§16-4  Cauchy 數列與三塊拼圖

有沒有一個判準，完全不提極限，只比較數列自己的項？這樣的條件與收斂之間，各自能推出對方的哪一半？而「相鄰兩項靠攏」夠不夠？

不提目的地，只看隊伍有沒有聚攏

一群人在濃霧裡行進，誰也看不見終點在哪。可是如果隨著時間過去，隊伍裡任意兩個人之間的距離都越來越小，就算不知道會合點的座標，也已經可以斷定他們正在會合。

這個想法之所以珍貴，是因為它把「收斂」這件事的判定完全交回數列自己：14.3 與 14.4 都需要一個外來的候選人 x，而下面這個條件連提都不提極限——只比較數列自己的項。本篇先把它定義清楚，再拼三塊拼圖；下一篇把它們組裝成本章最重要的一條定理。

官方定義：Cauchy sequence（16.6）

16.6  DEFINITION
A sequence X = (xₙ) in ℝᵖ is a Cauchy sequence when to every ε > 0 there corresponds a natural number M(ε) such that ‖xₘ − xₙ‖ < ε holds for all m, n ≥ M(ε).
數列 X = (xₙ) 為 Cauchy sequence（柯西數列），意思是：對每個 ε > 0，都存在自然數 M(ε)，使得任意兩個編號 m, n ≥ M(ε) 都滿足 ‖xₘ − xₙ‖ < ε。定義裡不出現任何極限。
正例：(1/n) 是 Cauchy——m, n ≥ M 時 |1/m − 1/n| < 1/M，取 M 使 1/M < ε 即可。反例：只要求相鄰兩項靠攏是不夠的——調和數列 xₙ = 1 + 1/2 + ⋯ + 1/n 的相鄰差 |xₙ₊₁ − xₙ| = 1/(n+1) 趨於零，它卻不是 Cauchy（§16-5 例 7 會證），因為定義要的是任意兩個編號，不是相鄰的兩個。
寬度 ＜ ε M 之前：不受約束 M(ε) 整條尾巴擠進一段寬度小於 ε 的範圍——不必知道 ε 帶該放哪

這張圖在說 16.6 與 14.4 的差別：14.4 的帶子要以極限 x 為中心，得先知道 x 在哪；而 Cauchy 條件只要求整條尾巴擠進某一段寬度小於 ε 的範圍，那段範圍放在數線的什麼位置，定義完全不管。

三塊拼圖

接下來三條引理，各自都很短，合起來就是下一篇那條定理的全部內容。

16.7  LEMMA
Every convergent sequence in ℝᵖ is a Cauchy sequence.
ℝᵖ 中收斂的數列必定是 Cauchy sequence。
正例：((n + 1)/n) → 1，而它確實是 Cauchy——任兩項都靠近 1，於是彼此也靠近。反例：反方向此刻還不知道成不成立——這正是下一篇要證的內容；在證出來之前，不能把這條引理當雙向用。
PROOF

設 x = lim X，並設 ε > 0。

Proof.  Theorem 14.4 with tolerance ε/2 yields K such that ‖xₙ − x‖ < ε/2 for n ≥ K. Put M(ε) = K. If m, n ≥ M(ε), the Triangle Inequality gives ‖xₘ − xₙ‖ ≤ ‖xₘ − x‖ + ‖x − xₙ‖ < ε/2 + ε/2 = ε.
證明只有一步，關鍵是借極限當中轉站。所求是兩項之間的距離，而假設管的是「每一項到 x 的距離」；三角不等式把 xₘ 到 xₙ 的路徑改繞經 x，兩段都受假設管轄。既然要走兩段，標準就預先分帳成 ε/2——與 §15-3 的 15.6(a) 同一個動作。具體：ε = 0.1 時各項先做到離 x 不超過 0.05，兩項之間就不超過 0.1。
收斂 ⟹ Cauchy。∎
16.8  LEMMA
Every Cauchy sequence in ℝᵖ is bounded.
ℝᵖ 中的 Cauchy sequence 必定 bounded。
正例：(1/n) 是 Cauchy，也確實有界——取界 B = 1，每項都滿足 |1/n| ≤ 1（注意 B 是界，與定義裡那個起算點 M(ε) 是兩回事）。反例：有界推不出 Cauchy——((−1)ⁿ) 有界，但取 ε = 1 時不論 M 多大，M 之後都找得到一奇一偶兩項相距 2。
PROOF

