 驗：任兩點的折線繞開原點即可）。
PROOF
反證。設 ℝᵖ disconnected——此時 A ∩ ℝᵖ = A、B ∩ ℝᵖ = B，所以假設化簡成：存在互不相交、非空的 open sets A、B，聯集是全空間。以下推出矛盾。
證明計畫 · 由所求想起
要證：全空間拆不開。
⇢ 反證：假設拆成 A、B 兩隊，各取一點 x ∈ A、y ∈ B，拉一條線段。
⇢ 用線段的參數 t 把兩隊拉回 ℝ：得 A₁、B₁。
⇢ 驗明 A₁、B₁ 構成 [0, 1] 的 disconnection——與 12.3 對撞。
要證：全空間拆不開。
⇢ 反證：假設拆成 A、B 兩隊，各取一點 x ∈ A、y ∈ B，拉一條線段。
⇢ 用線段的參數 t 把兩隊拉回 ℝ：得 A₁、B₁。
⇢ 驗明 A₁、B₁ 構成 [0, 1] 的 disconnection——與 12.3 對撞。
這張圖在證矛盾怎麼進口（反證現場，A、B 是假想的拆法）：從 x 到 y 的線段給每個參數 t 問一次隊籍，答案拉回參數軸就把 [0, 1] 拆成了 A₁ ∩ I 與 B₁ ∩ I 兩隊——與 12.3 正面對撞，於是假想的拆法不存在。
Proof. If ℝᵖ were disconnected, two open sets A, B — disjoint, and neither of them empty — would satisfy A ∪ B = ℝᵖ. Pick x ∈ A and y ∈ B, and run the straight segment from x to y: the points x + t(y − x) for t ∈ I = [0, 1].
反證開場：假設全空間拆得開。對全空間而言「∩ ℝᵖ」是白戴的帽子，所以 disconnection 的三個條件直接落在 A、B 身上——互斥、皆非空、聯集是 ℝᵖ。接著各取一點 x ∈ A、y ∈ B，用參數走兩點之間的線段：t = 0 在 x、t = 1/2 在中點、t = 1 到 y。因為 x 與 y 分屬互不相交的兩隊，所以 x ≠ y——這一小步待會有用（|y − x| > 0 要當除數）。
Pull the two sets back to the parameter line: set A₁ = {t ∈ ℝ : x + t(y − x) ∈ A} and B₁ = {t ∈ ℝ : x + t(y − x) ∈ B}. Both are open. Indeed, take t₀ ∈ A₁, so the point z = x + t₀(y − x) sits in the open set A together with a ball of some radius r. Whenever |t − t₀| < r/|y − x|, the distance from x + t(y − x) to z equals |t − t₀| · |y − x| < r, so that point stays in A; hence a whole interval about t₀ lies in A₁. The same reasoning serves B₁.
「拉回」就是替線段上每個參數問隊籍：A₁ 收「落點在 A」的 t，B₁ 收「落點在 B」的。這一步要證兩者都是 ℝ 的 open set，理由是 open 會沿取樣傳遞：取 t₀ ∈ A₁，它的落點 z 在 open 的 A 裡配得到半徑 r 的緩衝球；而參數挪動 |t − t₀|，落點就挪動 |t − t₀| · |y − x|——距離的放大率恰是 |y − x|，而它不為零——所以只要 |t − t₀| < r/|y − x|，落點仍在球內、仍在 A 裡。於是 t₀ 周圍一整段區間都屬於 A₁：A₁ 是 open，B₁ 同理。
Because t = 0 lands on x ∈ A and t = 1 lands on y ∈ B, the sets A₁ ∩ I and B₁ ∩ I are non-empty. They share no point — a common t would put one point of the segment inside both A and B. And every t ∈ I belongs to one of them, since the segment lives inside A ∪ B = ℝᵖ. Therefore the pair A₁, B₁ is a disconnection of I — which Theorem 12.3 forbids. Hence ℝᵖ admits no disconnection.
最後核驗 A₁、B₁ 構成 I = [0, 1] 的 disconnection，三個條件逐一打勾：非空——t = 0 落在 x ∈ A、t = 1 落在 y ∈ B；互斥——同一個 t 若兩邊都算，線段上那個落點就同時屬於互不相交的 A 與 B；收容全體——線段活在 A ∪ B = ℝᵖ 裡，每個 t 的落點必屬一隊。可是 12.3（本頁剛證的：[0, 1] 拆不開）不許這種拆法存在——矛盾引爆，最初「全空間拆得開」的假設垮掉。
一條線段把全空間的拆法原封不動搬進 [0, 1]——12.3 說不行，所以 ℝᵖ 是一整塊。∎
紅利：既 open 又 closed 的名額（12.5）
§9-2 的試金石之後有一句補記：「ℝᵖ 的子集裡雙料在籍的只有 ∅ 與 ℝᵖ 這兩位」——當時是打趣，現在升格成定理，而且證明只要三行：第三位申請人會自動製造全空間的 disconnection。
12.5 COROLLARY
In ℝᵖ, no subset other than ∅ and ℝᵖ itself is open and closed at the same time.
ℝᵖ 的子集中，既 open 又 closed 的只有 ∅ 與 ℝᵖ 兩個。
PROOF
反證。設 A ⊆ ℝᵖ 既 open 又 closed，且 A ≠ ∅、A ≠ ℝᵖ，以下推出矛盾。純集合帳，無幾何內容，本證明不配圖。
Proof. Write B = ℝᵖ ∖ A. Because A is closed, its complement B is open by Definition 9.4; and since A ≠ ℝᵖ, the set B is non-empty.
第一步把 closed 翻成補集的話：因為 A 是 closed，按 §9-2 定義 9.4（closed 的定義原話就寫在補集上：補集是 open），補集 B = ℝᵖ ∖ A 是 open；又因為 A ≠ ℝᵖ，空間裡還有 A 外的點，所以 B 非空。（A open 也讓 B closed，不過本證明用不到這一面。）
Now A and B are open, disjoint, both non-empty, and A ∪ B = ℝᵖ — precisely a disconnection of the whole space. Since Theorem 12.4 rules that out, no such A can exist.
四個條件湊齊就結案：A 是 open（假設）、B 是 open（上一步）、兩者非空（A ≠ ∅ 與 A ≠ ℝᵖ 各保一個）；而集合與自己的補集天生互斥、天生拼滿全空間，後兩個條件免費入帳——這正是全空間 ℝᵖ 的一份 disconnection。可是 12.4（本頁剛證的：全空間是 connected）不許它存在，所以這樣的第三個雙料集合 A 不存在。
—— 第二階段到此結束 ——
一條線段把任何高維的拆法搬回 [0, 1]，於是整個 ℝᵖ 是一整塊（12.4）；「既 open 又 closed」的雙料名額隨之鎖死在 ∅ 與 ℝᵖ（12.5）。下一篇 §12-3 收壓軸：對 open 的集合，「一整塊」翻譯成「任兩點折線可達」，最後把 ℝ 上 connected 集的完整名單一次開出。起來動一動肩膀，回來收官。