§12-3 折線判準與 ℝ 的名單
對 open 的集合，「一整塊」能不能翻譯成「任兩點都有一條不出境的折線」？而在 ℝ 上，connected 的子集究竟是哪一類集合——有沒有辦法把它們完全刻畫出來？
open set 的內部化特款（12.6）
12.1 的海域是「外部」的——A、B 可以伸出 D 之外，也只在 D 上要求互斥。當 D 自己就是 open set 時，這道外包手續可以整個內部化：拆它，等於把它寫成自己的兩塊 open 子集。這條小引理是壓軸 12.7 的接口。
12.6 LEMMA
For an open subset G of ℝᵖ: the set G is connected precisely when there is no way of writing G as a union of two non-empty open sets that share no point.
ℝᵖ 的 open 子集 G 為 connected 的充要條件：G 寫不成兩個互不相交、非空 open sets 的聯集。
正例：G = (0, 1) ∪ (2, 3)——已經寫成兩塊互斥非空 open 的聯集，特款直接判 disconnected。反例：D = {0, 1}（兩點集）——明明 disconnected（外部海域 A = (−1/2, 1/2)、B = (1/2, 2) 可證），卻寫不成兩個非空 open sets 的聯集：兩點集的非空子集連一個 open 的都沒有（每位成員都得配一整圈，兩點集給不起）。特款只發給 open 的集合。
PROOF
設 G ⊆ ℝᵖ 為 open set。要證：「G disconnected」與「G 寫得成兩個互斥非空 open sets 的聯集」是同一件事。純邏輯與集合運算，本證明不配圖。
Proof. Suppose first that G = A ∪ B with A, B open, non-empty, and sharing no point. Then A ∩ G = A and B ∩ G = B, so this very pair meets every demand of Definition 12.1 — hence G is disconnected.
先走「寫得成 ⟹ disconnected」這個方向：假設 G = A ∪ B，其中 A、B 是 open、非空、互不相交。因為兩塊都整個落在 G 裡，A ∩ G = A、B ∩ G = B，於是 12.1（disconnection 的定義：兩個 open sets 與 D 的交非空、互斥、拼滿 D）的每一項要求都由這對 A、B 原樣滿足——G 是 disconnected。這個方向連 G 是 open 都沒用到。
Conversely, let open sets A, B disconnect G, and set A′ = A ∩ G, B′ = B ∩ G. Because A and G are both open, Theorem 9.3(b) makes A′ open, and likewise B′. These two sets are non-empty, disjoint, and their union is G — so G has been written in the forbidden form.
反方向才用上 G 是 open：設外部海域 A、B 拆開了 G，取 A′ = A ∩ G、B′ = B ∩ G。因為 A 與 G 都是 open，§9-1 定理 9.3(b)（兩個 open sets 的交集是 open）判定 A′ 是 open，B′ 同理——內部化的全部本錢就是這一條。海域多餘的部分——伸出 G 的、在 G 外互相重疊的——取交集後全被裁掉，剩下的 A′、B′ 非空、互斥、聯集恰是 G：G 被寫成了禁止的形式。
open 的 G 談斷開，從此不必外求海域——自己拆自己就算數。∎
壓軸：一整塊 ＝ 走得到（12.7）
先鑄一個詞。x 與 y 之間的一條 polygonal curve（折線），是有限多段線段的接力：L₁ 從 x 到 z₁，L₂ 從 z₁ 到 z₂，⋯⋯，Lₙ 從 z_{n−1} 到 y——首尾相接、段數有限。壓軸定理說：對 open set 而言，開場那個地圖直覺是精確的——「一整塊」恰好等於「境內任兩點都有一條不出境的折線相連」。
12.7 THEOREM
Take an open set G in ℝᵖ. Connectedness of G holds if and only if every two points x, y of G can be linked by a polygonal curve that stays inside G.