設 X = (xₙ) 是 Cauchy sequence，取 ε = 1 並記 m = M(1)。

Proof.  For every n ≥ m we have ‖xₘ − xₙ‖ < 1, so the Triangle Inequality gives ‖xₙ‖ ≤ ‖xₙ − xₘ‖ + ‖xₘ‖ < ‖xₘ‖ + 1. The finitely many remaining terms x₁, ⋯, x_{m−1} have their own lengths, so setting B equal to the largest of ‖x₁‖, ⋯, ‖x_{m−1}‖ and ‖xₘ‖ + 1 gives ‖xₙ‖ ≤ B for every n.
這份證明與 §14-3 的 14.6（收斂必有界）是同一個模子：把數列切成有限的前段與受控的後段，各取上界再合併。差別只在後段靠什麼受控——14.6 靠「離極限不遠」，這裡沒有極限可用，改靠「離某一個固定的項 xₘ 不遠」。m 一旦取定就不再變動，所以 ‖xₘ‖ + 1 是個貨真價實的常數。前段能處理，同樣純粹因為它只有有限多項。
Cauchy ⟹ 有界，於是 16.4 用得上。∎
16.9  LEMMA
If some subsequence of a Cauchy sequence X in ℝᵖ converges to x, then the whole sequence X converges to x.
若 Cauchy sequence X 的某一條子數列收斂到 x，則整條 X 也收斂到 x。
正例：任何 Cauchy 數列一旦有一條子數列收斂，整條就跟著收斂——這條引理正是把「局部的好消息」推廣成全體的裝置。反例：Cauchy 這個前提少不得——((−1)ⁿ) 的偶數項子數列收斂到 1，整條卻發散；它不是 Cauchy。
PROOF

設 X = (xₙ) 為 Cauchy，子數列 X′ = (x_{n_r}) 收斂到 x，並設 ε > 0。

證明計畫 · 由所求想起
⇢ 要證：每一項（夠後面的）都離 x 很近。手上有兩份資訊——任兩項互相靠近（Cauchy），以及子數列的項靠近 x。
⇢ 把兩份接起來：找一個既夠後面、又落在子數列裡的編號 K 當跳板，經 x_K 中轉。
Proof.  The Cauchy property with tolerance ε/2 gives M with ‖xₘ − xₙ‖ < ε/2 whenever m, n ≥ M. Since X′ converges to x, some r₀ has ‖x − x_{n_r}‖ < ε/2 for r ≥ r₀; choosing r at least r₀ and at least M, the index K = n_r satisfies K ≥ r ≥ M as well as ‖x − x_K‖ < ε/2. Now for any n ≥ M, ‖x − xₙ‖ ≤ ‖x − x_K‖ + ‖x_K − xₙ‖ < ε/2 + ε/2 = ε.
跳板要同時滿足兩個條件，這是唯一需要小心的地方。它必須屬於子數列（才享有「離 x 很近」），又必須編號夠大（才享有 Cauchy 的保證）。兩者能兼得，靠的是 §15-1 證過的 n_r ≥ r：把 r 取得比 r₀ 與 M 都大，編號 K = n_r 就自動不小於 M。跳板一旦到位，任何 n ≥ M 的項都能經它中轉——第一段用子數列的收斂、第二段用 Cauchy，各領 ε/2。具體：ε = 0.1、M = 50、r₀ = 30 時取 r = 60，跳板編號 K = n₆₀ ≥ 60 ≥ 50。
Cauchy 數列只要有一條子數列到岸，整條就跟著到岸。∎
x x_K xₙ ＜ ε/2：子數列收斂 ＜ ε/2：Cauchy 兩段各 ε/2，合起來 ＜ ε 跳板 x_K 必須同時「在子數列裡」且「編號夠大」

這張圖在證 16.9 的接合方式：任取一個夠後面的 xₙ，它與 x 之間沒有現成的關係；經跳板 x_K 中轉之後，第一段由子數列的收斂管住、第二段由 Cauchy 管住。跳板之所以存在，靠的是子數列的編號追得上項次。

—— 第四階段到此結束 ——

Cauchy sequence 立好了（16.6）：定義完全不提極限，只看數列自己的項互相靠攏，而且要求的是任意兩項，不是相鄰兩項。三塊拼圖也備妥——收斂必為 Cauchy（16.7）、Cauchy 必有界（16.8，於是 16.4 用得上）、Cauchy 加一條收斂的子數列就整條收斂（16.9）。下一篇 §16-5 把三塊拼起來，得到本章最重要的一條定理，並用三個算例示範它怎麼用——包括一個著名的發散判例。起來走一圈，收尾的那一段值得慢慢讀。