設 G 為 ℝᵖ 的 open set。G 為 connected 的充要條件：G 中任兩點 x、y 都能以一條完全落在 G 內的折線相連。
正例：開圓環（兩同心圓之間、不含邊界）——對穿的直線會踏進中央的洞，但有限多段的折線總繞得過去（環越薄需要的段數越多，下圖的例子三段剛好夠用），任兩點皆可達，故 connected。反例：兩個相離開圓盤的聯集——12.6 判它 disconnected，定理反向保證存在到不了的點對：各取一盤一點，任何折線中途必出境。
這張圖在證定理的兩面都摸得到：開圓環 G 裡，x 到 y 的直線（紅虛線）踏進中央的洞——一段不夠；換三段折線（藍）繞行，全程不出 G。折線的「多段」不是裝飾，是繞開障礙的本錢。
PROOF
設 G ⊆ ℝᵖ 為 open set。兩個方向都走反證。
證明計畫 · 由所求想起
要證雙向。
⇢ 斷開 ⇒ 有到不了的點對：假想有折線連通兩隊——鎖定「第一次換隊」的那段線段，用 12.4 的取樣論證拉回 [0, 1]，與 12.3 對撞。
⇢ connected ⇒ 全可達：固定起點 x，把 G 分成可達區 G₁ 與不可達區 G₂——兩區都是 open（G open：球內補一段線段即可）；若 G₂ 非空，12.6 判定 G disconnected——與假設矛盾。
要證雙向。
⇢ 斷開 ⇒ 有到不了的點對：假想有折線連通兩隊——鎖定「第一次換隊」的那段線段，用 12.4 的取樣論證拉回 [0, 1]，與 12.3 對撞。
⇢ connected ⇒ 全可達：固定起點 x，把 G 分成可達區 G₁ 與不可達區 G₂——兩區都是 open（G open：球內補一段線段即可）；若 G₂ 非空，12.6 判定 G disconnected——與假設矛盾。
Proof. Suppose first that G is not connected, take a disconnection A, B, and pick x ∈ A ∩ G, y ∈ B ∩ G. We claim no polygonal curve inside G joins x to y — this exhibits a pair of points of G that cannot be linked. Assume, then, that some curve P = (L₁, ⋯, Lₙ) inside G does, with corner points z₀ = x, z₁, ⋯, zₙ = y.
方向一的目標是「斷開的 G 必有到不了的點對」：取一組拆開 G 的海域 A、B，跨隊各取一點 x ∈ A ∩ G、y ∈ B ∩ G，主張沒有折線能在 G 內連起它們。用反證——假設有一條折線 P 辦到了。因為折線整條落在 G 內，每個轉角 zᵢ 都是 G 的成員；而 G = (A ∩ G) ∪ (B ∩ G) 且兩隊互斥——每個轉角有唯一隊籍。
The corners start in A ∩ G and end in B ∩ G, so the membership must change somewhere along the way: let k be the smallest index with z_k ∈ B ∩ G; then z_{k−1} ∈ A ∩ G. On that single segment define A₁ = {t ∈ ℝ : z_{k−1} + t(z_k − z_{k−1}) ∈ A ∩ G} and B₁ alike with B ∩ G. Since A ∩ G and B ∩ G are open, the pull-back argument of Theorem 12.4 applies word for word: both sets are open. They are disjoint, non-empty (t = 0 and t = 1), and every t ∈ I falls in one of them, because the segment stays inside G. So the pair A₁, B₁ disconnects I — contradicting Theorem 12.3. Hence no such curve exists.
轉角的隊籍從 A 隊起步（z₀ = x）、以 B 隊收尾（zₙ = y），中途必有第一次換隊——鎖定那一段線段 z_{k−1} → z_k，它就是矛盾的進口點。§12-2 的 12.4（全空間 connected）的取樣論證原封再用：沿這段線段把兩隊拉回參數軸得 A₁、B₁，海域換成內部化的 A ∩ G、B ∩ G（兩者 open——9.3(b)：open 交 open 仍 open），所以拉回來的兩個集合照樣 open。disconnection 的三條件照樣成立：兩端非空、互斥承襲自兩隊互斥、「收容全體」由「折線在 G 內」保證——取樣點全落在 G，隊籍二選一，沒有漏網的 t。於是 [0, 1] 被拆開，與 12.3（[0, 1] 是 connected）對撞——這條折線不存在。
For the converse, let G be a connected open set and fix x ∈ G. Sort the points of G into two bins: G₁ gathers those reachable from x by a polygonal curve inside G, and G₂ gathers those that are not. Plainly G₁ ∩ G₂ = ∅, G₁ ∪ G₂ = G, and x ∈ G₁, so G₁ is non-empty.
方向二換打法：設 G 是 connected 的 open set，固定起點 x，把 G 的點按一件事分成兩區——「從 x 出發、折線不出 G」辦不辦得到：辦得到的進可達區 G₁，辦不到的進不可達區 G₂。兩區按定義互斥、拼滿 G；x 自己可達（一段退化線段即可），所以 G₁ 非空。整個方向二只剩一件事要辦：證兩區都 open，然後交給 12.6（open 集合的內部化判準，本頁剛證）收尾。
We check G₁ is open. Because G is open, a member y of G₁ owns a ball {w : |w − y| < r} inside G. For any w in that ball, the straight segment from y to w stays in the ball — each of its points keeps distance t·|w − y| < r from y — hence stays in G. Therefore appending this one segment to a polygonal curve from x to y produces a polygonal curve from x to w: the whole ball joins G₁, and G₁ is open.
先證可達區 G₁ 是 open：任取可達點 y ∈ G₁。因為 G 是 open，y 配得到一顆半徑 r、整顆留在 G 內的球。關鍵幾何事實是球裝得下自己任兩點的連線——這裡只用到以球心 y 為一端的特款，距離帳一行結清：球內任一點 w 到 y 的線段上，每個點距 y 只有 t·|w − y| < r，出不了球、也就出不了 G。於是把「x 到 y」的折線接上這一段，就得到「x 到 w」的折線——段數加一仍有限，資格不變，w 可達。整顆球併入 G₁，G₁ 是 open。具體：r = 0.1、w 離 y 0.06——補的那一段全程離 y 不超過 0.06，出不了球。
The bin G₂ is open for a twin reason. Let y ∈ G₂ own a ball {w : |w − y| < r} inside G. Were some w of this ball reachable from x, then adding the segment from w to y — again inside the ball, hence inside G — would make y reachable, against y ∈ G₂. So the entire ball stays in G₂.
再證不可達區 G₂ 是 open，同一招反著用——可達性會沿線段傳染。設 y ∈ G₂，它同樣因為 G open 而配得到一顆留在 G 內的球。這一小段本身是個縮影反證：假如球裡有哪個 w 從 x 可達，把 w → y 這一段補上（線段仍在球內、仍在 G 內），y 就變成可達——與 y ∈ G₂ 矛盾。所以球裡沒有任何可達點，整顆球留在 G₂：G₂ 也是 open。
Now if G₂ were non-empty, G would stand written as a union of two bins G₁, G₂ that are disjoint, non-empty, and open — and Lemma 12.6 would declare G disconnected, against the hypothesis. Therefore G₂ = ∅: every point of G is reachable from x, and any two points u, v of G are linked to each other through x.
收官：若 G₂ 非空，G 就被寫成兩塊互斥、非空、open 的聯集——12.6 在此兌現：對 open 的 G，這正是 disconnected 的同義句——與 G connected 的假設對撞。所以 G₂ = ∅：G 的每一點都從 x 可達。任兩點 u、v 於是經 x 中轉即達——u → x 的折線倒著走，接上 x → v 的折線。
斷開的 open set 必有折線到不了的點對；connected 的 open set 裡任兩點陸路皆通——「一整塊」與「走得到」在 open set 上是同一句話。∎
這張圖在證方向二的矛盾機制：可達區 G₁ 的成員 y 把整顆球收編（球內任一點補一段線段即達）；不可達區的 y′ 反過來把整顆球拖進不可達（球內誰可達，y′ 就可達了）。兩區都是 open——它們之間畫不出任何交界；所以兩區若都非空，G 就被拆成兩塊 open，12.6 判它 disconnected——與 connected 的假設對撞，不可達區只能是空的。
ℝ 上的完整名單（12.8）
回到一維收官。[0, 1] 是 connected（12.3）、ℝ 是 connected（12.4 取 p = 1）、ℕ 與正有理數不是（12.2）——零散的判例累積到這裡，可以一次結案了：ℝ 上 connected 的集合，恰好就是區間，一個不多、一個不少。
12.8 THEOREM
Among the subsets of ℝ, the connected ones are precisely the intervals — no other connected subset exists.
ℝ 的子集為 connected 的充要條件：它是一個區間——端點開閉不拘、允許無限延伸，也允許退化成單點或空集。
正例：[0, 1]、(0, 1)、[0, ∞)、ℝ 全數在籍——各種開閉與長度的區間都 connected。反例：[0, 1] ∪ [2, 3] 不是區間（1.5 這個「中間人」缺席），也果然 disconnected——A = {x < 3/2}、B = {x > 3/2} 一組交件。
PROOF
雙向都證。「⟹」：connected 的 C ⊆ ℝ 必是區間。「⟸」：每個區間都 connected——這一半靠一個縮小範圍的招數，整段化約回 12.3。
證明計畫 · 由所求想起
方向「connected ⇒ 區間」：
⇢ 區間的本質是「不缺中間人」：兩點在籍，兩點之間的每個數都在籍。
⇢ 先證 C 有這個性質——缺了中間人 c，就拿 c 當航道拆出 disconnection。
⇢ 「不缺中間人」的集合必是區間——由 inf 與 sup 圈出範圍。
方向「區間 ⇒ connected」：
⇢ 假設有拆法拆開了區間，跨兩隊各取一點——區間性質保證兩點之間整段都在籍。
⇢ 同一組拆法就順便拆開了這一段閉區間，而 12.3 的論證（端點換名照走）說閉區間拆不開——矛盾。
方向「connected ⇒ 區間」：
⇢ 區間的本質是「不缺中間人」：兩點在籍，兩點之間的每個數都在籍。
⇢ 先證 C 有這個性質——缺了中間人 c，就拿 c 當航道拆出 disconnection。
⇢ 「不缺中間人」的集合必是區間——由 inf 與 sup 圈出範圍。
方向「區間 ⇒ connected」：
⇢ 假設有拆法拆開了區間，跨兩隊各取一點——區間性質保證兩點之間整段都在籍。
⇢ 同一組拆法就順便拆開了這一段閉區間，而 12.3 的論證（端點換名照走）說閉區間拆不開——矛盾。
Proof. Let C be a connected non-empty subset of ℝ. We first show: whenever a, b ∈ C with a < b, every number c between them belongs to C. For if some such c were missing, the sets A = {x ∈ ℝ : x < c} and B = {x ∈ ℝ : x > c} would be open, and — because c ∉ C — every point of C would land in one of them, with a ∈ A ∩ C and b ∈ B ∩ C both non-empty. That is a disconnection of C, contrary to hypothesis.
第一步證「不缺中間人」，手法是 12.2 用了三次的老招反過來用：假設 a、b 在籍而中間的 c 缺席，就在 c 開航道——A 收 c 左邊、B 收 c 右邊，兩條開射線都是 open。因為 c 不在籍，C 的每個成員都確實落進其中一邊（等於 c 的沒有）；而 a、b 各守一邊，兩隊皆非空。於是這組 A、B 是 C 的 disconnection——與 C connected 矛盾。所以中間人一個都不缺。對照 12.2(c)：正有理數集之所以被 √2 拆開，正是因為它缺了這個中間人——同一把刀，這裡反過來證明 connected 集合不給刀留縫。
A non-empty set with this betweenness property is an interval: writing u = inf C and v = sup C (allowing u = −∞ or v = +∞ when C is unbounded), every number strictly between u and v lies between two members of C, hence belongs to C. So C contains the open interval from u to v and is contained in the closed one — it is an interval with endpoints u, v, each included or not.
第二步把「不缺中間人」升級成「是區間」。用 inf 與 sup 圈出 C 的地界 u 與 v（C 往左或往右無界時，相應端記成 −∞ 或 +∞——這只是「那一側沒有端點」的記號，不是數；inf 與 sup 的正式定義在 §6-1 的 6.2）。任取嚴格落在 u、v 之間的數 t：因為 t > inf C，C 裡有成員壓在 t 之下；因為 t < sup C，也有成員站在 t 之上——於是 t 是兩個在籍成員的中間人，由第一步，t ∈ C。所以 (u, v) 整段屬於 C，而 C 又裝不出界外的點——差別只剩兩個端點各自收不收，正是區間的各種開閉款式。空集與單點這兩個退化情形也各自算區間。
Conversely, let C be any interval; we show C is connected. Suppose open sets A, B formed a disconnection of C. Pick a ∈ A ∩ C and b ∈ B ∩ C; relabelling if necessary, assume a < b. Because C is an interval, the whole segment [a, b] lies inside C. Then the same pair A, B disconnects [a, b]: the sets A ∩ [a, b] and B ∩ [a, b] are non-empty (they hold a and b), share no point, and together fill [a, b], since every point of [a, b] belongs to C and hence to one of the two teams. But the sup argument of Theorem 12.3 — run with the endpoints a, b in place of 0, 1 — shows [a, b] is connected. The contradiction shows no disconnection of C exists.∎
「⟸」的招數是縮小戰場：假設有拆法拆開了區間 C，跨隊各取一點 a、b。關鍵一步用掉「C 是區間」：兩點之間的整段 [a, b] 都在 C 裡——於是同一組 A、B 順便也拆開了 [a, b]，三個條件逐一過：非空（a、b 各守一邊）、互斥（承襲原拆法）、收容全體（[a, b] 的每個點都是 C 的成員，必屬一隊）。可是 [a, b] 是 connected——把 12.3 的 sup 反證裡的 0、1 換成 a、b，每一步逐字成立（那場論證只用到「閉區間的兩端在籍、sup 存在」，與端點的具體數值無關）——矛盾。所以區間拆不開。這裡不必逐款討論 C 自己的開閉：不管 C 是哪種款式的區間，[a, b] 都完整住在裡面，戰場永遠可以縮到一個閉區間上。
兩個方向合攏：connected ⟺ 不缺中間人 ⟺ 區間——ℝ 上的 connected 集合就此全數點名完畢，雙向都有完整證明。∎
—— 第三階段到此結束，整個 §12 收工 ——
回望一整節：disconnection 的驗收單（12.1）、四個試金石（12.2）、[0, 1] 與 ℝᵖ 的 connected 證書（12.3、12.4）、雙料名額鎖死（12.5）、open set 的內部化特款與折線判準（12.6、12.7），最後在 ℝ 上開出完整名單——connected 就是區間（12.8）。整節收工，出門走一圈再回來。臨走前一則：ℝ ∖ {0} 的兩條射線最後分手了，理由寫得很數學——「我們之間，已經沒有共同點。」
下一幕預告
§13 登場的是複數系 ℂ。舞台其實沒有換：複數 x + iy 就是平面上的點 (x, y)，ℂ 與 ℝ² 共用同一套距離、同一套 open sets——本章攢下的一切（open、closed、compact、connected）原封不動搬過去。新增的只有一個動作：平面上的點從此可以「相乘」。就這一個新動作，日後會讓 §11 的有限圓弧迴路成為主角——沿著迴路積分，是複分析的招牌手法。